Technische Universit¨at Chemnitz
Fakult¨at f¨ur Mathematik Juni 2019
Beispielklausur – H¨ ohere Mathematik II
B AP∗ 2, B MB∗ 2, B Me∗ 2, B MM 2, B Sp∗ 2, D MB∗ 2
Allgemeine Hinweise:
Alle L¨osungsschritte sind zu begr¨unden und nachvollziehbar aufzuschreiben.
Numerisch ermittelte Zahlenwerte sind mit vier Nachkommastellen anzugeben.
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
1. Finden Sie die lokalen Maximum- und Minimumstellen von f(x, y) = (x3−3x)(y+ 3) +y(y+ 6).
2. Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x coty+y arccotx in der Umgebung von x=x0 = 0, y =y0 = π2 .
(a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an z=f(x, y) in (x0, y0) ?
(b) Finden Sie eine Richtung r, f¨ur die die Richtungsableitung in (x0, y0) verschwindet.
3. (a) Zeigen Sie, dass das auf D={(x, y, z)∈R3 :y >0} definierte Vektorfeld v = ( 2x z − y−1, y−1 + xy−2, x2 − z2)⊤
ein Potentialfeld ist.
(b) Bestimmen Sie das Potential von v.
(c) Berechnen Sie die Quelldichte des Vektorfeldesv.
4. Berechnen Sie das Bereichsintegral Z Z
B
x y db
f¨ur das Dreieck B mit den Eckpunkten P(1,1), Q(3,3), R(0,2).
5. (a) Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten ck der periodischen Funktion f(t) = e|t|, −1≤t≤1, f(t) =f(t+ 2), t ∈R.
(b) Zeigen Sie, dass alleck reell sind.
6. Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe X∞
n=2019
n−1
n (x−1)n.
Bewertung
Aufgabe 1 2 3 4 5 6
Punkte 8 4 7 9 8 4
