Tr¨ager: T (X ) = { 0, 1 } Wahrscheinlichkeitsfunktion:

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle diskrete Verteilungen 9.9

Bernoulli-/Alternativverteilung Parameter:

B(1, p) p ∈ (0, 1)

Tr¨ager: T (X ) = { 0, 1 } Wahrscheinlichkeitsfunktion:

p X (x) =

 



1 − p f¨ur x = 0 p f¨ur x = 1

0 sonst

^{0.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0}

0.20.40.60.8

pX

x pX(x)

p=0.4

Verteilungsfunktion:

F _X (x) =

 



0 f¨ur x < 0 1 − p f¨ur 0 ≤ x < 1

1 f¨ur x ≥ 1

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.00.20.40.60.81.0

FX

x

FX(x) ^●

● p=0.4

Momente: E(X) = p Var(X ) = p · (1 − p) γ(X) = √ ^1−2p _p(1−p) κ(X ) = ^{1−3p(1−p)} _p(1−p)

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 231

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle diskrete Verteilungen 9.9

Binomialverteilung Parameter:

B(n, p) n ∈ N ,p ∈ (0, 1)

Tr¨ager: T(X) = { 0,1, . . . , n } Wahrscheinlichkeitsfunktion: p X (x)

=

 

 n

x

p ^x (1 − p) ^n−x f¨ur x ∈ T(X)

0 sonst

−1 0 1 2 3 4 5 6

0.00.10.20.30.40.5

pX

x pX(x)

n=5, p=0.4

Verteilungsfunktion:

F _X (x) = X

x

i∈T

(X) x

i≤x

p _X (x _i )

−1 0 1 2 3 4 5 6

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

●

●

●

●

● ●

n=5, p=0.4

Momente: E (X ) = n · p Var(X ) = n · p · (1 − p)

γ(X ) = √ _np(1−p) ^1−2p κ(X ) = 1+(3n−6)p(1−p)

np(1−p)

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 233

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle diskrete Verteilungen 9.9

Geometrische Verteilung Parameter:

Geom(p) p ∈ (0, 1)

Tr¨ager: T (X ) = N 0 = { 0,1, . . . } Wahrscheinlichkeitsfunktion:

p X (x) =

( (1 − p) ^x · p f¨ur x ∈ T (X )

0 sonst

0 2 4 6

0.00.20.4

pX

x pX(x)

p=0.4

Verteilungsfunktion:

F X (x) =

( 0 f¨ur x < 0 1 − (1 − p)

^bxc+1

f¨ur x ≥ 0

0 2 4 6

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

●

●

●

● ● ● ● ● ●

p=0.4

Momente: E(X) = ^1−p _p Var(X) = ^1−p _p

2

γ(X) =

√

^2−p 1−p κ(X) = ^p

^2−9p+9

_1−p

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 235

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle diskrete Verteilungen 9.9

Poisson-Verteilung Parameter:

Pois(λ) λ > 0

Tr¨ager: T(X) = N 0 = { 0, 1, . . . } Wahrscheinlichkeitsfunktion:

p X (x) = (

_λx

x! e

^−λ

f¨ur x ∈ T (X )

0 sonst

^0.0 _{0 2 4 6}

0.10.20.30.4

pX

x pX(x)

λ =2

Verteilungsfunktion:

F X (x) = X

x

i∈T

(X) x

i≤x

p X (x i )

0 2 4 6

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

●

●

●

●

● ● ● ● ●

λ =2

Momente: E (X ) = λ Var(X ) = λ

γ(X ) =

√

¹

λ

κ(X ) = 3 + ¹

_λ

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 237

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle stetige Verteilungen 9.10

Stetige Gleichverteilung Parameter:

Unif(a, b) a,b ∈ R mit a < b

Tr¨ager: T (X ) = [a,b]

