Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Vorlesung WS 1983/84 und WS 1989/90

Peter Wagner

1. September 2017

1 Die Welt der Distributionen 1

1.1 Distributionen . . . . 1

1.1.1 Ubungen . . . . ¨ 3

1.2 Differentiation . . . . 5

1.2.1 Ubungen . . . . ¨ 5

1.3 Produkte . . . . 7

1.3.1 Ubungen . . . . ¨ 9

1.4 Fouriertransformation . . . . 10

1.4.1 Ubungen . . . . ¨ 11

2 Hilbertr¨ aume 13 2.1 Definition . . . . 13

2.1.1 Ubungen . . . . ¨ 14

2.2 Fourierreihen . . . . 15

2.2.1 Ubungen . . . . ¨ 17

2.3 Beschr¨ ankte Operatoren . . . . 18

2.3.1 Ubungen . . . . ¨ 22

2.4 Sobolev-R¨ aume . . . . 24

2.4.1 Ubungen . . . . ¨ 26

3 Unbeschr¨ ankte Operatoren 28 3.1 Ubungen . . . . ¨ 35

4 Der Spektralsatz f¨ ur beschr¨ ankte symmetrische Operatoren 37 4.1 Ubungen . . . . ¨ 51

5 Der Spektralsatz f¨ ur selbstadjungierte Operatoren 54 5.1 Ubungen . . . . ¨ 65

6 Das freie Teilchen in der nichtrelativistischen QM 68

6.1 Ubungen . . . . ¨ 74

INHALTSVERZEICHNIS ii

7 Die Axiomatik der Quantenmechanik 76

7.1 Ubungen . . . . ¨ 86

8 Der harmonische Oszillator 88

8.1 Ubungen . . . . ¨ 98

9 Das Wasserstoffatom (ohne Spin) 102

9.1 Ubungen . . . 116 ¨ 10 Gelfandsche Raumtripel

= Rigged Hilbert space 118

10.1 ¨ Ubungen . . . 138 11 Axiome der relativistischen Quantentheorie 139 11.1 ¨ Ubungen . . . 152 12 Endlich-dimensionale Darstellungen der Lorentzgruppe 153 13 Unit¨ are Darstellungen der Poincar´ e-Gruppe 165

14 Die G˚ arding-Wightman-Axiome 179

15 Das Dirac-Feld 196

16 Die Wightman-Funktionen 205

17 Ausblick 225

Einleitung

B¨ ucher:

H. Triebel H¨ ohere Analysis

J. v. Neumann Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik M. Schechter Operator Methods in Quantum Mechanics

A) Die Grundlage der Quantenmechanik bilden gewisse Axiome.

Axiom 1: Die Menge der m¨ oglichen Zust¨ ande entspricht den 1-dimensionalen Unterr¨ aumen eines separablen, komplexen, ∞ - dimensionalen Hilbertraumes H.

Axiom 2: Die Menge der beobachtbaren Gr¨ oßen entspricht den selbstadjun- gierten Operatoren A von H. Der der Energie entsprechende Operator (=

Hamiltonoperator) wird mit H bezeichnet.

Axiom 3: Wenn ein System im Zustand f ∈ H, f = 1 ist und { E

: λ ∈ R} die Spektralschar des Operators A ist, so ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Messwert der A entsprechenden Gr¨ oße im Intervall [λ, µ) gleich (E

− E

)f

.

Axiom 4: Wenn sich ein abgeschlossenes System zur Zeit t = 0 im Zustand f

∈ H, f

= 1 befindet, so befindet es sich zur Zeit t ≥ 0 im Zustand f(t) = e

f

.

B) Das Ziel dieser Vorlesung ist das Verst¨ andnis der Axiome und die Untersu- chung der folgenden grundlegenden Beispiele:

1. Harmonischer Oszillator im R

2. Freies Teilchen im Intervall

3. Coulombfeld im R

(= H-Atom ohne Spin) 4. H-Atom mit Spin

5. Atom ohne Feinstruktur 6. Diracoperator

Die Vorlesung bringt eine mathematische Darstellung der Grundprinzipien der

Quantenmechanik, nicht aber eine Durchrechnung m¨ oglichst vieler physikalisch

interessanter Systeme. (Daf¨ ur siehe besser: S. Fl¨ ugge : Rechenmethoden der Quan-

tenmechanik.)

Kapitel 1

Die Welt der Distributionen

V.S. Vladimirov Les Distributions en Physique Math´ ematique W. Donoghue Distributions and Fourier Transforms

L. Schwartz Th´ eorie des Distributions

1.1 Distributionen

Definition 1.1

1. D := D ( R

) := { φ ∈ C

( R

) : supp φ kompakt } (supp φ = { x : φ(x) ̸ = 0 } ).

2. φ

−→ φ in D : ⇐⇒

(i) ∃ B ⊂ R

beschr¨ ankt: ∀ n : supp φ

⊂ B (ii) ∀ α: ∂

φ

−→

n→∞

∂

φ gleichm¨ aßig.

3. S := { φ ∈ C

( R

) : ∀ α, β : x

∂

φ ∈ L

} ;

φ

−→ φ in S : ⇐⇒ ∀ α, β : x

∂

(φ

− φ) → 0 in L

.

