Hochstabile Faserlaser zur Erzeugung intensiver Femtosekunden-Impulse
bei hoher Repetitionsrate
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades des Doktors der Naturwissenschaften
(Doctor rerum naturalium)
an der
Fachbereich Physik
vorgelegt von:
Marcel Wunram
Tag der mündlichen Prüfung: 13. April 2015 1. Referent: Prof. Dr. Alfred Leitenstorfer 2. Referent: Prof. Dr. Thomas Dekorsy
Symbol- und Abkürzungsverzeichnis iii
Einleitung 1
1 Er:Faser-Technologie –
Basis für ein passiv phasenstarres Seed-System 7
1.1 Mit Erbium dotierte Glasfasern als Verstärkungsmedium . . . 7
1.2 Aufbau und Funktionsweise des Oszillators und Verstärkers . . . 9
1.2.1 Er:Faser-Oszillator bei einer Repetitionsrate von 40 MHz . . . 10
1.2.2 Femtosekunden Er:Faser-Verstärker . . . 13
1.3 Charakterisierung ultrakurzer Impulse durch frequenzaufgelöstes optisches Abtasten (FROG) . . . 15
1.4 Gezielte Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern . . . 16
1.4.1 Maßgeschneiderte Spektren durch gezielte Frequenzkonversion . . . . 16
1.4.2 Kohärenzeigenschaften der Spektren nach einer HNF . . . 19
1.5 Passiv phasenstarre Impulse bei einer Wellenlänge von 1,55 µm . . . 21
1.5.1 Frequenzkamm und Träger-Einhüllenden-Phase . . . 22
1.5.2 Passive Stabilisierung der Träger-Einhüllenden-Phase . . . 23
1.5.3 Differenzfrequenzerzeugung und Quasi-Phasenanpassung . . . 24
1.5.4 Erzeugung passiv phasenstarrer Impulse . . . 27
1.6 Verstärkung passiv phasenstarrer Impulse . . . 30
1.7 Charakterisierung der Phasenstabilität . . . 31
2 Konzepte zur Erhöhung der Impulsenergie in den µJ-Bereich 35 2.1 Mit Ytterbium dotierte Glasfasern als Verstärkungsmedium . . . 35
2.2 Herausforderungen bei der Erhöhung der Impulsenergie mit Hochleistungs-Verstärkern basierend auf Yb:Fasern . . . 37
2.2.1 Thermische Effekte . . . 37
2.2.2 Nichtlineare optische Effekte . . . 38
2.2.3 Optische Schäden . . . 40
2.3 Spezielle Fasern zur Erhöhung des Modenfelddurchmessers . . . 41
2.3.1 Fasern mit Doppelmantelstruktur und großem Kerndurchmesser . . 41
2.3.2 Photonische Kristallfasern . . . 42
2.4 Verstärkung frequenzmodulierter Impulse . . . 47
3 Kohärente Frequenzkonversion in den Wellenlängenbereich um 1,03 µm und Verstärkerstufe basierend auf Yb:Fasern 49 3.1 Reduktion der Repetitionsrate auf 10 MHz . . . 49
3.2 Gezielte Frequenzkonversion in den Wellenlängenbereich um 1,03 µm . . . . 52
3.3 Zeitliches Strecken der Impulse durch einen Gitter-Strecker . . . 54
3.4 Verstärkerstufe basierend auf Yb:Faser . . . 56
4 Hochleistungs-Verstärker auf Basis einer photonischen Kristallfaser 61
4.1 Aufbau und Funktionsweise der photonischen Kristallfaser . . . 61
4.2 Erzeugung von Impulsen mit einer Energie von 7,2 µJ . . . 64
4.2.1 Fasergekoppelte Hochleistungs-Pumpdioden . . . 64
4.2.2 Aufbau des Hauptverstärkers basierend auf einer Yb:PCF . . . 65
4.2.3 Anforderungen an Komponenten des Hochleistungs-Verstärkers . . . 67
4.3 Charakterisierung der Impulse nach dem Hochleistungs-Verstärker . . . 69
5 Kompression hochrepetierender µJ-Impulse auf eine Dauer von 145 fs 73 5.1 Aufbau und Funktionsweise des Gitter-Kompressors . . . 73
5.2 Dielektrische Gitter zur Verbesserung der Kompressoreffizienz und der thermischen Stabilität . . . 75
5.3 Charakterisierung der komprimierten Impulse mit 6 µJ Impulsenergie . . . . 76
6 Rauscharme fs-Impulse bei 10 MHz Repetitionsrate – Grundlage hochpräziser Messungen in der Ultrakurzzeitphysik 81 6.1 Relatives Amplitudenrauschen und Langzeitstabilität des Gesamtsystems . 81 6.1.1 Maßnahmen zum Aufbau eines hoch stabilen Faserlaser-Systems . . 82
6.1.2 Charakterisierung des relativen Amplitudenrauschens . . . 82
6.1.3 Untersuchung der Langzeitstabilität . . . 84
6.2 Parametrische Verstärkung ultrabreitbandiger Spektren . . . 86
6.3 Kohärente Weißlicht-Erzeugung in einem YAG-Kristall . . . 88
Zusammenfassung und Ausblick 93
Literaturverzeichnis 97
Publikationsliste 111
Verwendete Symbole:
A Amplitude der Intensitätseinhüllenden a Kernradius einer Glasfaser
b Abstand zweier Gitter zur Flächennormalen
βi i. Ableitung der Wellenzahlβ nach der Kreisfrequenz, damit Dispersion i. Ordnung (→ S. 10)
B B-Integral (→ S. 39)
c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum χ(i) elektrische Suszeptibilitäti. Ordnung d Gitterkonstante
E(t) zeitabhängiges elektrisches Feld
f Frequenz oder Brennweite einer Linse / eines sphärischen Spiegels fCEO Träger-Einhüllenden-Offset-Frequenz (→ S. 23)
frep Repetitionsrate
γ Nichtlinearitätsparameter einer Glasfaser (→ S. 11)
Γ Polungsperiode eines periodisch gepolten Kristalls (→ S. 26)
~ reduziertes plancksches Wirkungsquantum I(z) Intensität entlang der Propagationsrichtungz
k Wellenvektor
L Abstand zweier Gitter entlang des Strahlwegs
λ Wellenlänge
Λ Abstand zweier Luftkanäle einer photonischen Kristallfaser (→ S. 43) m Beugungsordnung am Gitter
M2 Beugungsmaßzahl (→ S. 71)
n(ω); n0 linearer Brechungsindex abhängig von der Kreisfrequenz ω n2 nichtlinearer Brechungsindex (→S. 39)
ω Kreisfrequenz einer elektromagnetischen Welle P(t); P0 zeitabhängige Leistung; Ausgangsleistung φ Phase einer elektromagnetischen Welle
ϕ Einfallswinkel bezogen auf die Flächennormale
Plin;Pnl lineare Polarisation; nichtlineare Polarisation (→S. 25)
t Zeit
t0 Zeitdauer eines Impulses
td Verzögerungszeit (engl.: delay time)
ϑ Beugungswinkel an einem Gitter bezogen auf die Flächennormale V;Veff V-Parameter (→ S. 42); effektiver V-Parameter (→S. 44)
Verwendete Abkürzungen:
ASE verstärkte spontane Emission (engl.: amplified spontanious emission) BBO β-Bariumborat (β-BaB2O4)
BS Strahlteiler (engl.: beam splitter)
CEO Träger-Einhüllenden-Offset (engl.: carrier-envelope offset) CEP Träger-Einhüllenden-Phase (engl.: carrier-envelope phase) CM gechirpte Spiegel (engl.: chirped mirrors)
