Dr. M. Dettling 24.04.2009
Dr. Daniel Haase FS 2009
daniel.haase@math.ethz.ch
Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U)
Serie 8
Abgabe bis sp¨atestens30.04.200909:00 Uhr
Aufgabe 22 (Die Dreiecksverteilung)
Gegeben sei die Funktionf(x) =
0 falls x ≤ −2
a+14x falls −2 ≤ x ≤ 0 a−14x falls 0 ≤ x ≤ 2
0 falls 2 ≤ x
.
(a) Berechne die Konstantea∈R, so dassf(x) eine Dichtefunktion ist, und skizziere diese Funktion.
(b) Die stetige ZufallsvariableX habe die Dichtefunktionf(x), berechne ihre VerteilungsfunktionF(x).
(c) Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung vonX.
Aufgabe 23 (Normalverteilung)
Die L¨ange eines Werkst¨ucks sei normalverteilt mit Mittelwertµ= 10m und Varianzσ2= 1m2. Ein Werkst¨uck ist Ausschuss, wenn seine L¨ange≤9.5m oder≥10.2m ist.
(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkst¨uck Ausschuss ist.
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkst¨uck nur um 1mm vom Mittelwert abweicht?
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkst¨uckexakt 10 Meter lang ist?
Verwende zur L¨osung der Aufgabe nichtMathematica, sondern die Tabellen von der Vorlesungshomepage.
Aufgabe 24 (Normalverteilung mit
Mathematica)Ein Ger¨at zur Messung des pH-Wertes einer L¨osung gibt Werte aus die fehlerhaft sind, und durch eine normal- verteilte Zufallsvariable modelliert werden mit Mittelwert µ(der tats¨achliche pH-Wert) und Varianzσ2= 1.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der gemessene pH-Wert≤1 ist, wenn der tats¨achliche pH-Wert 2 ist.
(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Wert ausserhalb der Skala erh¨alt (≤0 oder≥14), wenn man neutrale Fl¨ussigkeiten misst (µ= 7).
(c) Plotte die Dichtefunktion f¨ur die Werte µ= 7 sowieµ= 13.
(d) Begr¨unde mit Teil (c) und der Definition des pH-Werts, warum N(µ,1) aus Sicht der Chemie kein sehr gutes Modell f¨ur eine Messung ist.
L¨ose die Teile (a)-(c) nicht mit den Tabellen, sondern mitMathematica. Die notwendigen Befehle lauten:
• Auswahl der Verteilung f¨ur die ZufallsvariableX durchX = NormalDistribution[mu,sigma], wobei muder Mittelwert, undsigmadie Standardabweichung ist. StattNormalDistributionkann hier auch eine andere Verteilung stehen.
• Die kumulative Verteilungsfunktion (Englisch: cumulative distribution function) von X ist CDF[X], beispielsweise berechnetCDF[X][2]den Wert der Verteilungsfunktion an der Stellex= 2.
• Die Dichtefunktion (probability density function) vonX erh¨alt man ebenso mitPDFstattCDF.
• Mathematica berechnet das Integral ¨uber die Glockenfunktion, d.h. man erh¨alt einen algebraischen Ausdruck. Da hier aber nach konkreten Zahlen gefragt ist muss man die Funktionen mit Kommastellen aufrufen, alsoCDF[X][1.0]stattCDF[X][1].
• Eine Funktion plottet man im Intervall [a, b] mit dem BefehlPlot[Funktion[x],{x,a,b}].