4. D

:= D

( R

) := { T : D ( R

) −→ C linear, sodass ∀ Folgen φ

in D mit φ

→ 0 gilt T (φ

) → 0 (in C ) } ; f¨ ur T (φ) schreiben wir < φ, T >.

5. S

:= { T : S −→ C linear, ∀ φ

→ 0 in S gilt T (φ

) → 0 } , S

, → D

: T 7−→ (φ ∈ D 7−→ < φ, T >).

6. T

→ T in D

(bzw. S

): ⇐⇒ ∀ φ ∈ D (bzw. S ): < φ, T

> → < φ, T >. Man schreibt lim

n→∞

T

= T . 7. T ∈ D

; supp T := R

\ ∪

{ U ⊂ R

offen: < φ, T > = 0 ∀ φ mit

supp φ ⊂ U } . E

:= { T ∈ D

: supp T beschr¨ ankt } .

8. T ∈ D

, f ∈ C

= ⇒ f · T ∈ D

mit < φ, f · T > := < f · φ, T >.

9. Wenn U ⊂ R

offen ist, definiert man analog D (U ), D

(U ) etc.

(aber nicht S (U ), S

(U)!).

Beispiel 1

1. δ: D −→ C : φ 7−→ φ(0) = ⇒ δ ∈ D

; δ heißt “Dirac’sche Deltafunktion ”.

2. f ∈ L

( R

) ⇒ f e : D −→ C : φ 7−→ ´

f φ dx; damit erh¨ alt man eine Einbet- tung L

, → D

: f 7−→ f; statt e f e schreibe ich wieder f .

3.

f

(x) :=

{ n : 0 ≤ x ≤

0 : sonst Dann gilt f

→ δ in D

.

n fn

1/n

Abbildung 1.1: f

(x).

Denn:

< φ, f

>= n

1

ˆ

0

φ(x) dx −→ φ(0)

nach dem Hauptsatz der Integralrechnung.

1.1 Distributionen 3

1.1.1 Ubungen ¨

1. Es sei R > 0 und δ

∈ D

( R

) definiert durch

< φ, δ

> :=

˛

|x|=R

φ(x) do

(im R

zum Beispiel ist do = R

sin(ϑ) dφ dϑ).

(a) Was ist supp δ

? (b) Berechne lim

R→0

δ

, lim

R→∞

δ

, lim

R→0

R

δ

in D

. 2. Berechne:

(a) lim

ε→0

ε

x

+ ε

in D

oder S

, (b) lim

t→∞

t

e

in D

oder S

. 3. Definiere vp

∈ D

( R

) durch

< φ, vp 1

x >= lim

ε→0

ˆ

|x|≥ε

φ(x) x dx und zeige:

(a) lim

ε↘0

1

x + iε = vp 1

x − iπδ (Formel von Sochozkij), (b) x vp 1

x = 1.

4. Es sei δ(x − k) : D ( R

) −→ C : φ 7−→ φ(k). Zeige, dass

∑

2

δ(x − k) in D

, aber nicht in S

konvergiert.

5. Es sei A : R

−→ R

linear mit det A ̸ = 0.

(a) Wie muss man T ◦ A f¨ ur T ∈ D

definieren, so dass sich f¨ ur T ∈ L

ergibt T ◦ A ∈ L

und (T ◦ A) (x) = T (Ax)?

(b) Berechne δ ◦ ( 1 2

3 4 )

im R

.

6. Wie muss man T (x + x

) f¨ ur T ∈ D

( R

), x

∈ R

fest, definieren, damit f¨ ur T ∈ L

das ¨ ubliche herauskommt?

7. Zeige:

T :=

∑

e

= 2π

∑

δ(x − 2kπ) in D

( R

) Hinweise:

(a)

∑

e

= sin(N +

)x sin(

) ,

ˆ

−1

φ(x) sin(αx)

sin(

) dx −→ φ(0) 2π f¨ ur α → ∞ , φ ∈ D ,

(b) (e

− 1)T = 0,

(c) T (x + 2π) = T , supp T = { 2kπ : k ∈ Z} . 8. Es sei f

:= Y (x) · x

Γ(α) f¨ ur α > 0 ; Y (x) =

{ 0 : x < 0 1 : x ≥ 0.

Berechne lim

α→0

f

in S

.

9. T ∈ D

( R

) heißt homogen vom Grad λ ∈ C , wenn

< φ(x · ε), T >= ε

< φ, T >

f¨ ur φ ∈ D , ε > 0.

(a) Was heißt das f¨ ur T ∈ L

?

(b) Von welchem Grad ist δ homogen?

10. Zeige:

ˆ

−∞

e

dx = 2πδ

in D

( R

), wenn man

´

−∞

als lim

N→∞

´

−N

interpretiert.

11. Es sei T ∈ E

. Zeige, dass T als lineares Funktional auf C

aufgefasst werden

kann!

1.2 Differentiation 5

1.2 Differentiation

Definition 1.2 Es sei T ∈ D

bzw. S

, α ein Multi-index. ∂

T ∈ D

bzw. S

sei durch < φ, ∂

T > = ( − 1)

< ∂

φ, T > definiert. Im R

schreibt man

T

:=

T wie ¨ ublich.

