P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Pr¨asenz¨ubung
P1 - Vektoranalysis
Die Komponenten eines dreidimensionalen Vektorproduktes~a×~bsind gegeben durch (~a×~b)i =
3
X
jk,=1
εijkajbk.
Hier ist εijk der total anti-symmetrische Tensor f¨urR3 mit ε123 = +1.
a) Zeigen Sie zun¨achst, dass f¨ur beliebige Vektoren~a,~b, ~c, ~d gilt
~a·(~b×~c) =~b·(~c×~a) =~c·(~a×~b)
~a×(~b×~c) = (~a·~c)~b−(~a·~b)~c
(~a×~b)·(~c×d) = (~a~ ·~c)(~b·d)~ −(~a·d)(~ ~b·~c) b) Folgern Sie hieraus, dass
3
X
i=1
εijkεilm =δjlδkm−δjmδkl und
3
X
i,j=1
1
2εijkεijl =δkl
gilt.
c) Beweisen Sie schließlich, dass f¨ur differnzierbare skalare Felder ϕ(~x), Vektorfelder ~a(~x) und den Differentialoperator ∇~ gilt:
∇ ×~ (∇ϕ) = 0~
∇ ·~ (∇ ×~ ~a) = 0
∇ ×~ (∇ ×~ ~a) = ∇(~ ∇ ·~ ~a)− 4~a mit 4=∇~2
∇ ·~ (ϕ ~a) = (∇ϕ)~ ·~a+ϕ ~∇ ·~a . P2 - Green’sche Identit¨aten
Beweisen Sie die erste und zweite Green’sche Identit¨at:
Z
V
dV (ϕ4ψ+∇ψ~ ·∇ϕ) =~ I
S(V)
df ϕ∂ψ
∂n Z
V
dV (ϕ4ψ−ψ4ϕ) = I
S(V)
df(ϕ∂ψ
∂n −ψ ∂ϕ
∂n)
Gehen Sie hierf¨ur vom Gauß’schen Satz f¨ur das Vektorfeld~b(~x) =ϕ(~x)∇ψ(~~ x) aus.
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