Übungsblatt 6 Relativitätstheorie II

Übungsblatt 6 Relativitätstheorie II

Sommersemester 2018

Fakultät für Physik, Universität Stuttgart Prof. Dr. R. Hilfer

Vorbemerkung: AlleTeilaufgaben der einzigen Aufgabe dieses Übungsblatts können unter Ver- wendung der angegebenen Zwischenergebnisse unabhängig voneinander bearbeitet werden.

Aufgabe 8 × 2 Punkte

Betrachten Sie einen Lichtstrahl der von der Erde zur Venus gesendet und zurückreflektiert wird. Bei einer nicht-relativistischen Betrachtung kann die Zeit die zwischen Aussendung und Rückkehr des Lichtstrahls durch

t_kla = 2 c

q

r²_E−r²₀+ q

r²_V−r₀²

(1) ausgedrückt werden. Hier istrEder Abstand zwischen Sonne und Erde,rVder Abstand zwischen Sonne und Venus, undr₀ ist der Abstand des Lichtstrahls von der Sonne (stets bezogen auf die Schwerpunkte).

In dieser Aufgabe wird der relativistische Fall betrachtet, wobei das Gravitationsfeld der Sonne durch die Schwarzschildmetrik

ds² = 1− r_s

r

c²dt²− 1− r_s

r −1

dr²−r² dθ² + sin²θdφ²

(2) modelliert wird (t ∈ R, r > 0, θ ∈ (0, π), φ ∈ (0,2π)). Es soll gezeigt werden, dass sich für kleine Schwarzschildradien r_s in erster Ordnung die Rückkehrzeit

t_rel = 2 c

q

r_E² −r²₀+ q

r²_V−r²₀

(3a) + 2r_s

c log

"

(r_E+p

r²_E−r²₀)(r_V+p

r²_V−r₀²) r₀²

#

(3b) + r_s

c

rr_E−r₀ r_E+r₀ +

rr_V−r₀ r_V+r₀

(3c) ergibt (Stichwort: “Shapiro-Verzögerung”). Hier sind die Größen r_E, r_V und r₀ als Radienr im Sinne der Schwarzschildkoordinaten(t, r, θ, φ) zu interpretieren. Die Gravitation von Erde und Venus und deren Bewegung werden vernachlässigt.

1. Zeigen Sie Gleichung (1).

2. Folgern Sie aus (2), dass die Trajektorie eines Lichtstrahls der in der Ebene θ = π/2 verläuft die Differentialgleichung

1− r_s

r

c²t˙²− r˙²

1− ^r_r^s −r²φ˙² = 0 (4) erfüllt, wobei der Punkt die Ableitung nach dem Parameter der Trajektorie notiert. (In dieser Gleichung und im Folgenden sindt, r, φ Funktionen dieses Parameters.)

Nehmen Sie an, dass die Parametrisierung so gewählt ist, dass A:= ˙t

1− rs

r

, B :=r²φ˙ (5)

Erhaltungsgrößen sind, also Konstanten. (Dass dies möglich ist, folgt aus einer Variante des Noetherschen Theorems.)

3. Zeigen Sie, dass man aus (4), (5) und der Definition von r₀ folgendes erhält:

B²

A² = r₀²c²

1−r_s/r₀. (6)

4. Leiten Sie aus (4), (5) und (6) die folgende Formel her

˙ r t˙ =c

1− r_s r

s

1− 1−r_s/r 1−r_s/r₀

r₀ r

2

. (7)

5. Erklären Sie, warum aus (7) folgt, dass die Zeit bis zur Rückkehr des Lichtstrahls durch den Ausdruck

t_rel = 2

c[F(r_E) +F(r_V)] (8a)

gegeben ist, wobei F(r₁) für r₁ > r₀ durch den folgenden Integralausdruck definiert ist F(r1) :=

Z r1

r0

dr (1−r_s/r)q

1− _1−r^1−rs/r

s/r0(r₀/r)²

. (8b)

6. Berechnen Sie, dass d

dx

1 q

1− ^1−x/a_{1−x/b a}^b2

x=0

= b

2(a+b)√

a²−b² für a > b >0, (9a) Z x

a

dy (y+a)p

y²−a² = 1 a

rx−a

x+a für x > a > 0. (9b)

7. Zeigen Sie, dass man die Formel (3) aus (8) erhält, wenn man den Integranden in (8b) bis zur ersten Ordnung in r_s1 entwickelt. Sie dürfen die Gleichungen (9) verwenden.

8. Diskutieren Sie, inwiefern die Größen die in den Formeln (1) und (3) auftauchen experi- mentell zugänglich sind.