Beispiel 2 Es sei

Y (x) =

{ 0 : x < 0 1 : x ≥ 0.

Ich berechne Y

:

< φ, Y

>

=< − φ

, Y >

1

=

− ˆ

0

φ

(x) dx = − φ(x)

|

0

= φ(0) =< φ, δ >, d.h. Y

= δ.

1.2.1 Ubungen ¨

1. Zeige, dass ∂

φ, berechnet im Sinn der Distributionen, das ¨ ubliche ergibt, wenn φ ∈ C

( R

) und | α | ≤ m.

2. Zeige: φ · δ

= − φ

(0) · δ + φ(0) · δ

f¨ ur φ ∈ C

. 3. Berechne T

, T

, T

f¨ ur

(a) T = | x | sin x, (b) T = x

log | x | .

4. Berechne

[Y (x)e

] und zeige

| sin x |

+ | sin x | = 2

∑

δ(x − kπ).

5. Zeige: < φ, d dx vp 1

x > = − lim

ε→0

ˆ

|x|>ε

φ − φ(0) x

dx.

6. Zeige, dass T

−→ T in D

auch ∂

T

−→ ∂

T in D

impliziert. Ist es f¨ ur gew¨ ohnliche Funktionen ebenso?

7. Berechne ∑

k=1

cos kx

k

folgendermaßen:

(a) Differenziere 2-mal und verwende ¨ Ubung 7 in 1.1.1 und die ¨ Ubung 6.

(b) Suche eine Funktion mit Periode 2π, die dieselbe 2. Ableitung hat.

8. Man bestimme alle Distributionen T ∈ D

( R

) mit:

(a) xT = 0, (b) xT

= 1,

(c) xT

= 0,

(d) (x + 1)

T

= 0.

9. Zeige

(a) ∂

[Y (x

)Y (x

)] = δ im R

.

(b) (∂

− ∂

)[Y (x

− | x

| )] = 2δ, verwende ¨ Ubung 5 in 1.1.1.

10. (a) Berechne ∆

(

) im R

mit der Green’schen Formel.

(b) T sei homogen vom Grad λ ( ¨ Ubung 9 in 1.1.1).

Zeige: ∂

T ist homogen vom Grad λ − | α | . (c) Berechne ∆

(

) mit folgender Methode:

(i)

∈ L

( R

) ist homogen, (ii) supp (∆

(

)) ⊂ { 0 } ,

(iii) jede Distribution T mit supp T ⊂ { 0 } , hat die Form ∑

endlich

a

∂

δ mit a

∈ C ,

(iv) wende ∆

(

) auf e

∈ S an.

11. Berechne (∂

+ i∂

) 1

x + iy .

1.3 Produkte 7

1.3 Produkte

Definition 1.3

1. T

∈ D

( R

), T

∈ D

( R

); T

⊗ T

∈ D

( R

) mit

< φ(x, y), T

⊗ T

>:=<< φ(x, y), T

(x) >, T

(y) > . 2. Es seien T

∈ E

( R

), T

∈ D

( R

); T

∗ T

∈ D

( R

) mit

< φ, T

∗ T

>:=<< φ(x + y), T

(x) >, T

(y) > . T

∗ T

heißt Faltungsprodukt von T

, T

.

(<< φ(x + y), T

>, T

> ist sinnvoll, da < φ(x + y), T

(x) > kompakten Tr¨ ager in y hat!)

3. Allgemeiner existiert die Faltung von T

, T

∈ D

( R

), wenn:

∀ φ ∈ D ( R

) : φ(x + y)T

⊗ T

∈ E

( R

). (1.1) Man setzt dann einfach: < φ, T

∗ T

> = < |{z} 1

∈ C^∞(R²ⁿ)

, φ(x + y)T

⊗ T

| {z }

∈ E^′(R²ⁿ)

> .

Beispiel 3 Das Potential φ(t, x) einer elektrischen Ladungsverteilung ϱ(t, x) gen¨ ugt der Gleichung: (System: cgs) (∂

− c

∆

)φ = 4πc

ϱ.

E = 1 4πc

| x | δ

( t − | x |

c )

∈ D

( R

) sei durch

< ψ(t, x), E >= 1 4πc

ˆ

R³x

ψ ( | x |

c , x ) dx

| x | f¨ ur ψ ∈ D ( R

) definiert. Dann ist E die einzige Distribution mit:

(i) (∂

− c

∆)E = δ (das heißt E ist eine ”Fundamentall¨ osung”), (ii) supp E ⊂ { t ≥ 0 } (das heißt E ist “retardiert”).

φ ist dann durch ϱ so gegeben:

φ = E ∗ 4πc

ϱ

(falls ∗ sinnvoll ist). Es sei nun speziell ϱ durch eine sich auf der Kurve x = u(t) bewegende Ladung e gegeben, das heißt ϱ = e δ(x − u(t)) ∈ D

( R

) bzw.

