Übungsblatt 5 Relativitätstheorie II
Sommersemester 2015
Fakultät für Physik, Universität Stuttgart Prof. Dr. R. Hilfer
Aufgabe 1 (Votieraufgabe) 4 Punkte
Zeigen Sie aus der Definition, dass die Größe Rjkli ein Tensor ist.
Aufgabe 2 (Hausaufgabe) 4 Punkte
Bestimmen Sie die ChristoffelsymboleΓijk und den KrümmungstensorRijkl für zweidimensionale semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten deren Metrik (gij) im Koordinatensystem (x1, x2) fol- gende Form hat.
1.
(gij)(x1, x2) =
a 0
0 f(x1)
. (1)
wobei a6= 0 konstant ist und f(x1) eine glatte Funktion ist, die nirgends verschwindet.
2.
(gij)(x1, x2) =f(x1)
a 0
0 b
. (2)
wobei a 6= 0, b 6= 0 konstant sind und f(x1) eine glatte Funktion ist, die nirgends ver- schwindet.
Aufgabe 3 (Votieraufgabe) 4 Punkte
Die Einheitskugel im dreidimensionalen Raum sei durch Kugelkoordinaten (θ, φ) wie üblich parametrisiert (0≤θ < π,0≤φ <2π).
Ein Tangentialvektor V im Punkt A(θ = π/2, φ = 0) werde nun entlang des folgenden Weges auf der Kugeloberfläche parallelverschoben: (1) entlang des Längenkreises φ = 0 zum Nord- pol, (2) entlang des Längenkreises φ = π/2 zurück zum Äquator, (3) entlang des Äquators zurück zum Ausgangspunkt A. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem ursprünglichen und parallelverschobenen Vektor im PunktA. Interpretieren Sie das Resultat geometrisch.
Bitte Wenden!
Aufgabe 4 (Hausaufgabe) 4 Punkte Auf Blatt 4 Aufgabe 3 wurde das Radarkoordinatensystem (y0, y1) auf der Radarmenge Rz(τ)
vorgestellt. Die Metrik (˜gij)(y0, y1) in Radarkoordinaten zur Trajektorie z(τ) = a−1(sinh(aτ), cosh(aτ))aus Aufgabenteil 2, wurde in Aufgabenteil 3 berechnet als
(˜gij)(y0, y1) = e2ay1
1 0
0 −1
. (3)
Stellen Sie die Geodätengleichungen in diesen Koordinaten auf und lösen Sie diese entweder direkt oder durch einen geschickten Ansatz. Bestimmen Sie zu gegebenem Anfangspunktγ(0)∈ R2 und gegebener Anfangsgeschwindigkeit γ0(0)∈R2 die entsprechende Geodätische.
Hinweis: Falls Sie versuchen die Gleichung direkt zu lösen: Betrachten Sie die Summe und die Differenz der Geodätengleichungen.
