1. Aufgabe: ZG X - zufällige Zeit in der Warteschlange in min - exponentialverteilt geg.: EX = 4[min]

4. Lösungen weitere Übungsaufgaben Statistik für Ingenieure WiSe 19/20

1. Aufgabe: ZG X - zufällige Zeit in der Warteschlange in min - exponentialverteilt geg.: EX = 4[min]

allgemein gilt: EX = _λ ¹ ⇒ λ = ¹ ₄ ⇒ X ∼ Exp ¡ ₁

4

¢

a) P(X = 3) = 0

b) P(X < 2) = F X (2) = 1 − e ⁻

^·2 = 0, 3935 c) P(2 < X < 7) = F X (7) − F X (2) = 0, 4328

d) p-Quantil (x _p ): Lösung x _p der Gleichung F _X (x _p ) = p der ZG X Median (x 0,5 ): F X (x 0,5 ) = 0, 5 = 1 − e ⁻

^x

⇒ x 0,5 = 2, 7726

oberes Quartil (x _0,75 ): F _X (x _0,75 ) = 0, 75 = 1 − e ⁻

^x

⇒ x _0,75 = 5, 5452 e) Skizze Verteilungsfuntkion (strikt monoton wachsend)

mit Werten F _X (2) = 0, 39 und F _X (2, 77) = 0, 5 sowie F _X (5, 55) = 0, 75

2. Aufgabe: Solldurchmesser = 250mm, Toleranz = ± 0,75mm

X ₁ - zufälliger Durchmesser eines von Maschine 1 produzierten Werkstückes, X ₁ ∼ N (250; 0, 16)

X 2 - zufälliger Durchmesser eines von Maschine 2 produzierten Werkstückes, X ₂ ∼ N (249, 8; 0, 09)

a) Schätzung liefert eine bei Maschine 1 größere Ausschusswahrscheinlichkeit b) Mit ^X

_σ ^−µ

X1

=: Z ₁ ∼ N (0, 1) P(249, 25 ≤ X ₁ ≤ 250, 75) = P

³ 249,25−250

0,4 ≤ Z ₁ ≤ ^250,75−250 _0,4

´

= P (−1, 875 ≤ Z ₁ ≤ 1, 875) = Φ(1, 875) − Φ(−1, 875)

= Φ(1, 875) − (1 − Φ(1, 875)) = 2Φ(1, 875) − 1 = 0, 9386

⇒ die Ausschusswahrscheinlichkeit für Maschine 1 = 1 − 0, 9386 = 0, 0614 Analog für Maschine 2. Hier beträgt die Ausschusswahrscheinlichkeit 0, 0344.

3. Aufgabe: X ∼ Bin(n, p) mit n = 5000 und p = 0, 35.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung nach Zentralen Grenzwertsatz - im zentralen Wahrscheinlichkeitsbereich.

X ∼ N (µ, σ ² ) mit µ = n · p und σ ² = n · p · (1 − p)

Für seltene Ereignisse (kleines p, z.B. p = 0,0005 ) ist die Poissonverteilung als Näherungsverteilung zu verwenden.

X ∼ Poi(λ) mit λ = n · p = 5000 · 0,0005 = 2,5.

1

Auch am oberen Rand des Wahrscheinlichkeitsbereiches [0, 1], also für großes p (z.B.

p = 0,9995) kann man die Poisonapproximation, dann aber für das Gegenereignis, nutzen.

X ∼ Bin(n, p) mit n = 5000 und p = 0,9995.

Y := n − X ∼ Bin(n, 1 − p) mit n = 5000 und 1 − p = 0,0005.

approximativ = ⇒ Y ∼ Poi(λ) mit λ = n · (1 − p) = 5000 · 0,0005 = 2,5.

4. Aufgabe: X - zufällige Wartezeit in min, X ∼ U[0, 30]

a) P(X > 10) = 1 − P(X ≤ 10) = 1 − F _X (10) = 1 − ¹⁰⁻⁰ ₃₀₋₀ = 1 − ¹ ₃ = ² ₃ b) EX = ^a+b ₂ = ⁰⁺³⁰ ₂ = 15[min] = x 0,5

c) σ ² = ^(a−b) ₁₂

= ⁽⁰⁻³⁰⁾ ₁₂

= 75[min ² ]

⇒ σ = √

σ ² = 8, 66[min](= 8[min]40[s])

5. Aufgabe: X - zufällige Dauer eines Lötvorganges, X ∼ N (90s, (16s) ² )

Z = ^X−µ _σ mit µ = 90s und σ = 162 a)