< ψ, ϱ >= e ˆ

−∞

ψ(t, u(t)) dt

f¨ ur ψ ∈ D . Das zu ϱ geh¨ orige sogenannte Lienard-Wiechert-Potential φ wollen wir nun berechnen. Nach 3. gen¨ ugt f¨ ur die Existenz der Faltung, dass (1.1) erf¨ ullt ist. Im Falle, dass ∀ t : | u ˙ | > c ist (1.1) immer erf¨ ullt (vgl. Vladimirov, I, § 4).

Leider ist dieser Fall physikalisch nicht relevant. Aber auch wenn α < c existiert, sodass ∀ t : | u ˙ | < α < c, ist (1.1) erf¨ ullt ( ¨ Ubung). Die letzte Bedingung setze ich im folgenden voraus. Es sei also | u ˙ | < c und ψ ∈ D .

< ψ, 4πc

ϱ ∗ E > = 4πc

<< ψ(t

+ t

, x

+ x

), ϱ(t

, x

) >, E(t

, x

) >

= 4πc

e <

ˆ

−∞

ψ(t

+ t

, u(t

) + x

) dt

, E(t

, x

) >

= e ˆ

ψ (

t

+ | x

|

c , u(t

) + x

) dt

dx

| x

| =: A.

Wir machen die Koordinatentransformation t = t

+

, x = x

+ u(t

) = ⇒

| x

| = c(t − t

)= | x − u(t

) | .

(Dadurch sind t und x als Funktionen von t

und x

gegeben; aber auch umgekehrt sind t

und x

eindeutige Funktionen von t und x, denn, wenn t, x und t

̸ = t

gegeben sind, so gilt:

| x − u(t

) | − c(t − t

) = | x − u(t

) | − c(t − t

) = ⇒

= ⇒ c | t

− t

| = | x − u(t

) | − | x − u(t

) | ≤

≤ | u(t

) − u(t

) | ≤

≤ ˆ

t^′₁

| u(τ) ˙ | dτ < c | t

− t

| ,

d.h. t

ist durch die Gleichung c(t − t

) = | x − u(t

) | eindeutig bestimmt, die Koordinatentransformation ist injektiv. ¨ Ahnlich sieht man die Surjektivit¨ at.)

det ∂(t, x)

∂(t

, x

) =

det

( 1

2|

˙

u(t

) I

) =

1 − u(t ˙

)

x

c | x

|

= 1 − u(t ˙

)

x

c | x

| . Daher:

A = ec

ˆ ψ(t, x) dt dx

c | x

| − u(t ˙

)

x

= ec

ˆ ψ(t, x) dt dx

c | x − u(t

) | − u(t ˙

)

(x − u(t

))

1.3 Produkte 9

und folglich

φ(t, x) = 4πc

ϱ ∗ E = ec

c

(t − t

) − u(t ˙

)

(x − u(t

)) ,

wobei t

durch | x − u(t

) | = c(t − t

) als Funktion von t und x bestimmt ist.

1.3.1 Ubungen ¨

1. Was bedeutet

(a) T

⊗ T

f¨ ur T

∈ L

? (b) T

∗ T

f¨ ur T

∈ L

? 2. Bestimme

(a) δ ⊗ · · · ⊗ δ,

(b) ∂

(T

(x) ⊗ T

(y)), (c) δ ∗ T,

(d) δ

∗ T f¨ ur T ∈ D

( R

), (e) f ∗ δ

, f ∈ L

,

(f) ∂

(T

∗ T

),

(g) δ(x − a) ∗ δ(x − b).

3. Zeige

(a) supp T

⊗ T

= supp T

× supp T

, (b) supp T

∗ T

⊂ supp T

+ supp T

.

4. Berechne in D

:= { T ∈ D

( R

) : supp T ⊂ [0, ∞ ) } (a) Y (x) ∗ Y (x),

(b) Y (x) cos x ∗ Y (x)x

,

(c) f

∗ f

(siehe ¨ Ubung 8 in 1.1.1), (d) zeige

(f

∗ T ) = T f¨ ur T ∈ D

.

(Deshalb heißt f

∗ T Integral der Ordnung α von T . Wie m¨ usste die

Ableitung der Ordnung α definiert werden?)

5. (a) Zeige, dass φ ∗ T ∈ C

f¨ ur φ ∈ D , T ∈ D

und φ ∗ T (x) = < φ(x − y), T (y) > .

(b) Wie kann man φ ∗ T f¨ ur φ ∈ S , T ∈ S

definieren, sodass es f¨ ur φ ∈ D mit a) ¨ ubereinstimmt.

6. Berechne das Potential einer geladenen Hohlkugel, d.h.

∗ δ

im R

. 7. Zeige, dass die Abelsche Integralgleichung

g(x) = 1 Γ(1 − α)

ˆ

f (y) dy

(x − y)

(0 < α < 1 fest), wobei g ∈ C

gegeben, f gesucht ist, die einzige L¨ osung

f (x) = 1 Γ(α)

ˆ

g

(y) dy (x − y)

hat.

1.4 Fouriertransformation

Definition 1.4 1. F¨ ur φ ∈ S sei

b φ(ξ) :=

ˆ

e

φ(x) dx

2. F¨ ur T ∈ S

sei T b ∈ S

durch < φ, T >:=< b φ, T > b definiert.

Dann gilt:

(i) T = (2π)

T b ˆ ( − x) (”Fourier-Umkehrformel” ).