CPA Verstärkung frequenzmodulierter Impulse (engl.: chirped-pulse amplifica- tion)
DBS dichroitischer Strahlteiler (engl.: dichroic beam splitter)
DFG Differenzfrequenzerzeugung (engl.: difference frequency generation) diff. differenziell (beim differenziellen Wirkungsgrad)
DM dielektrischer Spiegel (engl.: dielectric mirror) EOM elektro-optischer Modulator
Er Erbium (Element der seltenen Erden)
FROG frequenzaufgelöstes optisches Abtasten (engl.: frequency resolved optical gating)
FWHM volle Halbwertsbreite (engl.: full width at half maximum) GDD Gruppenlaufzeitdispersion (engl.: group delay dispersion)
GVD Gruppengeschwindigkeitsdispersion (engl.: group velocity dispersion) HNF hoch nichtlineare Glasfaser (engl.: highly nonlinear fiber)
InGaAs Indiumgalliumarsenid
lin. linear (Kennzeichnung einer linearen Auftragung
MLD dielektrische Vielschicht-Struktur (engl.: multilayer dielectric) n. A. numerische Apertur
norm. normiert (Kennzeichnung normierter Größen)
OPA optisch-parametrischer Verstärker (engl.: optical-parametric amplifier) PCF photonische Kristallfaser (engl.: photonic crystal fiber)
PM polarisationserhaltend (engl.: polarization maintaining)
PPLN periodisch gepolter Lithiumniobat-Kristall, LiNbO3 (engl.: periodically poled lithium niobate)
rel. relativ (Kennzeichnung relativer Größen)
RMS quadratischer Mittelwert (engl.: root mean square)
SAM sättigbarer Absorberspiegel (engl.: saturabel absorber mirror)
SHG Erzeugung der zweiten Harmonischen (engl.: second harmonic generation) SMF Standardfaser mit monomodiger Lichtleitung (engl.: single-mode fiber) SPM Selbstphasenmodulation (engl.: self-phase modulation)
VDL variable Verzögerungsstrecke (engl.: variable delay line)
WDM Wellenlängenmultiplexer (engl.: wavelength division multiplexer) willk. Einh. willkürliche Einheiten
YAG Yttrium-Aluminium-Granat (Y3Al5O12) Yb Ytterbium (Element der seltenen Erden)
In der heutigen Zeit werden Laser in den unterschiedlichsten Einsatzgebieten im alltäglichen Leben, für industrielle Anwendungen oder in der Spitzenforschung verwendet. Dabei reicht ihre Verwendung vom Barcode-Scanner und DVD-Spieler über Augenkorrektur, Material- bearbeitung höchster Präzision oder Telekommunikation bis hin zum wissenschaftlichen Bereich hoch präziser Metrologie-Experimente, der Mehrphotonen-Mikroskopie in biolo- gischen Proben oder der zeitaufgelösten Spektroskopie zur Beantwortung fundamentaler Fragestellungen in der Physik. Die Entwicklung dieser vielseitig eingesetzten Technologien wurde innerhalb der letzten 50 Jahre beträchtlich vorangetrieben. Bereits wenige Jahre nach der ersten experimentellen Realisierung des Lasers durch Theodore Harold Maiman [Mai60] wurden Laser mit dotierten Glasfasern als Verstärkungsmedium entwickelt [Sni61;
Koe64]. Wenig später gelang es, Lichtleiter in so hoher Güte herzustellen, dass sie für Signalübertragung über lange Distanzen eingesetzt werden können [Kao68; Jon69]. Für seine Arbeit an der Entwicklung solcher Glasfasern wurde Charles Kuen Kao im Jahr 2009 mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet [Kao10]. Zusammen mit der Entwicklung von Laserdioden mit hoher Stahlqualität [Mea87; Des87] stieg das Interesse an modenge- koppelten Lasern auf Basis von mit Erbium dotierten Glasfasern und deren Einsatz in der Telekommunikation [Fer90]. Bis heute bilden diese das Rückgrat der schnellen und breitbandigen Datenübertragung [Gna08].
Ein deutlich vielfältigeres Einsatzgebiet, weit über den Bereich der Telekommunikation hinaus, eröffnen moderne fasergekoppelte Systeme. In diesen wird eine unerreicht hohe mechanische Stabilität, sowie außergewöhnlich geringe Empfindlichkeit gegenüber Umwelt- einflüssen wie Staub, Luftfeuchtigkeit oder Vibrationen erreicht. Zudem ist eine extrem kompakte Bauweise umsetzbar. Modengekoppelte Oszillatoren basierend auf Er:Fasern1 bilden die Basis eines universellen Werkzeugs für facettenreiche wissenschaftliche Anwen- dungen [Bri14]. Aufgrund der hohen Kleinsignalverstärkung ist das Betreiben paralleler, synchron betriebener Verstärker mit geringen Schwankungen zueinander möglich [Adl04;
Adl07a]. Mit Hilfe gezielter Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern ist es an der Universität Konstanz gelungen [Tau04], ausgehend von Er:Faser-Technologie, maßgeschnei- derte Spektren im Wellenlängenbereich von 820 nm bis 2,4 µm zu erreichen [Sel09]. Unter Ausnutzung dieser Technik und der Erzeugung der Differenzfrequenz spektraler Anteile aus einem einzigen Frequenzkamm, lässt sich auf passive Weise ein Impulszug generieren, bei dem das elektrische Feld jedes Impulses die identische Phasenlage zur Einhüllenden aufweist
1:Er:Faser(Abk.: mit Erbium dotierte Faser) – Diese Schreibweise gilt analog auch für andere Medien, die mit dem entsprechenden Element dotiert sind, wie beispielsweise Halbleiter oder dielektrische Laserkristalle.
und somit phasenstarr ist. Die gezielte Frequenzkonversion schafft zudem die Voraussetzung dafür, ultrakurze Impulse mit einer Dauer von weniger als 8 fs [Sel09] zu generieren. Impulse an der physikalischen Grenze einer einzelnen Schwingung des elektrischen Feldes können mit Hilfe frequenzverschobener Spektren aus einer hoch nichtlinearen Glasfaser synthetisiert werden [Kra10]. Des Weiteren wird die Er:Faser-Technologie zur Erzeugung und Abtastung von Terahertz-Strahlung höchster Intensität [Sel08a], sowie zur zeitaufgelösten linearen und nichtlinearen Spektroskopie [Trä08; Sel11; Tom13] und Mehrphotonen-Mikroskopie in biologischen Proben verwendet [Kra09]. Die hohe zur Verfügung gestellte spektrale Band- breite ermöglicht zudem die resonante Anregung und Untersuchung von Nanostrukturen wie Quantenpunkten [Tho08] und plasmonischen Antennen [Han09a].