P(40 < X < 80) = P

µ 40 − 90

16 < Z < 80 − 90 16

¶

= P(−3, 125 < Z < −0, 625)

= Φ(−0, 625) − Φ(−3, 125)

= (1 − Φ(0, 625)) − (1 − Φ(3, 125))

= Φ(3, 125) − Φ(0, 625)

= 0, 9991 − 0, 734 = 0, 2651

b) P(X > a) ≤ 0, 1 ⇔ P(X ≤ a) > 0, 9 ⇔ P ¡

Z ≤ ^a−90 ₁₆ ¢

> 0, 9

⇒ Φ ¡ _a−90

16

¢ > 0, 9 ⇒ ^a−90 ₁₆ > z _0,9 = 1, 2816 ⇒ a > 110, 5056

6. Aufgabe: X: zufällige Lebensdauer , X ∼ Wei(0, 10, 2)

F (x) = 1 − e ⁻⁽

⁾

= 1 − e ⁻⁽

⁾

a)

P(X ≤ 1) = 1 − e ⁻⁽

⁾

= 0, 00995

2

b)

P(X ≥ 10) = 1 − P(X < 10) = 1 − F (10) = 1 − (1 − e ⁻⁽

⁾

)

= e ⁽⁻⁽

⁾

⁾ = e ⁻¹

= 0, 3679 c)

P(5 ≤ X ≤ 10) = P(X ≤ 10) − P(X ≤ 5) = F (10) − F (5) = 1 − e ⁻¹

− (1 − e ^−0,5

)

= e ^−0,5

− e ⁻¹

= 0, 4109 7. Aufgabe:

X: Füllmenge in ml, X ∼ N (502, 1) Z = ^X−µ _σ mit µ = 502 und σ = 1

a)

P(500 ≤ X ≤ 503) = P

µ 500 − 502

1 ≤ Z ≤ 503 − 502 1

¶

= P(−2 ≤ Z ≤ 1)

= Φ(1) − Φ(−2) = Φ(1) + Φ(2) − 1 = 0, 8413 + 0, 9772 − 1 = 0, 8185 b)

µ = 502 ml, σ gesucht P(X ≤ 500) = P

µ

Z ≤ 500 − 502 σ

¶

= Φ µ

− 2 σ

¶

≤ 0, 01 Anwendung von Φ ⁻¹ :

− 2

σ ≤ Φ ⁻¹ (0, 01) = z _0,01 = −z _0,99 = −2, 3263

σ ≤ −2

−2, 3263 = 0, 8597 ml 8. Aufgabe:

X: Durchmesser in mm, X ∼ N (22 mm, 0, 64 mm ² ) Z = ^X−µ _σ mit µ = 22 mm und σ = 0, 8 mm

a)

P(21 ≤ X ≤ 23) = P

µ 21 − 22

0, 8 ≤ Z ≤ 23 − 22 0, 8

¶

= P(−1, 25 ≤ Z ≤ 1, 25)

= Φ(1, 25) − Φ(−1, 25) = Φ(1, 25) − (1 − Φ(1, 25)) = 2 · Φ(1, 25) − 1

= 2 · 0, 8944 − 1 = 0, 7888 b)

P(X ≤ 21) = P µ

Z ≤ 21 − 22 σ

¶

= Φ µ

− 1 σ

¶

≤ 0, 05 Anwendung von Φ ⁻¹ :

− 1

σ ≤ Φ ⁻¹ (0, 05) = z 0,05 = −z 0,95 = −1, 6449

σ ≤ −1

−1, 6449 = 0, 608 mm

3

9. Aufgabe: X: Wartezeit in s, λ = _EX ¹ = ₁₅ ¹ , X ∼ Exp( ₁₅ ¹ )

a)

P(X > 30) = 1 − P(X ≤ 30) = 1 − (1 − e ⁻

^·30 ) = e ⁻² = 0, 1353 b)

P(12 ≤ X ≤ 18) = P(X ≤ 18) − P(X ≤ 12) = F (18) − F (12) = (1 − e ⁻

) − (1 − e ⁻

) = e ⁻

− e ⁻

= 0, 1481

c)

0, 25 = P (X ≤ x _0,25 ) = 1 − e ⁻

^·x

0, 75 = e ⁻

^·x

ln µ 3

4

¶

= −x _0,25 15

x _0,25 = −15 · (ln(3) − ln(4)) = 4, 3152

4