(ii) T b ist analytisch f¨ ur T ∈ E

und T b (z) =< e

, T > . (iii) S [ ∗ T = S b · T b f¨ ur S ∈ S

, T ∈ E

.

(iv) T

−→ T in S

= ⇒ T b

−→ T b in S

( b ist stetig).

(v) F¨ ur f ∈ L

⊂ S

gilt: f b (ξ) = ´

e

f(x) dx ∈ C

( R

).

(vi) F¨ ur f ∈ L

⊂ S

gilt: f b ∈ L

und b f

2

= (2π)

f

2

(”Parseval’sche Formel” ).

1.4 Fouriertransformation 11

Beispiel 4 Wir berechnen b δ

im R

. δ

∈ E

mit < φ, δ

>= ´

|x|=R

φ(x) do, φ ∈ C

, do = R

sin ϑ dφ dϑ in Kugelkoordinaten. Aus (ii) folgt:

δ b

(ξ) =< e

, δ

>=

ˆ

|x|=R

e

do;

offenbar h¨ angt b δ

(ξ) nur vom Betrag | ξ | ab. Es sei daher oEdA ξ = (0, 0, | ξ | );

x = R(sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ) in Kugelkoordinaten 0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π ⇒

b δ

(ξ) = R

ˆ

0

ˆ

e

sin ϑ dϑ dφ

= 2πR

ˆ

0

e

sin ϑ dϑ [

u = R | ξ | cos ϑ ]

= 2πR

| ξ |

R|ξ|

ˆ

−R|ξ|

e

du

= 2πiR

| ξ | (e

− e

)

= 4πR

| ξ | sin (R | ξ | ).

1.4.1 Ubungen ¨

1. Zeige, dass f¨ ur T ∈ S ⊂ S

die Definitionen in 1. und 2. von Def. 1.4 ¨ uber- einstimmen.

2. F¨ ur T ∈ S

und D := − i∂ beweise:

(a) D [

T = ξ

T , b (b) ξ d

T = ( − D)

T , b

(c) T \

⊗ T

= T b

⊗ T b

.

3. Berechne im R

(a) δ(x − x

) b f¨ ur x

∈ R

, (b) e [

, c ≥ 0,

(c) e [

, c ≥ 0, (d) (e

) b ,

(e) d

1+x²

(mit und ohne Verwendung von b)).

4. Berechne im R

(a) sign \ x (ben¨ utze die Gleichung (sign x)

= 2δ), (b) Y [ (x) (betrachte Y (x)e

, ε ↘ 0),

(c) | c x | , (d) sin d x,

(e) cos [ x, (f) vp d

.

5. T sei homogen vom Grad λ (dann ist T automatisch in S

). Zeige, dass T b homogen vom Grad − λ − n ist.

6. Berechne im R

(a) b

z

mit z = x

+ ix

(verwende ¨ Ubung 11 in 1.2.1), (b) (

z√

1+r²

)b , r

= x

+ x

(Formel (iii) in der Definition 1.4 gilt auch in diesem Fall),

(c) δ c

.

7. Berechne r c

im R

mit den folgenden ¨ Uberlegungen:

(a) r

ist homogen und radialsymmetrisch, (b) r

∈ E

+ L

⇒ r c

∈ L

,

(c) anwenden auf e

∈ S . 8. (a) Berechne ( ∑

n=−∞

δ(x − n)) b . Verwende ¨ Ubung 7 in 1.1.1.

(b) Formuliere das Ergebnis mit Testfunktionen φ ∈ S (“Poissonsche Summationsformel ”).

(c) Wende b) auf φ = e

an!

Kapitel 2

Hilbertr¨ aume

L.A. Ljusternik, W.I. Sobolev Elemente der Funktionalanalysis G. Helmberg Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space E. Prugoveˇ cki Quantum Mechanics in Hilbert Space

2.1 Definition

Definition 2.1

1. Ein komplexer Vektorraum H mit einer Abbildung

H × H −→ C : (x

, x

) 7−→ (x

, x

) heißt Pr¨ a-Hilbertraum, wenn:

(i) (λ

x

+ λ

x

, x

) = λ

(x

, x

) + λ

(x

, x

) (ii) (x

, x

) = (x

, x

)

(iii) x ̸ = 0 = ⇒ (x, x) > 0.

2. Mit x := √

(x, x) ist H ein normierter Raum. { x

} ⊂ H heißt C-Folge (oder Fundamentalfolge) ⇐⇒ ∀ ε > 0 : ∃ N : ∀ n, m ≥ N : x

− x

< ε.

3. H heißt Hilbertraum ⇐⇒ H Pr¨ a-Hilbertraum und H ist vollst¨ andig, d.h.

jede C-Folge konvergiert.

4. H heißt separabel : ⇐⇒ ∃ Folge { x

} ⊂ H, die dicht ist.

5. { x

} ⊂ H heißt Orthonormalsystem : ⇐⇒ (x

, x

) = δ

=

{ 1 : n = m 0 : n ̸ = m;

{ x

} heißt ONB : ⇐⇒ { x

} ist ON-System und in H total, d.h. die Linear-

kombinationen von x

sind in H dicht.