Für viele wissenschaftliche Anwendungen stellen intensive, ultrakurze Impulse mit Dauern im Femtosekunden-Bereich eine attraktive Lichtquelle dar, um grundlegende Fragestel- lungen zu beantworten. Diese standen lange Zeit lediglich bei vergleichsweise geringen Repetitionsraten im Kilohertz-Regime durch Titan:Saphir-Verstärker zur Verfügung. Mit Ytterbium-Ionen dotierte Gläser erweisen sich aufgrund einer hohen Quanteneffizienz als wichtige Alternative. Aus diesem Grund wurde in den vergangenen zehn Jahren die Ent- wicklung zur Erzeugung von Lichtimpulsen mit hoher Energie insbesondere durch Faserlaser und -verstärker basierend auf mit Ytterbium-Ionen dotierten Gläsern forciert [Jau13; Fer13;
Zer14]. Dabei verbinden Yb:Fasern die Möglichkeit der Leistungssteigerung mit der hohen Flexibilität von faserbasierten Systemen. Im Dauerstrichbetrieb konnten bereits mehrere Kilowatt an Leistung demonstriert werden [Jeo04; Gap10]. Für den modengekoppelten Betrieb bei hohen Impulsenergien und optimaler Strahlqualität, finden spezielle Yb:Fasern mit vergrößertem Kerndurchmesser bei gleichzeitig monomodiger Strahlführung Verwen- dung. Zusätzlich werden zeitlich gestreckte Impulse verstärkt [Str85], was das Auftreten nichtlinearer optischer Effekte, wie beispielsweise Selbstphasenmodulation, verringert oder gänzlich vermeidet. Damit sind beeindruckende Energien von mehreren hundert Mikrojoule [Rös07; Zao08] bis in den Bereich einiger Millijoule möglich [Eid11]. Aufgrund der hohen Verstärkungsbandbreite von Ytterbium ist die zeitliche Kompression der Impulse auf weni- ge hundert Femtosekunden realisierbar [Mor12; Fer12; Kob13]. Daraus resultieren hohe Spitzenleistungen, die vor allem für Experimente der extrem nichtlinearen Optik, wie etwa die Erzeugung höherer Harmonischer [Bou09; Häd10; Cin12] oder die Verwendung eines Frequenzkamms im ultravioletten Spektralbereich von Bedeutung sind [Rue10]. Um eine hohe Messstatistik zu ermöglichen, muss zusätzlich eine hohe Repetitionsrate vorliegen.
Die besondere Herausforderung bei Hochleistungs-Systemen für wissenschaftliche Anwen- dung ist die Stabilität der Ausgangsleistung über die typische Zeitspanne einer Messung.
Zusammen mit geringen Beiträgen im Amplitudenrauschen ist dies Voraussetzung für den Einsatz sensitiver Untersuchungen in der Quantenphysik.
Im Rahmen der hier vorliegenden Arbeit ist es erstmalig gelungen, Er:Faser-Technologie zusammen mit kohärenter Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern mit einem
Repetitionsrate (Hz)
Spitzenleistung(W)
[Eid10]
[Rue10]
[Che12]
[Lim04]
[Ken07]
[Rös05]
[Kuz07]
[Kob13]
[Mor12]
[Rös07]
[Zao08]
[Bou09]
[Fer12] [Yos10]
[Han09b] [Häd10]
vorgestelltes System
Impulsdauern unterhalb 150 fs 1010
109 108 107 106 105 104
105 106 107 108 109
Abbildung 1: Übersicht der Spitzenleistungen und Repetitionsraten ausgewählter Hochleistungs-Verstärker basierend auf mit Ytterbium dotierten Fasern. Alle hier aufgelisteten Systeme machen sich das Prinzip der Verstärkung frequenzmodulierter Impulse zunutze und verwenden Fasern mit erhöhtem Kerndurchmesser.
Hochleistungs-Verstärker auf Basis von mit Ytterbium dotierten Fasern zu vereinen. Auf- grund der Verwendung eines Er:Faser-Systems als Seed2-Quelle, steht spektral breitbandiges und extrem rauscharmes Signallicht bei einer Repetitionsrate von 10 MHz zur Verfügung.
Die Ausgangsimpulse nach Verstärkung in einer photonischen Kristallfaser [Rus03; Rus06]
auf eine Impulsenergie von 7,2 µJ und die anschließende zeitliche Kompression der Impulse auf eine Dauer von 145 fs führt zu einer Spitzenleistung von über 36 MW. Im Vergleich dazu sind in Abbildung 1 einige ausgewählte Yb:Faser-Systeme über deren Repetitionsrate aufge- tragen. Alle Verstärker, die Lichtimpulse mit einer Dauer unterhalb von 150 fs bereitstellen, sind gesondert gekennzeichnet, da derart kurze Impulse besonders attraktiv für das effiziente Treiben nichtlinearer Prozesse sind. Der hier vorgestellte Aufbau, ebenfalls eingetragen (rot markiert), erreicht die bis dato höchste berichtete Spitzenleistung aus einem Yb:Faserlaser bei derartig hohen Repetitionsraten. Die vorliegenden Impulsparameter ermöglichen daher Experimente der extrem nichtlinearen Optik, wie etwa die Erzeugung höherer Harmoni- scher, Feldionisation oder Mehrphotonenabsorption. Die vorliegende Repetitionsrate von 10 MHz stellt dabei einerseits eine hohe Messstatistik sicher und ist andererseits ideal für Lock-in-Technik bei maximal möglicher Modulationsfrequenz im Zusammenhang mit Subzyklen-Quantenmanipulation und Analyse von Multi-Terahertz-Transienten [Rie14].
Parallel betriebene Verstärker, welche vom selben Oszillator mit Signallicht versorgt werden,
2:seed(engl. für: Samen, Saat, Keim) – Eine Seed-Quelle in der Laserphysik liefert Signallicht für eine optische Verstärkerstufe, um stimulierte Emission im Verstärkungsmedium zu induzieren.
eröffnen zusätzlich die Möglichkeit, phasenstarre Signale mit einer spektralen Bandbreite von mehr als 500 nm parametrisch zu verstärken.
Bemerkenswert am hier beschriebenen System ist das außergewöhnlich niedrige Rauschni- veau und die extrem hohe Langzeitstabilität. Konzipiert für hoch sensitive Experimente in der Quantenoptik, sowie hoch präzise Spektroskopie-Anwendungen wurde bei der Entwick- lung und Optimierung auf diese Eigenschaften besonderes Augenmerk gelegt. Insbesondere ist es durch eine lineare Verstärkung zu hohen Leistungen ohne Einfluss nichtlinearer optischer Effekte und durch eine ausgeklügelte Temperaturkontrolle einiger Komponenten gelungen, diese Systemeigenschaften bestmöglich zu verwirklichen. Mit einem relativen Amplitudenrauschen von weniger als 2·10−5Hz−1/2 im gesamten Frequenzbereich von 10 Hz bis 5 MHz liegt ein Wert vor, welcher erstmalig bei fasergekoppelten Hochleistungs- Systemen erreicht werden konnte. Eine relative Abweichung der vollen Ausgangsleistung von lediglich 2,78·10−4 über einen Zeitraum von zwei Stunden demonstriert zudem die hervorragende Stabilität über die typische Zeitspanne einer Messung. Zusätzlich wurde gezeigt, dass über einen Zeitraum von drei Tagen bei voller Ausgangsleistung und normalen Laborbedingungen die Abweichung der Ausgangsleistung geringer als 0,3 % ist.
In der vorliegenden Arbeit wird der Aufbau und die Charakterisierung des Lasersystems zur Erzeugung rauscharmer Femtosekunden-Impulse mit hoher Spitzenleistung beschrie- ben. Die folgende schematische Übersicht, mit entsprechenden Kenngrößen des jeweiligen Abschnitts, findet sich am Anfang jedes Kapitels. Der jeweilig behandelte Teil des Systems wird farblich unterlegt.
