Aufgabe 1: 4 Punkte Es seid= infu∈W1,p 0 J(u)

Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Hans Irl 5.7.2011

Numerik II — Blatt 8

Es sei p ≥ 2 und G ein Gebiet im Rⁿ. Es sei f ∈ L^p0(G). Wir betrachten J :W₀^1,p(G)→R,

J(u) =1

pk∇uk^p_p− hf,∇ui.

Aufgabe 1: 4 Punkte

Es seid= inf_u∈W1,p

0 J(u). Zeigen Sie, dass−∞< d <∞.

Aufgabe 2: 4 Punkte

Zeigen Sie dieClarksonsche Ungleichung:

k(f+g)/2k^p_p+k(f−g)/2k^p_p≤ 1

2(kfk^p_p+kgk^p_p).

Tipp: Zeigen Sie zunächst die Ungleichungx^p+y^p≤(x²+y²)^p/2 für positive x, y. Betrachten Sie dazu die Funktionh(x) = (1 +x²)^p/2−x^p−1. Verwenden Sie schlussendlich die Konvexität vonx7→x^p/2; dap≥2 ist.

Aufgabe 3: 4 Punkte

Beweisen Sie, die eindeutige Existenz von Minimierern vonJ.

Zeigen Sie dafür, dass eine Minimalfolgeul:J(ul)→dmitl→ ∞eine Cauchy- folge in W₀^1,p ist. Tipp: Argumentieren Sie analog zu dem entsprechenden Beweis für den Laplaceoperator aus der Vorlesung; verwenden Sie dazu auch die Clarksonsche Ungleichung.

Aufgabe 4: 4 Punkte

Es seiTein nicht entartetes Dreieck imRⁿ. Zeigen Sie, dassdimPk(T) = ^n+k_n .

Aufgabe 5: 4 Punkte

Es seiB ein Ball imRⁿ undf ∈L^p(B). Zeigen Sie, dass

− ˆ

B

|f− hfi_B|^pdx≤2^pinf

a∈R

− ˆ

B

|f −a|^pdx,

wobei

hfi_B=− ˆ

B

f dx=|B|⁻¹ ˆ

B

f dx.