6. H

, H

Hilbertr¨ aume = ⇒ H

⊕ H

:= {

(x; y) : x ∈ H

, y ∈ H

} ( mit

(x; y), (x

; y

) )

= (x, x

) + (y, y

) ist wieder ein Hilbertraum.

Beispiel 5

1. H = C

, (x, y) =

∑

x

y

, wobei x = (x

, ... , x

) , y = (y

, ... , y

).

2. H = l

:= {

(x

, x

, ...) ∈ C

: ∑

i=1

| x

|

< ∞ }

mit (x, y) = ∑

i=1

x

y

. 3. Ω ⊂ R

offen, H = L

(Ω) mit (f, g) =

ˆ

Ω

f(x) g(x) dx.

Bemerkung In Physikb¨ uchern wird von ( , ) statt (i) oft (λ

x

+ λ

x

, x

) = λ

(x

, x

) + λ

(x

, x

)

verlangt. Das ( , ) in den Beispielen wird dann etwas anders definiert.

Eigenschaften von Hilbertr¨ aumen

1. (x

, x

) ≤ x

· x

( “Schwarzsche Ungleichung ” ).

2. { x

} ⊂ H ONB und x ∈ H = ⇒ x = ∑

n=1

x

(x, x

) und x

= ∑

n=1

(x, x

)

( “Fourierumkehrsatz ” und “Parsevalsche Gleichung”) (oder Satz von Riesz-Fischer ).

3. In jedem separablen Hilbertraum existiert eine ONB (Beweis mit dem “Schmidt- schen Orthogonalisierungsverfahren”).

4. H

≤ H abgeschlossener Unterraum, H

:= {

x : ∀ y ∈ H

: (x, y) = 0 }

= ⇒ H

⊕ H

≃ H : (x, y ) 7−→ x + y ( “Projektionssatz ” ).

2.1.1 Ubungen ¨

1. (a) Zeige: l

ist ein Vektorraum.

(Verwende die Minkowskische Ungleichung.)

(b) Zeige: l

ist ein Hilbertraum.

2.2 Fourierreihen 15

2. Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen am Intervall [0,1] mit dem Skalarprodukt (f, g) =

ˆ

0

f (t) g(t) dt keinen Hilbertraum bildet.

3. Beweise, dass alle separablen ∞-dimensionalen Hilbertr¨ aume isomorph sind.

(Verwende Eigenschaft 2).)

4. Bestimme eine ONB im Unterraum H

, der von { 1, t, t

, t

, t

} in H = L

(

( − 1, 1) )

aufgespannt wird.

5. Zeige: Wenn f

→ f und g

→ g in der ∥ · ∥ -Topologie, so ist

n

lim

(f

, g

) = (f, g).

2.2 Fourierreihen

Es sei H = L

( (0, a) )

, a > 0;

{

f

(t) =

e

: n ∈ Z } { und

s

(t) =

√

a

sin 2πnt

a : n = 1, 2, ...

} ∪ {

c

(t) =

√

a

cos 2πnt

a : n = 1, 2, ...

} ∪ {

c

=

}

sind 2 ONB-s (Beweis sp¨ ater).

F¨ ur f ∈ H heißen (f, f

) komplexe und (f, s

), (f, c

) reelle Fourierkoeffizienten.

Nach Eigenschaft 2) konvergiert die Reihe f =

∑

f

(f, f

)

(bzw. das Analogon mit s

, c

) in L

. Diese Reihen heißen Fourierreihen von f.

Bez¨ uglich punktweiser Konvergenz gilt:

Satz 2.1 f (t) ∈ L

(

(0, a) )

werde periodisch außerhalb von (0, a) fortgesetzt. Es gelte:

(D) f und f

sind st¨ uckweise stetig.

Dann konvergiert f¨ ur jedes t ∈ R : ∑

n=−∞

(f, f

)f

(t) gegen { a) f (t) wenn f in t stetig,

b)

wenn t ein Unstetigkeitspunkt ist.

Bemerkung

1. (D) heißt “Dirichlet-Bedingung ”.

2. Es gibt auch noch andere interessante ONBs in L

( (0, a) )

, z.B. Walshfunktionen, Legendre-Polynome (vgl. ¨ Ubung 4 in 2.1.1 ) etc.

Beispiel 6

a = 2π, f = t, 0 ≤ t ≤ 2π . F¨ ur n ̸ = 0 gilt:

(f, f

) = 1

√ 2π ˆ

0

t e

dt = (vor¨ ubergehend n reell)

= i

√ 2π d dn

[ e

− 1

− in ]

= 1

√ 2π [ 1

n

(e

− 1) + 2πi n e

]

= (nun n wieder ganz ) =

√ 2π i n ; (f, f

) = 1

√ 2π ˆ

0

t · 1 dt = π · √ 2π .

Als Fourierreihe erhalten wir also:

t =i

∑

n̸=0

e

n + π = π − 2

∑

sin nt

n in L

(

(0, 2π) )

Man untersuche die Spezialf¨ alle t = 0,

, π, 2π !

P arseval : f

= ˆ

0

t

dt = 8π

3

=

∑

(f, f

)

= 2π (

π

+ 2

∑

1 n

) .