EOM Yb:Faser-
Verstärker
HNF Gitter-
Strecker Er:Faser-
System PCF Gitter-
Kompressor
fCEO= 0 Hz frep= 10 MHz λ= 1,03 µm t0≈1 ns Ep≈70 nJ Ep= 7,2 µJ t0= 145 fs
Grundlage des in dieser Arbeit dargestellten Systems ist ein modengekoppelter Er:Faser- Oszillator, der Impulse bei einer Repetitionsrate von 40 MHz bereit stellt. Mit Hilfe gezielter Frequenzkonversion in einer hoch nichtlinearen Glasfaser und Erzeugung der Differenzfre- quenz werden passiv phasenstarre Impulse mit einer Träger-Einhüllenden-Offset-Frequenz von 0 Hz bei einer Wellenlänge von 1,55 µm generiert. Der Aufbau der Seed-Quelle sowie die Hintergründe zur Bereitstellung passiv phasenstarrer Impulse sind im ersten Kapi- tel dargestellt. Die verwendeten Konzepte zur Erhöhung der Leistung in Yb:Fasern mit erhöhtem Kerndurchmesser durch Verstärkung frequenzmodulierter Impulse sind in Ka- pitel 2 zusammengefasst. Die folgende Reduktion der Repetitionsrate auf 10 MHz durch einen fasergekoppelten elektro-optischen Modulator (EOM) wird in Kapitel 3 beschrieben, zusammen mit der kohärenten Frequenzkonversion in einer hoch nichtlinearen Glasfaser zur Bereitstellung von Signallicht im Wellenlängenbereich von 1,03 µm. Ebenso wird der Gitter-Strecker beschrieben, welcher den Impulsen positive Dispersion aufprägt, sodass sie eine Dauer von etwa 1 ns aufweisen. Dieses Vorgehen vermeidet nichtlineare Effekte bei
der späteren Steigerung der Leistung. Darauf folgt eine erste Verstärkerstufe basierend auf Yb:Fasern, die Signallicht mit einer Impulsenergie von etwa 70 nJ für den Hauptverstärker zur Verfügung stellt. In Kapitel 4 wird die Funktionsweise der verwendeten photonischen Kristallfaser (PCF), sowie der Aufbau des Hauptverstärkers beschrieben, der Impulse mit einer Energie von 7,2 µJ zur Verfügung stellt. Die Realisierung des sich anschließenden Gitter-Kompressors zur zeitlichen Kompression der Impulse auf eine Dauer von 145 fs und die Charakterisierung der resultierenden Strahl- und Impulsparameter sind in Kapitel 5 dargestellt. Im Anschluss wird in Kapitel 6 die Charakterisierung der Rauscheigenschaften und die Untersuchung der Langzeitstabilität vorgestellt. Zudem werden in diesem Kapitel mit der parametrischen Verstärkung phasenstarrer, breitbandiger Impulse und der Erzeu- gung eines Kontinuums über den gesamten sichtbaren Spektralbereich erste Anwendungen diskutiert. Abgeschlossen wird die Arbeit mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick auf zukünftige Experimente.
Basis für ein passiv phasenstarres Seed-System
EOM Yb:Faser-
Verstärker
HNF Gitter-
Strecker Er:Faser-
System PCF Gitter-
Kompressor Laser, basierend auf mit Erbium dotierten Glasfasern, bilden die Basis vieler wissenschaft- licher Anwendungen, weit über den Bereich der Telekommunikation hinaus [Bri14]. Die hohe mechanische Stabilität, Kompaktheit und ihre geringe Empfindlichkeit gegenüber Umwelteinflüssen sind entscheidende Vorteile faserbasierter Systeme. Zudem erweisen sich Er:Fasern als äußerst flexibles Verstärkungsmedium insbesondere im gepulsten Betrieb.
Die Modenkopplung durch Halbleiter-Bauelemente lässt einen vollständig fasergekoppelten Resonator zu. Mit Hilfe gezielter Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern lassen sich zudem maßgeschneiderte Spektren für Lasersysteme mit vielseitigen Einsatzgebieten in der Wissenschaft realisieren. Neben der Möglichkeit passiv phasenstarre Impulse mit einer verschwindenden Träger-Einhüllenden-Phase zu generieren [Kra11a; Kra11b] können Signale aus Er:Faser-System zur Erzeugung und Abtastung von Terahertz-Strahlung höchs- ter Intensität verwendet werden [Sel08b; Sel08a]. Die spektrale Bandbreite unterstützt die Kompression von Impulsen auf eine Dauer weniger als 8 fs [Sel09] bis hin zu lediglich einer einzelnen Lichtschwingung [Kra10]. Ultrakurze Lichtimpulse aus solchen Systemen erlauben die zeitaufgelöste, nichtlineare Mikroskopie in der Biologie [Trä08; Sel11; Tom13], sowie die Umsetzung kompakter Lasersysteme für nichtlineare Raman-Spektroskopie [Kra09]. Die breitbandige Emission erlaubt außerdem die resonante Anregung und Untersuchung von Nanostrukturen [Tho08; Han09a].
In diesem Kapitel werden Funktionsweise und Aufbau eines Lasers basierend auf Er:Fasern beschrieben, welcher passiv phasenstarre Impulse generiert. Er bildet die Seed-Quelle für einen Hochleistungs-Verstärker, der in dieser Arbeit vorgestellt wird. Zudem werden die physikalischen Grundlagen zur Verstärkung in Er:Fasern, Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern, Erzeugung der Differenzfrequenz sowie der Charakterisierung ultrakurzer Impulse diskutiert.
1.1 Mit Erbium dotierte Glasfasern als Verstärkungsmedium
Die Ionen seltener Erden wie Erbium (Er), Ytterbium (Yb), Thulium (Tm), Neodym (Nd) oder Holmium (Ho) eignen sich zur Herstellung von Lasermedien [Fer13]. Im Falle von
Erbium wird eine Kristall- oder Glas-Matrix mit dreifach positiv geladenen Ionen dotiert.
Dies ist auch mit Quarzglas-Fasern möglich, welche auf diese Art aktive Fasern darstellen. In Abbildung 1.1 ist das Energieniveauschema von Er3+-Ionen in einer Glas-Matrix inklusive der relevanten optischen Übergänge gezeigt. Der gebräuchlichste Laserübergang findet vom
4I13/2-Niveau in den Grundzustand 4I15/2 statt. Abhängig von der Besetzungszahl liegt dieser Übergang bei Wellenlängen im Bereich von 1,53 µm oder 1,55 µm. Beim üblichsten Pumpschema für Er:Fasern werden die Ionen vom Grundzustand4I15/2 in den Zustand
4I11/2 angeregt. Von dort findet eine Mehrphononen-Relaxation mit einer Zeitkonstante von 7,8 µs in den Zustand 4I13/2 statt [Dig01]. Damit bildet mit Erbium dotiertes Glas ein Quasi-Dreiniveau-System. Die Lebensdauer des oberen Laserniveaus 4I13/2 ist mit etwa 10 ms vergleichsweise lang. Zusätzlich ist auch das Pumpen bei einer Wellenlänge von etwa 800 nm [Ped92] oder bandinternes Pumpen bei einer Wellenlänge von 1,45 µm [Jar98]
möglich. Auch andere Übergänge bei Wellenlängen von 2,7 µm bis 2,9 µm sind optisch aktiv und werden für biologische Anwendungen genutzt, da sie im Resonanzbereich fundamentaler Streckschwingungen von OH-Gruppen liegen [Pol01]. Ein zumeist parasitärer Effekt ist die Aufkonversion, bei der zwei Pump-Photonen im Material absorbiert und die Ionen vom Grundzustand in den höher gelegenen4S3/2-Zustand angehoben werden [Lam88]. Von dort findet ein optischer Übergang zurück in den Grundzustand statt, der bei einer Wellenlänge von etwa 550 nm liegt [Ber90; Kru91]. Dies führt zum charakteristischen grünen Leuchten gepumpter Er:Fasern. Durch die amorphe Glasstruktur sind alle optischen Übergänge bei Raumtemperatur inhomogen verbreitert. Dies führt zu einer größeren Verstärkungsband- breite, die wiederum von der genauen Zusammensetzung des Wirtsmaterials abhängig ist.
