Dr. M. Dettling 29.05.2009
Dr. Daniel Haase FS 2009
daniel.haase@math.ethz.ch
Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U)
Serie 13
Abgabe bis sp¨atestens∞09:00 Uhr
- Diese Serie wird nicht abgegeben und nicht korrigiert -
Aufgabe 37 (Lineare Gleichungssysteme)
Wir verzichten in dieser Serie auf Namen, Einheiten und Fallbeispiele. Die folgenden Aufgaben kann man je nach Wunsch mit Salatk¨opfen, Feinstaub, Cola, Tramlinien oder Kunststoff versehen. . .
Betrachte
A =
2 1 0 0 3 5 1 1 1
, b =
1 0 1
uber den reellen Zahlen¨ R. Bestimme den einzigen L¨osungsvektor des linearen GleichungssystemsAx=b mit Hilfe der Matrizeninvertierung, der Cramerschen Regel, dem allgemeinen L¨osungsverfahren von der Kurzanlei- tung aus der 1. Woche, und schließlich mitMathematica.
L¨ose dann die zum System geh¨orende NormalengleichungATAx=ATbper Hand (entweder mit dem Gaussver- fahren oder durch Matrizeninvertierung).
Beweise die folgende Aussage: IstAinvertierbar, so ist die L¨osung der NormalengleichungATAx=ATb immer auch die L¨osung der urspr¨unglichen GleichungAx=b(d. h. die Approximation ist immer optimal wenn es eine L¨osung gibt).
Aufgabe 38 (Basiserg¨ anzung)
Zeige, dass die Vektorenv(1)=
1 1 2 1 0
, v(2)=
1 0 0 0 1
, v(3)=
2 1 1 1 0
imR5linear unabh¨angig sind, und erg¨anze sie dann zu einer Basis desR5.
Aufgabe 39 (Ein großes LGS)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
4 0 2 -6 -1
4 0 -2 6 1
4 4 1 7 -1
10 15 7 22 -5
-20 -30 -14 -44 10
·x =
2 6 13 46
−92
uber den reellen Zahlen. Bringe die augmentierte Matrix auf Zeilenstufenform, bestimme den Rang sowie eine¨ Basis des Vektorraums, der von den Zeilen der Matrix erzeugt wird. Entscheide, ob das LGS l¨osbar ist, und bestimme mit Hilfe der Kurzanleitung aus der ersten Woche die allgemeine L¨osungsmenge des Systems.
L¨ose diese Aufgabe per Hand (es treten allerdings Br¨uche auf).
Aufgabe 40 (Konfidenzintervall mit St¨ orenfried)
Eine Zufallsvariable X seiN(µ,2)-verteilt mit unbekanntem Mittelwertµund bekannter Standardabweichung σ[X] = 2. Eine Testreihe ergibt die folgenden Werte:
0 , 1 , −1 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 120 , 0 , 2.
Berechne ein 90%-Konfidenzintervall f¨urµunter der gegebenen Varianz, sowie ein 90%-Konfidenzintervall unter der Annahme, dasσfehlerhaft ist und daher aus der Stichprobe gesch¨atzt werden muss. Entscheide in diesem Fall, ob man die HypotheseH0: µ= 2 auf dem Signifikanzniveau 5% verwerfen muss. Wie interpretiert man diesen Test?
Aufgabe 41 (Verschiedene Stichprobenzahl)
Zwei Zufallsvariablen X und Y seien jeweils normalverteilt mit unbekannten Mittelwerten µX undµY, sowie gleicher bekannter Standardabweichung σ[X] =σ[Y] = 3. Gegeben seien die Stichproben
(x1, x2, x3) = (10,11,12) , (y1, y2, y3, y4) = (2,3,1,2)
verschiedener L¨ange. Wie sieht die Verteilung der Summe-ZufallsvariablenS=X+Y aus? Berechne ein 95%- Konfidenzintervall f¨ur deren MittelwertµS.
Aufgabe 42 (Lineare Regression)
Bestimme eine Regressionsebene y=β(0)+β(1)x(1)+β(2)x(2) f¨ur die Datenwerte
n 1 2 3 4 5
Y 0 0 1 1 0
X(1) 2 1 2 1 2 X(2) -1 0 1 2 3
mit Hilfe der Normalengleichung. Bestimme die Residuen und die Standardabweichungen der Sch¨atzer ˆβj. F¨uhre alle Rechnungen per Hand durch.
Aufgabe 43 (Matrizenrechnerei)
Gegeben seien die folgenden Matrizen:A = 0 1
1 0
, B =
0 0 0 1 1 1 2 2 2
, C =
0 1 1 1 1 0
.
Entscheide, welche der Matrizenprodukte
A·A , A·B , A·C , B·A , B·C , C·CT , CT·C , BCA , ABC , ACB
existieren, und berechne deren Ergebnis. Bestimme von A, A2,B und B2 die Eigenwerte und Eigenvektoren, sowie die Determinante.
Aufgabe 44 (Lineare Unabh¨ angigkeit)
Zeige, dass die Vektorenx(1) =
1 1 2 2
, x(2) =
2 3 1 1
, x(3) =
4 5 5 5
, x(4) =
3 5 0 0
, x(5) =
1 0 5 5
linear abh¨angig sind. Finde eine konkrete Nullkombination aus diesen Vektoren. Bestimme dann eine Basis des von diesen Vektoren erzeugten Vektorraums.
Aufgabe 45 (Mathematica-Regression)
Lade das NB-File zu Serie 13 von der Homepage, es enth¨alt eine umfangreiche Datenprobe der Form (x1, x2, x3, y).
VerwendeMathematicaum ein m¨oglichst optimales lineares Modell f¨ur diese Daten zu finden (dazu ist das Vor- schalten geeigneter Funktionen notwendig, wie in Aufgabe 34). Die Aufgabe gilt als richtig gel¨ost falls das gefundene Modell nur Residuen mit Betrag kleiner 1 produziert.
Hinweis: Vierfachdaten kann man leider nicht mehr plotten. Betrachte die Datenliste und versuche, den Einfluss der einzelnen Komponenten aufY zu erraten.