Das ergibt :

∑

1 n

= π

6 .

2.2 Fourierreihen 17

2.2.1 Ubungen ¨

1. Es sei a = 10, f (t) =

{ 3 : 0 < t < 5 0 : 5 < t < 10.

(a) Entwickle f in eine Fourierreihe!

(b) Untersuche die Punkte t = 0, 5, 10.

2. (a) Entwickle f(t) = sin t

2 , 0 ≤ t ≤ 2π, in eine Fourierreihe.

(b) Berechne damit ∑

n=1

1 (4n

− 1)

.

3. (a) Entwickle f(t) = t

in (0,2π) in eine Fourierreihe!

(b) Untersuche t = 0, π, 2π.

(c) Berechne ∑

n=1

1

n

aus der Parsevalschen Gleichung.

4. Gen¨ ugen folgende Funktionen am Intervall − π ≤ t ≤ π der Dirichletbedin- gung?

(a) f (t) = √

π

− t

(b) g (t) = | t |

(c) h(t) = t sin 1 t

5. Vergleiche den Winkel α zwischen

(i) den Vektoren f = (1, 1, 1, 1, 1) und g = (

2

,

,

,

,

)

im R

und (ii) den Funktionen f (t) = 1 und g(t) = t in L

(

(0, 5) ) . Hinweis: In jedem Fall ist cos α =

.

6. (a) Entwickle f (t) = cos α t, − π ≤ t ≤ π, in eine Fourierreihe (

ONB = {

√2π

e

: n ∈ Z })

f¨ ur α / ∈ Z .

(b) Leite daraus die Partialbruchzerlegung von cot ab:

π cot απ − 1

α = 2α ∑

n=1

1 α

− n

. 7. Es sei T ∈ E

( R

), a > 0, T e := ∑

n=−∞

T (x + an) (siehe ¨ Ubung 6 im Abschnitt

1.1.1). Zeige:

(a) T e ∈ S

( R

).

(b) F T e = F T · 2π a

∑

δ

(

x − 2kπ a

)

=

= 2π a

∑

F T

( 2kπ a

) δ

(

x − 2kπ a

)

in S

(verwende ¨ Ubung 7 und 5 im Abschnitt 1.1.1).

(c) F¨ ur f ∈ L

( (0, a) )

ist ˜ f die periodische Fortsetzung von f und F f ˜ =

√ 2π a

∑

(f, f

)δ (

x − 2kπ a

) in S

. (d) T e = 1

a

∑

F T

( 2kπ a

)

e

= ∑

k=−∞

< f

, T > f

in S

. (Diese Reihe heißt “trigonometrische Reihe ” von T e .)

(e) Entwickle δ

(x − π) = T in eine trigonometrische Reihe in (0, 2π = a)!

2.3 Beschr¨ ankte Operatoren

Definition 2.2 H, H

, H

Hilbertr¨ aume

1. L(H

, H

) := { A : H

−→ H

linear und stetig } , H

:= L(H, C ), L(H) := L(H, H ).

2. L(H

, H

) ist ein normierter Raum mit ∥ A ∥ :=sup {

∥ Ax ∥ : x ∈ H

, ∥ x ∥ = 1 } und damit vollst¨ andig, d.h. ein Banachraum, L(H) ist eine Banachalgebra.

3. A ∈ L(H

, H

) heißt unit¨ ar : ⇐⇒

(i) A bijektiv

(ii) ∀ x ∈ H

: Ax = x . 4. Bil(H) := {

h : H × H −→ C mit (i) h stetig,

(ii) h(λ

x

+ λ

x

, y) = λ

h(x

, y) + λ

h(x

, y), λ

∈ C , x

, y ∈ H, (iii) h(x, λ

y

+ λ

y

) = λ

h(x, y

) + λ

h(x, y

), λ

∈ C , x

, y ∈ H }

. 5. P ∈ L(H) heißt Projektor : ⇐⇒ ∃ H

≤ H abgeschlossener Unterraum mit

(i) ∀ x ∈ H

: P (x) = x,

(ii) ∀ x ∈ H

: P (x) = 0.

2.3 Beschr¨ ankte Operatoren 19

Satz 2.2

1. H −→ H

: x 7−→ (

f : y 7−→ (x, y) = (y, x) )

ist bijektiv und normerhaltend (“Satz von Riesz ”).

2. j : L(H) −→ Bil(H) : A 7−→ (

h mit h(x, y) = (Ax, y) ) und k : L(H) −→ Bil(H) : A 7−→ (

h mit h(x, y) = (x, Ay) )

sind ebenfalls bijektiv.

Definition 2.3 A ∈ L(H); A

∈ L(H) sei durch (Ax, y) = (x, A

y), ∀ x, y ∈ H definiert.

Bemerkung Punkt 2. in Satz 2.2 zeigt Existenz und Eindeutigkeit von A

und die Bijekivit¨ at von k

◦ j : L(H) −→ L(H) : A 7−→ A

.

Beispiel 7 a < b ∈ R , K (x, y) sei eine beschr¨ ankte, messbare Funktion auf [a, b] × [a, b] ⊂ R

.