Während sie bei reinem Quarzglas bei etwa 8 nm liegt, sind es bei Fluoridgläsern bis zu 60 nm [Dig01].
Die Tatsache, dass ein optischer Übergang bei einer Wellenlänge von 1,55 µm stattfindet, begünstigt die Nutzung von Er:Fasern in der Datenübertragung über lange Distanzen.
Genau in diesem Spektralbereich befindet sich das Absorptionsminium von Quarzglas. In Abbildung 1.1(c) sind die intrinsischen Verluste und das experimentell ermittelte Dämp- fungsspektrum einer Quarzglasfaser in Abhängigkeit der Wellenlänge gezeigt. Unterhalb einer Wellenlänge von 1,2 µm dominiert die Rayleigh-Streuung und bildet damit das physi- kalische Limit bei der Herstellung von verlustarmen Glasfasern. Oberhalb einer Wellenlänge von 1,6 µm überwiegt die Absorption durch SiO2-Moleküle. Im Bereich dazwischen treten Harmonische der Resonanz der Vibrationsanregung von OH--Gruppen auf. Diese liegen bei etwa 1,40 µm, 1,23 µm und 0,95 µm [Agr07]. Durch die Reduktion von OH--Gruppen im Material während des Herstellungsprozesses werden laut Hersteller bei einer Standard- faser mit monomodiger Lichtleitung (SMF, engl.: single-mode fiber)3 Dämpfungen von 0,17 dB/km bei einer Wellenlänge von 1,55 µm erreicht. Das bedeutet, dass nach mehr als
3:Standardfaser– Als Standardfaser wird in dieser Arbeit eine polarisationserhaltende Stufenindexfaser ohne Dotierung bezeichnet, die Licht im entsprechenden Wellenlängenbereich monomodig leitet.
Absorption Emission
(c)
(b) (a)
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 0,1
1 10 100
Störstellen UV
IR experimentelle Daten
Wellenlänge (µm) Wellenlänge (µm)
Absorption(dB/km)
theoretische Grenzen
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
1,4 4I11/2
4I13/2
4I15/2
0,8 0,9 1,0 1,5 1,6
0 2 4 6 8
OH--Absorption Energie(eV)Wirkungsquerschnitt (10−25 m2 )
1,45 µm 0,98 µm 1,55 µm
Rayleigh- Streuung 2,9 µm
Abbildung 1.1: Absorptions- und Emissionsverhalten von Er:Fasern. (a) Energieni- veauschema von Er3+-Ionen in einer Glas-Matrix. Gezeigt sind durch Absorption von Pumplicht hervorgerufene Übergänge (blau), Relaxation auf das Laserniveau (gestrichelt) sowie der Laserübergang (rot). Daten entnommen aus [Dig01]. (b) Ge- messene Absorptions- und Emissionsquerschnitte von Er:Fasern. Daten entnommen aus [Bar91]. (c) Dämpfungsspektrum und intrinsische Verlustmechanismen in einer Quarzglasfaser. Unterhalb einer Wellenlänge von 1,2 µm dominiert die Rayleigh- Streuung. Verluste durch die UV-Bandkante, sowie Absorption durch Störstellen liegen deutlich unterhalb dieser Grenze. Oberhalb einer Wellenlänge von 1,6 µm überwiegt die Absorption durch SiO2-Moleküle (IR). Im Bereich dazwischen tre- ten Harmonische der Resonanz-Vibrationsanregung von OH--Gruppen auf. Daten entnommen aus [Li85].
17 km Propagation in einer Standardfaser noch etwa die halbe Intensität des eingestrahlten Lichts vorhanden ist.
1.2 Aufbau und Funktionsweise des Oszillators und Verstärkers
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein vorhandenes Lasersystem basierend auf Er:Fasern für den Einsatz als stabile Seed-Quelle für Hochleistungs-Faserlaser optimiert. Für eine detaillierte Beschreibung dessen sei auf [Feh10; Kra11a; Kra11b] verwiesen. Im folgen- den Abschnitt werden Aufbau und Ausgangsparameter des Oszillators sowie des ersten Verstärkers dargestellt. Eine allgemeine Übersicht über unterschiedliche Konzepte beim
Bau von Oszillatoren und Verstärkern, sowie ultrabreitbandiger Er:Faser-Laser findet sich beispielsweise in [Bri14; Fer13; Fer09].
1.2.1 Er:Faser-Oszillator bei einer Repetitionsrate von 40 MHz
Das Herzstück des gesamten Lasersystems bildet ein Er:Faser-Oszillator. Da dieser das Signallicht für alle folgenden Verstärkerstufen bereitstellt, ist eine hohe Stabilität der Ausgangsimpulse essenziell. Um diese bestmöglich zu erreichen, werden ausschließlich polarisationserhaltende Fasern und faseroptische Bauteile verwendet. Dadurch ist die Strahlführung weitgehend von äußeren Einflüssen wie mechanischen Spannungen oder Temperaturunterschieden entkoppelt. Um den Oszillator in den modengekoppelten Betrieb zu überführen, ist ein nichtlineares Element notwendig, welches höhere Verlustleistungen für Dauerstrichanteile im Vergleich zu gepulsten Anteilen hinzufügt. Auf passive Art kann dazu eine nichtlineare Phasenverschiebung [Dul91], nichtlineare Polarisationsausbreitung in Fasern [Tam92; Fer93] oder wie im hier beschriebenen System ein sättigbarer Absor- berspiegel (SAM,engl.: saturabel absorber mirror) eingesetzt werden [Smi85; Kär95]. Die letztgenannte Methode hat sich aufgrund der hohen Stabilität inzwischen auch in vielen kommerziell erhältlichen Systemen durchgesetzt.
