Dr. M. Dettling 08.05.2009
Dr. Daniel Haase FS 2009
daniel.haase@math.ethz.ch
Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U)
Serie 10
Abgabe bis sp¨atestens 15.05.2009 09:00 Uhr
Aufgabe 28 (Vorzeichentest und
z-Test)Feinstaubmessungen innerhalb und entfernt von einem Geb¨aude ergaben die folgenden Werte (gemessen in µg/m3):
Außen 38 44 45 49 43 37 Innen 42 42 41 42 41 42
Wir nehmen an, dass die Messvorrichtungen normalverteilt Werte mit MittelwertenµAbzw.µI produzieren bei gemeinsamer Standardabweichungσ= 1µg/m3. Zur Debatte steht, ob die Belastung im Haus geringer ist, also die HypotheseH0: µA≥µI.
(a) Entscheide durch einen Vorzeichentest, ob die Stichprobe zur Beibehaltung von H0 zum Signifikanz- niveau 95% f¨uhrt.
(b) Entscheide durch einenz-Test, ob die Stichprobe zur Beibehaltung vonH0zum Signifikanzniveau 95%
f¨uhrt.
Aufgabe 29 (Saure Cola)
Ein Unternehmen behauptet, das von ihm produzierte Cola-Getr¨ank ist nicht zu sauer (d. h. pH-Wert nicht kleiner als zwei).
(a) Eine Stichprobe mit 121 Flaschen ergibt einen pH-Mittelwert von 1.8 und eine Varianz von 0.04, kann man die Behauptung des HerstellersH0: µ≥µ0= 2 mit 99% Signifikanz beibehalten?
(b) Der Hersteller zweifelt die Richtigkeit der Messung an und verlangt eine neue Stichprobe. 15 erneut zuf¨allig untersuchte Flaschen ergaben ¨uberraschend einen pH-Mittelwert von 1.99 bei gleicher Varianz, kann man die Behauptung des Herstellers mit 99% Signifikanz beibehalten unter der Annahme, dass man die erste Stichprobe nicht wertet?
Hinweis: Bei unbekannter Varianz ist dert-Test mit Hilfe dert-Verteilung anstelle der Normalverteilung durch- zuf¨uhren. Berechne das Quantil nicht mitMathematica, sondern verwende die 2. Seite der Perzentil-Tabelle auf der Vorlesungshomepage.
Aufgabe 30 (Der Tram-Test)
Eine Tramlinie verkehrt im 10-Minuten-Takt, an der Haltestelle stehen 6 Fahrg¨aste und beginnen sich ¨uber die lange Wartezeit zu unterhalten. Beim Einsteigen tauschen sie aus, wie lange sie gewartet haben: jeweils 3, 6, 5, 2, 8 und nochmal 8 Minuten. Die Fahrg¨aste wundern sich: im Mittel m¨usste die Wartezeit genau 5 Minuten betragen (wenn man annimmt, dass die Fahrg¨aste zu zuf¨alligen Zeitpunkten an der Haltestelle eintreffen), aber die H¨alfte der Fahrg¨aste hat l¨anger gewartet.
(a) Extrahiere aus dem Aufgabentext das mathematische Modell: Beschreibe die Modellannahmen, die zu w¨ahlende Verteilung, die Null- und die Alternativhypothese, den Annahmebereich f¨ur die Nullhy- pothese bei 95% Signifikanz, den Wert der Teststatistik, denP-Wert. Entscheide letztendlich, ob man mit 95% Signifikanz sagen kann, dass die Wartezeit im Schnitt genau 5 Minuten betr¨agt.
(b) Angenommen man weiss dass der Mittelwert bei genau 5 Minuten liegt. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Befragung von 6 zuf¨alligen Fahrg¨asten die HypotheseH0 aus Teil a) best¨atigt?