Die Volterrasche Integralgleichung 2.Art hat die Form ˆ

a

K(x, y)f (y) dy − λf(x) = g(x), wobei g gegeben, f gesucht ist, 0 ̸ = λ ∈ C .

Formulierung im Hilbertraum:

H := L

( (a, b) )

, A sei durch A : H −→ H : f 7−→ g mit

g(x) = ˆ

K (x, y)f (y) dy

definiert. Dann ist A ∈ L(H) ( ¨ Ubung 3).

Zu l¨ osen ist also : (A − λI)f = g, wobei I = Einheitsoperator, If = f.

Heuristisch: f = (A − λI )

g = − 1 λ

( I − A

λ )

; in Analogie zur geometrischen Reihe 1

1 − x = ∑

n=0

x

f¨ ur | x | < 1 setzen wir an f = − 1 λ

∑

λ

A

g, wobei A

g = A (

A · · · (A

| {z }

n−mal

g) · · · )

. (Diese Reihe heißt Neumannsche Reihe.)

Satz 2.3

K(x, y), H wie oben, λ ̸ = 0. Dann gilt:

(i) Die Reihe B := − 1 λ

∑

λ

A

konvergiert in L(H), (ii) (A − λI)B = B(A − λI) = I,

(iii) f¨ ur g ∈ L

(a, b) ist f = Bg die eindeutige L¨ osung der Volterraschen Integral- gleichung in H.

Beweis. (i)

(A

f )(x) = ˆ

K (x, y ) Af (y) dy

= ˆ

K (x, y ) ˆ

K (y, z) f (z) dz dy = ( Fubini )

= ˆ

f (z) ( ˆ

y=z

K (x, y) K(y, z) dy

| {z }

K2(x,z)

) dz;

analog erhalten wir:

A

f (x) = ˆ

f (z) K

(x, z) dz,

wobei K

= K, K

(x, z) = ˆ

K

(x, y) K(y, z) dy.

2.3 Beschr¨ ankte Operatoren 21

Es sei K(x, y) ≤ c, ∀ x, y = ⇒ (mit Induktion) K

(x, z) ≤ c

(n − 1)! | x − z |

= ⇒ A

f (x)

≤ c

(n − 1)!

( ˆ

z=a

f (z) (x − z)

dz )

≤ (Schwarz)

≤ c

(n − 1)!

ˆ

| f (z) |

dz · ˆ

(x − z)

dz ≤

≤ c

(n − 1)!

f

(x − a)

2n − 1 = ⇒

= ⇒ A

f

= ˆ

a

A

f(x)

dx ≤ c

(n − 1)!

f

(b − a)

2n(2n − 1) ,

| λ

| · A

L(H)

≤

[ c (b − a) ]

| λ |

n! .

Da L(H) vollst¨ andig ist, folgt daraus die Konvergenz der Neumannschen Reihe in L(H). (ii) und (iii) ergeben sich leicht aus (i).

Korollar

Mit den obigen Bezeichnungen gilt:

(i) M (x, z) = − ∑

n=1

λ

K

(x, z) konvergiert f¨ ur alle (x, z) ∈ [a, b]

und M (x, z) ∈ L

(

[a, b]

) ,

(ii) f¨ ur g ∈ H ist Bg(x) = − 1

λ g(x) + ˆ

M (x, z) g(z) dz.

Beweis.

(i) K

(x, z) ≤ c

(n − 1)! | x − z |

= ⇒ M(x, z) ≤ c

| λ |

· e

.

(ii) Bg = − 1

λ

∑

λ

A

g

= − 1

λ g + lim

N→∞

inL2([a,b])

ˆ

( −

∑

λ

K

(x, z) )

g(z) dz

| {z }

hN(x)

.

Nach dem Satz von Lebesgue ist f¨ ur jedes feste x :

N

lim

h

(x) = ˆ

a

M (x, z) g(z) dz.

Da eine in L

konvergente Folge eine punktweise fast ¨ uberall konvergente Teilfolge hat, gilt (ii).

2.3.1 Ubungen ¨

1. Es sei P ∈ L(H).

(a) Zeige: P Projektor ⇐⇒ P

= P = P

. (b) Ist P = 1

√ 2

( 1 i

− i 1 )

ein Projektor in H = C

? 2. Man l¨ ose die folgenden Volterraschen Integralgleichungen

g(x) = ˆ

0

K(x, y) f(y) dy − λf (x) mit Hilfe der Neumannschen Reihe:

(a) K = 1 (b) K = x − y 3. Es sei K(x, y) ∈ L

(

[a, b] × [a, b] )

, H = L

(a, b). Zeige:

(a) A : H −→ H : f 7−→

ˆ

K(x, y)f(y) dy ist ein beschr¨ ankter Operator, d.h. A ∈ L(H),

(b) A

f(x) = ˆ

K (y, x) f (y) dy,

(c) ∥ A ∥

≤ ˆ

ˆ

K (x, y )

dx dy,

(d) f¨ ur | λ | > ∥ A ∥ existiert eine eindeutige L¨ osung in H der Fredholmschen Integralgleichung 2.Art

ˆ

K(x, y)f (y) dy − λf (x) = g(x) und diese ist

durch die Neumannsche Reihe gegeben.