Für den Impulsformungsprozess innerhalb des Oszillators spielt zudem die Kontrolle der Dispersion und Nichtlinearitäten eine entscheidende Rolle. Grundsätzlich sind dabei drei Regime möglich: Verwendung von Fasern mit unterschiedlicher Dispersion (Laser mit zeitlich gestreckten Impulsen) [Tam93; Tam94], eine normale Dispersion [Fer00; Ild04;
Rue08] oder Oszillatoren mit anomaler Dispersion [Kaf89]. Im hier vorgestellten Aufbau liegt der letzte Fall vor. Anomale Dispersion liegt dann vor, wenn die zweite Ableitung der Wellenzahl β=n(ω)ωc nach der Kreisfrequenz ω negativ ist:
β2 = d2β
dω2 <0. (1.1)
Dabei istn(ω) der Brechungsindex undc die Lichtgeschwindigkeit in Vakuum. Der durch β2 hervorgerufene Effekt wird auch Gruppengeschwindigkeitsdispersion genannt. In Medien mit anomaler Dispersion können sich Solitonen als stabile Lösung der generalisierten nichtlinearen Schrödinger Gleichung ausbilden [Agr07]. Dies ist möglich, wenn sich das zeitliche Auseinanderlaufen der Impulse, hervorgerufen durch Dispersion, und die Erzeugung neuer Frequenzanteile durch den nichtlinearen Effekt der Selbstphasenmodulation (SPM, engl.: self-phase modulation) gegenseitig kompensieren [Agr07]. Für ein fundamentales
Soliton muss folgende Bedingung erfüllt sein:
P0t20 = |β2|
γ . (1.2)
Dabei istP0 die Leistung der Impulse im Resonator,t0 die Dauer eines Impulses und γ der
Nichtlinearitätsparameter, der über γ = n2ω0
cAeff (1.3)
mit dem nichtlinearen Anteil des Brechungsindex (näher beschrieben in Abschnitt 2.2.2) und der effektiven Modenfläche Aeff der Faser abhängt [Agr07]. Dabei ist c die Lichtge- schwindigkeit in Vakuum. Die bandbreitenlimitierten Impulse des fundamentalen Solitons haben eine Intensitätseinhüllende der Form
P(t) =P0sech2 t
t0
. (1.4)
Da die Fourier-Transformation eines sech2 erneut zu einem sech2 führt, weist auch das Frequenzspektrum eines Solitons diese Form auf. Durch Störungen, wie etwa Verluste an Komponenten, ändert sich die Bedingung für das fundamentale Soliton. Die Impulskompo- nenten, die dieser Bedingung nicht mehr genügen, werden daher abgespalten. Diese besitzen dadurch eine abweichende Phasenverschiebung in Bezug zu den ursprünglichen Anteilen.
Bei gewissen Frequenzen erreicht die Phasendifferenz pro Umlauf genau 2π oder Vielfache davon, sodass als Folge konstruktive Interferenz mit den abgespaltenen Impulskomponenten auftreten kann. Dies zeichnet sich in schmalbandigen Kelly-Seitenbändern [Kel92] aus, die charakteristisch für solitonische Oszillatoren sind. Dieser Effekt begrenzt die Impulsenergie im Resonator, bei der eine stabile, solitonische Impulsform gegeben ist. Aufgrund einer hohen Kleinsignalverstärkung von Er:Fasern spielt dies jedoch in der Praxis nur eine unter- geordnete Rolle. Der Vorteil eines solitonischen Oszillators ist die stabile Impulsform und ein resultierendes unstrukturiertes Spektrum [Kär96].
Der in dieser Arbeit beschriebene Oszillator ist in einem Hybrid-Design aufgebaut, be- stehend aus einem linearen und einem ringförmigen Anteil [Adl07b]. Ein Schema dieses Aufbaus ist in Abbildung 1.2 gezeigt. Im linearen Teil befindet sich ein SAM als Re- sonatorspiegel mit einer Absorption von 35 %, einer Relaxationszeit von etwa 2 ps und einer Modulationstiefe von 18 %. Der hochreflektierende Spiegel besteht aus mehreren AlAs-GaAs-λ/4-Schichten, die auf einem GaAs-Substrat aufgebracht sind. Darauf befindet sich eine Absorberschicht aus InGaAs, dessen Zusammensetzung so angepasst ist, dass sich elektronische Quantentöpfe ausbilden. Dessen Bandlücke liegt in einem Bereich, der energetisch gleich der Wellenlänge von 1,55 µm ist. Damit können Elektronen vom Leitungs- ins Valenzband angehoben werden, bis alle angeregten Zustände in den Quantentöpfen belegt sind und nach dem Pauli-Prinzip keine Übergänge mehr möglich sind. Die Absorber- schicht bleicht aus, sodass Licht transmittiert und schließlich am sich dahinter befindlichen Spiegel reflektiert wird. Auf diese Art erfährt ein kurzer, intensiver Impuls eine vergleichs- weise geringe Dämpfung, während Dauerstrichanteile kontinuierlich absorbiert werden. Der modengekoppelte Betrieb wird somit erzwungen.
Pumpdiode
SAM Zirkulator
Er:Faser WDM
Koppler Isolator β2<0
VerstärkerEr:Faser- λ=974 nm 70:30
Abbildung 1.2: Schematischer Aufbau des modengekoppelten Er:Faser-Oszillators.
Dieser besteht aus einem Hybrid-Design mit einem linearen und ringförmigen Teil. Im linearen Teil ist ein sättigbarer Absorberspiegel (SAM) zur Modenkopplung eingesetzt.
Im ringförmigen Teil befindet sich die negativ dispersive Er:Faser. Das Pumplicht aus einer fasergekoppelten Laserdiode wird über einen Wellenlängenmultiplexer (WDM) mit dem Signallicht überlagert. 30 % der umlaufenden Leistung werden ausgekoppelt. Die Laufrichtung des Signallichts ist durch Pfeile markiert.
Das Signallicht wird über einen Kollimator ausgekoppelt und mit Hilfe einer Linse auf den SAM fokussiert, um die dafür notwendige Intensität zu erreichen. Ein fasergekoppelter Zirkulator verbindet den linearen mit dem ringförmigen Teil, in dem sich die Er:Faser befindet. Der Zirkulator gibt auch die Umlaufrichtung des Signallichts im Oszillator vor.
Als Pumpquelle dient eine fasergekoppelte Laserdiode, die bei einer Wellenlänge von 974 nm emittiert und über ein Faser-Bragg-Gitter wellenlängenstabilisiert wird. Die Er:Faser be- sitzt eine negative Dispersion, sodass ein Soliton-Formungsprozess stattfinden kann. Über einen Wellenlängenmultiplexer (WDM,engl.: wavelength division multiplexer) wird das Pumplicht entgegen der Propagationsrichtung des Signallichts in die dotierte Glasfaser eingekoppelt. Dadurch ist die Besetzungsinversion am Ende der Faser maximal, was zu höherer Verstärkung und weniger Reabsorption des verstärkten Lichts führt und damit die Effizienz steigert. Nach der Verstärkerfaser werden 30 % des umlaufenden Lichts ausgekop- pelt. Die restliche Faserstrecke im ringförmigen Teil ist so gewählt, dass der Umlauf eines Impulses zu einer Repetitionsrate von 40 MHz führt. Ein Isolator schützt den Oszillator vor Rückreflexen aus den folgenden Verstärkerstufen, die das System stören würden. Al- le verwendeten Komponenten sind polarisationserhaltend, um einen stabilen Betrieb zu gewährleisten.
