Dr. Marcel Dettling 07.05.2010
Dr. Daniel Haase FS 2010
daniel.haase@math.ethz.ch
Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U)
Serie 10
Abgabe bis sp¨atestens 14.05.2010 in der ¨Ubung
Aufgabe 28 (Die Gleichverteilung)
(a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ur die ZufallsvariableX =
”Anzahl der geworfenen Augen mit einem regul¨aren W¨urfel“ ist eine Uniform-Verteilung. Nun wird ein solcher regul¨arer W¨urfel aber 2x geworfen undY =
”Summe der Augenzahlen aus den beiden W¨urfen“. Es handelt sich nun nicht mehr um eine Uniform-Verteilung. Bestimme und zeichne die entsprechende diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion.
auf. Beachte dass die Summe ¨uber alle Wahrscheinlichkeiten gleich Eins sein muss.
(b) Nun haben wir es mit einem gef¨alschten W¨urfel zu tun. Er ist so gef¨alscht, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine bestimmte Augenzahl umgekehrt proportional zur Augenzahl ist. Es sei nun X =
”Anzahl der geworfenen Augen“. Bestimme und zeichne die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion. Der gef¨alschte W¨urfel wird nun 2x geworfen. Bestimme und zeichne die Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ur Y =
”Summe der Augenzahlen aus den beiden W¨urfen“.
(c) Ein auf der Strasse gefundener Franken ist leicht verbogen. Er wird 10mal geworfen, und das dreimal hintereinander. Die W¨urfe lauten
KZZKKZZZKK , KZZZZZZZZZ , ZZZZZZZZZZ .
Berechne die relative H¨aufigkeit der Kopf-W¨urfe separat f¨ur die drei Folgen. Danach berechne die Wahrscheinlichkeit f¨ur diese Folgen unter der Annahme, dass die M¨unze fair ist (also 50% Wahr- scheinlichkeit f¨ur Kopf), und dann unter der Annahme, dass der Kopf eine Wahrscheinlichkeit von nur 0.4 besitzt. Beachte dass es hier auf die korrekte Reihenfolge ankommt.
Aufgabe 29 (Die Binomialverteilung)
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer fairen M¨unze bei 5 W¨urfen genau zweimal Kopf zu werfen?
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer unfairen M¨unze (Kopf hat Wahrscheinlichkeit 0.4) bei 5 W¨urfen h¨ochstens zweimal Kopf zu werfen?
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 500mal Kopf zu werfen wenn man 1000mal werfen darf?
Beantworte die Frage f¨ur den Fall dass die M¨unze fair ist (also echte 50%-Chance auf Kopf), und dass sie unfair ist (Wahrscheinlichkeit nur 0.4 f¨ur den Kopf). Bearbeite diese Frage nicht per Hand, sondern verwendeMathematica: der ZufallsvariablenX ordnet man die BinomialverteilungB(n, p) zu mit dem KommandoX = BinomialDistribution[n,p], danach kann man mitPDF[X][k]die Wahr- scheinlichkeitP(X=k) abfragen.
(d) Wie hoch ist bei einer fairen M¨unze die Wahrscheinlichkeit, bei 1’000’000’000 W¨urfen h¨ochstens 500’000’000 mal den Kopf zu erhalten?
- Bitte wenden -
Aufgabe 30 (Eine Korrelation)
Lade den Datensatz zur Serie 10 von der Homepage, und bearbeite dann die folgenden Aufgaben mit Mathe- matica:
(a) Auftrennung der Blumensorten: Sind es die Sepal- oder die Petalbl¨atter, welche die verschiedenen Blumensorten am besten unterscheiden k¨onnen? Probiere zur Beantwortung dieser Frage alle 4 quan- titativen Variablen einzeln mit einem geeigneten Plot durch.
(b) Scatterplot der Sepalbl¨atter: Erstelle einen Scatterplot von L¨ange und Breite der Sepalbl¨atter, ohne Regressions- und Gl¨attungsgerade.
(c) Separate Scatterplots: Nun drei separate Scatterplots jeweils f¨ur die drei Blumensorten, indem Du die Stichprobe auftrennst.
(d) Berechnung der Korrelation: Berechne die Korrelation zwischen L¨ange und Breite der Sepalbl¨atter sowohl mit der Methode von Pearson, wie auch mit der Methode von Spearman, ¨uber die gesamte Stichprobe.
(e) Berechnen die Korrelation zwischen L¨ange und Breite f¨ur jede einzelne Blumensorte.
Die Datens¨atze beschreiben die L¨angen und Breiten der verschiedenen Blatttypen dreier Blumensorten. Ziel ist es, Anhand der Blatteigenschaften die Art der Blume zu bestimmen.
Die Struktur der Datens¨atze ist:
(1) Sepal (L¨ange) (2) Sepal (Breite) (3) Petal (L¨ange) (4) Petal (Breite) (5) Blumensorte
(Quelle: Wiki-Commons)