Dichtefunktion: f X : R → R;

f X (x) = ( ₁

b−a f¨ur a ≤ x ≤ b

0 sonst

0 1 2 3 4

0.00.20.40.6

fX

x fX(x)

a=1, b=3

Verteilungsfunktion: F X : R → R;

F X (x) =

 



 

0 f¨ur x < a

x−a b−a f¨ur a ≤ x ≤ b

1 f¨ur x > b

0 1 2 3 4

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

a=1, b=3

Momente: E(X) = ^a+b ₂ Var(X ) = ^(b−a) ₁₂

²

γ(X) = 0 κ(X ) = ⁹ ₅

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 240

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle stetige Verteilungen 9.10

Normalverteilung Parameter:

N(µ, σ ² ) µ ∈ R, σ ² > 0

Tr¨ager: T(X) = R Dichtefunktion: f X : R → R;

f X (x) = 1

√ 2πσ e

^{−(x−µ)22σ2}

= 1 σ ϕ

x − µ σ

0 5 10

0.000.050.100.150.20

fX

x fX(x)

µ =5, σ²=4

Verteilungsfunktion:

F X : R → R;F X (x) = Φ x − µ

σ

0 5 10

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

µ =5, σ²=4

Momente: E (X ) = µ Var(X ) = σ ²

γ(X ) = 0 κ(X ) = 3

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 242

9 Eindimensionale Zufallsvariablen Spezielle stetige Verteilungen 9.10

Exponentialverteilung Parameter:

Exp(λ) λ > 0

Tr¨ager: T (X ) = R +

Dichtefunktion: f X : R → R ; f X (x) =

( λ · e

^−λx

f¨ur x ≥ 0

0 sonst

−2 −1 0 1 2 3

0.00.51.01.52.0

fX

x fX(x)

λ =2

Verteilungsfunktion: F X : R → R;

F X (x) =

( 0 f¨ur x < 0 1 − e

^−λx

f¨ur x ≥ 0

−2 −1 0 1 2 3

0.00.20.40.60.81.0

FX

x FX(x)

λ =2

Momente: E(X) = ¹

_λ

Var(X) =

_λ

¹

2

γ(X) = 2 κ(X) = 9

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 244

11 Summen von Zufallsvariablen Summen von Zufallsvariablen spezieller Verteilungen 11.2

Satz 11.1 (Summen spezieller Zufallsvariablen)

Seien n ∈ N, X 1 , . . . , X n stochastisch unabh¨angige Zufallsvariablen und Y := X 1 + · · · + X n =

X n i=1

X i .

Gilt f¨ur i ∈ { 1, . . . , n } weiterhin

1

X i ∼ B(1, p) f¨ur ein p ∈ (0, 1), also insgesamt X i i.i.d.

∼ B(1, p), so gilt Y ∼ B (n, p) (vgl. Folie 232),

2

X i ∼ B(n i , p) f¨ur n i ∈ N und ein p ∈ (0, 1), so gilt Y ∼ B(N, p) mit N := n 1 + · · · + n n = P n

i=1 n i ,

3

X i ∼ Pois(λ i ) f¨ur λ i ∈ R + , so gilt Y ∼ Pois(λ) mit λ := λ 1 + · · · + λ n = P n

i=1 λ i ,

4

X i ∼ N(µ i , σ _i ² ) f¨ur µ i ∈ R und σ ² _i > 0, so gilt Y ∼ N(µ, σ ² ) mit µ = µ 1 + · · · + µ n = P n

i=1 µ i und σ ² = σ ² ₁ + · · · + σ ² _n = P n i=1 σ ² _i ,

5

X i ∼ N(µ, σ ² ) f¨ur ein µ ∈ R und ein σ ² > 0, also insgesamt X i i.i.d.

∼ N(µ, σ ² ), so gilt f¨ur X := _n ¹ (X 1 + · · · + X n ) = ¹ _n P n

i=1 X i insbesondere X ∼ N(µ,

^σ

_n

²

).

Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folie 296