Ziel beim Aufbau des Oszillators ist es, die Kelly-Seitenbänder so gering wie möglich zu halten, damit sich diese spektralen Komponenten in der folgenden Verstärkung nicht negativ auswirken. Ist weniger Pumpleistung im Resonator vorhanden, besitzt auch das Soliton nach Gleichung 1.2 weniger Energie, was zu längeren Impulsdauern führt. Damit liegt weniger Spitzenleistung vor, was eine geringere nichtlineare Phasenverschiebung nach sich zieht. Folglich ist die Stabilität des Impulses erhöht. Die so entstehende Verringerung der Bandbreite wirkt sich positiv aus, da sich der Einfluss von Dispersion höherer Ordnung verringert. Allerdings muss die vorhandene Pumpleistung genügend hoch sein, dass es nicht
zum Versagen des Impulsformungsprozesses kommt. Der hier beschriebene Oszillator ist auf minimale Pumpleistung optimiert worden, bei der noch ein zuverlässiger und eigenstän- diger Start der Modenkopplung gewährleistet ist. Das gemessene Ausgangsspektrum des Oszillators ist in Abbildung 1.3 gezeigt. Es weist eine volle Halbwertsbreite (FWHM, engl.: full width at half maximum) von 5,1 nm bei einer Zentralwellenlänge von 1,56 µm und einer Ausgangsleistung von 2,2 mW auf. In der eingesetzten logarithmischen Auftragung sind Kelly-Seitenbänder (durch Pfeile markiert) erkennbar. Jedoch befinden sich ihre Intensitäts- maxima 26 dB beziehungsweise 30 dB unterhalb des Höchstwertes des Ausgangsspektrums und wirken sich somit nicht negativ auf die Stabilität des Oszillators aus.
1,55 1,56 1,57 1,58 1,59
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Wellenlänge (µm)
Intensität(norm.)
Wellenlänge (µm)
Intensität(dBm)
5,1 nm
1,54 1,55 1,56 1,57 -50
-60 -70 -80
Abbildung 1.3: Ausgangsspektrum des modengekoppelten Er:Faser-Oszillators. Es weist eine volle Halbwertsbreite von 5,1 nm mit einer Zentralwellenlänge von 1,557 µm auf. Eingesetzt ist die logarithmische Auftragung des Spektrums, in der Kelly-Seitenbänder erkennbar sind (durch Pfeile markiert). Da diese jedoch 26 dB beziehungsweise 30 dB unterhalb des absoluten Intensitätsmaximums liegen, sind keine Störungen in den weiteren Stufen des Systems vorhanden.
1.2.2 Femtosekunden Er:Faser-Verstärker
Vom Oszillator wird eine Impulsenergie von 54 pJ bereit gestellt, die jedoch nicht ausreicht, um signifikant Frequenzkonversion in einer hoch nichtlinearen Glasfaser zu treiben. Daher ist eine Verstärkung der Impulse notwendig. Er:Fasern bieten den Vorteil, einer hohen Kleinsignalverstärkung, weshalb wenige 100 µW Eingangsleistung ausreichen, Leistung effizient im einfachen Durchgang durch die Faser um bis zu 30 dB zu steigern, wie in dieser Arbeit gezeigt. Dadurch ist die Ausgangsleistung eines Oszillators genügend hoch, sodass parallel laufende Verstärker umsetzbar sind, was die Erzeugung nahezu perfekt zueinander synchronisierter Impulse ermöglicht. Die relativen zeitlichen Fluktuationen zwischen den Impulsen aus zwei unterschiedlichen Zweigen (integriert über den Frequenzbereich von 1 Hz bis zur Nyquist-Frequenz) betragen lediglich 11 as [Adl07a].
Um nach einer Verstärkerstufe gezielte Frequenzkonversion zu treiben, sind neben einer
Er:Faser SMF β2<0 β2 >0
WDM WDM
Pump- diode
Pump- diode
Isolator
Silizium- Prismen Oszillator
Abbildung 1.4: Schematischer Aufbau des nichtlinearen Er:Faser-Verstärkers nach dem Oszillator. In der positiv dispersiven Er:Faser (β2 > 0) läuft der Impuls zeitlich auseinander, während er an Leistung gewinnt. Nach der aktiven Faser folgt negativ dispersive monomodige Standardfaser (SMF), in der die intensiven Impulse wieder zeitlich komprimiert werden und so durch Selbstphasenmodulation neue Frequenzanteile entstehen. Die Länge dieser Faser wird auf das Ausgangsspektrum optimiert. Die folgende Silizium-Prismensequenz komprimiert die Impulse zeitlich.
Um den notwendigen Verstärkungsfaktor zu erhalten, wird mit zwei fasergekoppelten Laserdioden beidseitig gepumpt. Das Pumplicht wird über Wellenlängenmultiplexer (WDM) in die aktive Faser eingekoppelt.
ausreichenden Impulsenergie auch kurze Impulse im Femtosekunden-Bereich notwendig.
Die dazu nötigen breitbandigen Spektren können über Selbstphasenmodulation in einem nichtlinearen Er:Faser-Verstärker realisiert werden [Khu90; Ain90; Ric92]. Der Aufbau des verwendeten Verstärkers ist in Abbildung 1.4 schematisch dargestellt. Zwischen Oszillator und der ersten Verstärkerstufe ist nur minimal Standardfaser eingebracht, um deren Einfluss möglichst gering zu halten. Die verwendete 2,5 m lange Er:Faser weist mitβ2= 49,7 ps2/km eine vergleichsweise hohe anomale Dispersion auf. Das hat zur Folge, dass die Impulse schon zu Beginn der Verstärkerfaser die maximale zeitliche Kompression erreichen, sodass SPM eintritt. Im weiteren Verlauf des Verstärkers laufen die Impulse dispersiv auseinander, sodass bei zunehmender Energie die Impulsdauer ansteigt. Damit wird die akkumulierte nichtlineare Phase nicht zu groß, was ein Aufbrechen der Impulse zur Folge hätte. Nach der Verstärkerfaser folgt eine negativ dispersive Standardfaser mitβ2=−19,7 ps2/km. Dies führt dazu, dass sich die Impulsdauer bei gleichbleibender Energie verringert, also mehr Spitzenleistung vorliegt. Das fördert den Prozess der SPM, wodurch neue Frequenzanteile erzeugt werden und das Spektrum so verbreitern. Die nötige Faserlänge wird auf spektrale Bandbreite bei gleichzeitig glattem Spektrum optimiert. Im vorliegenden Fall sind dies 60 cm. Ist die Faser zu kurz gewählt, werden weniger Frequenzkomponenten erzeugt, ist die Faser hingegen zu lang, liegt eine komplizierte Frequenzmodulation vor, die unter Umständen nicht mehr kompensierbar ist.
Der Verstärker wird mit zwei fasergekoppelten Pumpdioden mit einer Ausgangsleistung von je 750 mW bei einer Wellenlänge von 974 nm betrieben. Das Pumplicht wird dabei beidseitig über fasergekoppelte WDM eingeleitet. Der hintere WDM trennt Signal- und
Pumplicht wieder. Alle Fasern und Komponenten sind dabei polarisationserhaltend, um äußere Einflüsse auf das Signal zu minimieren. Nach dem Faserverstärker folgt ein optischer Isolator, der den Verstärker vor Rückreflexen aus dem folgenden System schützt. Eine Prismensequenz [Die06], bestehend aus zwei Silizium-Prismen, mit einem Apex-Abstand von 13,9 cm, komprimiert die Impulse auf eine Dauer von 128 fs [Kra11b]. Diese Impulse stehen bei einer Impulsenergie von 8,5 nJ zur Verfügung. Dies ist ideal für das Treiben gezielter Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern.
1.3 Charakterisierung ultrakurzer Impulse durch frequenzaufgelöstes optisches Abtasten (FROG)
Zur Berechnung der Impulspropagation in Glasfasern, insbesondere für die Simulation der gezielten Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Fasern (Abschnitt 1.4), ist die Kenntnis der zeitlichen Einhüllenden und Phase der Eingangsimpulse notwendig. Lichtimpulse mit einer Zeitdauer im Femtosekunden-Bereich lassen sich jedoch nicht mehr elektronisch vermessen. Daher muss bei der Charakterisierung solcher Impulse auf optische Methoden zurück gegriffen werden. Wenn keine kürzeren Impulse zur Verfügung stehen, kann der Impuls zur Charakterisierung mit sich selbst überlagert werden. Eine mögliche Methode ist frequenzaufgelöstes optisches Abtasten (FROG, engl.: frequency resolved optical gating) [Tre93]. Je nach Wahl des dafür verwendeten nichtlinearen Prozesses und der Geometrie des Aufbaus sind unterschiedliche Verfahren möglich [Tre97; Tre00]. Unter Ausnutzung der Erzeugung der zweiten Harmonischen (SHG,engl.: second harmonic generation) wird in der beschriebenen Arbeit das Verfahren des SHG-FROG verwendet, um Signale aufzunehmen, welche nichtlinear von der Intensität der Impulse abhängen [DeL94]. Alle in dieser Arbeit gezeigten zeitlichen Verläufe ultrakurzer Impulse wurden mit dieser Methode charakterisiert.
VDL
Spektrometer BS
BBO
Spektrogramm
Zeitverzögerung
Frequenz
Abbildung 1.5: Schematische Darstellung ei- nes Messaufbaus für frequenzaufgelöstes op- tisches Abtasten. Die einlaufenden Impul- se werden über einen Strahlteiler (BS) auf- geteilt und mit sich selbst in einem BBO- Kristall überlagert. Das entstehende Signal wird in einem Spektrometer abhängig von der zeitlichen Verzögerung (VDL) aufgenommen.
Das gezeigte Spektrogramm ist ein typisches Ergebnis einer solchen Messung.
In Abbildung 1.5 ist der Messaufbau des SHG-FROG schematisch dargestellt. Die Im- pulse werden durch einen Strahlteiler in zwei Teilimpulse aufgeteilt und danach in einem nichtlinearen Kristall, beispielsweiseβ-Bariumborat (BBO,β-BaB2O4), räumlich überlagert fokussiert. Zusätzlich erfolgt die zeitliche Verzögerung beider Strahlen zueinander durch einen Piezostelltisch. Ein Spektrometer dient der Detektion des Signals. Der Aufbau ist so
konzipiert, dass beide Strahlen die gleiche Dispersion und den gleichen Einfluss der Phase erhalten, um die Messung nicht zu verfälschen. Dazu werden beide Teilstrahlen jeweils einmal an der Oberfläche eines Strahlteilers reflektiert und durch den zweiten Strahlteiler transmittiert. Die Verringerung der Gesamtdispersion wird durch die Verwendung von Strahlteilern mit einer Dicke von wenigen hundert Mikrometern und die Fokussierung der Impulse in den nichtlinearen Kristall über reflektive Optik erreicht. Das Ergebnis einer frequenzaufgelösten optischen Abtastung ist eine hohe Anzahl an Spektren für unter- schiedlich große zeitliche Überlappung der Teilimpulse mit sich selbst. Das so entstehende Spektrogramm zeigt in der Farbcodierung die Intensität aufgetragen über Frequenz und zeitliche Verzögerung und ist exemplarisch ebenfalls in Abbildung 1.5 gezeigt. Die gemessene IntensitätISHG FROG lässt sich für den Fall des SHG-FROG abhängig von der Frequenz ω, der Verzögerungszeittd, sowie dem elektrischen FeldE(t) und dem verzögerten Feld E(t−td) bestimmen zu [DeL94]:
ISHG FROG=
∞
Z
−∞
E(t)E(t−td)e−iωtdt
2
. (1.5)
Der Vorteil dieses Verfahrens zeichnet sich dadurch aus, dass sowohl der zeitliche Inten- sitätsverlauf der Impulse, als auch dessen Phase rekonstruiert werden kann und somit eine vollständige Charakterisierung der Impulse vorliegt. Um die Qualität der Messung zu prüfen, wird das rekonstruierte mit dem direkt gemessenen Spektrum verglichen. Für eine detaillierte Beschreibung der Messmethode und Rekonstruktion sei auf [Tre00] verwiesen.
1.4 Gezielte Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern
Mit Hilfe der gezielten Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern steht eine Methode zur Verfügung, mit der sich im Er:Faser-System maßgeschneiderte Spektren außerhalb des Bereichs um 1,55 µm generieren lassen. Dies führt zu einer signifikanten Erweiterung der Flexibilität des beschriebenen Systems. Die Frequenzkonversion wird sowohl zur Erzeugung passiv phasenstarrer Impulse (Abschnitt 1.5) eingesetzt als auch zur Bereitstellung von Signallicht für Hochleistungs-Verstärker auf Basis von mit Ytterbium oder Thulium dotierten Fasern verwendet. Aus diesem Grund ist eine hohe Kohärenz der Spektren essenziell. Die Funktionsweise der Frequenzkonversion sowie die Kohärenzeigenschaften des resultierenden Impulszugs werden im folgenden Abschnitt erläutert.
1.4.1 Maßgeschneiderte Spektren durch gezielte Frequenzkonversion
Eine hoch nichtlineare Glasfaser (HNF,engl.: highly nonlinear fiber) zeichnet sich durch einen außergewöhnlich hohen Wert des Nichtlinearitätsparametersγ aus [Oku99]. Nichtlineare Effekte treten daher bei gleicher Energie deutlich stärker auf als beispielsweise in einer
Standardfaser. Mit dem gezielten Einsatz der nichtlinearen Effekte lässt sich die spektrale Form der Impulse in einer HNF grundlegend ändern. Durch eine Dotierung des Kerns der Faser mit Germanium wird der Brechungsindexunterschied zwischen Kern und Mantel vergrößert. Dadurch ist es möglich, den Modenfelddurchmesser auf bis zu 4 µm zu verringern.
Mittels Dotierung mit weiteren Elementen lässt sich zudem der Dispersionsnulldurchgang verschieben, was eine entscheidende Rolle für die in der Faser ablaufenden Prozesse spielt.
Die nichtlineare Propagation von ultrakurzen Impulsen in Glasfasern wird durch die verallgemeinerte nichtlineare Schrödinger-Gleichung beschrieben [Agr07]. Es gilt:
∂zA(z, τ) =
−α 2 −iβ2
2 ∂τ2+ iβ3
6 ∂τ3± · · ·
A(z, τ) +γ
i− ∂τ
ω0
A(z, τ)
∞
Z
−∞
A(z, τ0)2R(τ −τ0)dτ0
. (1.6)
Dabei ist A(z, τ) die Impulseinhüllende mit der retardierte Zeitτ unter Berücksichtigung der Gruppengeschwindigkeit des Impulses undzdie Position innerhalb der Glasfaser entlang der Ausbreitungsrichtung. Des Weiteren istαder Dämpfungsfaktor undβi = ∂ω∂ii beschreibt die Taylorkoeffizienten der Dispersion. Die Funktion R(τ −τ0) berücksichtigt die zeitliche Variation der Suszeptibilität dritter Ordnungχ(3) und beinhaltet sowohl Kerr-Nichtlineari- tät als auch die verzögerte Raman-Antwort. γ ist der Nichtlinearitätsparameter, wie in Gleichung 1.3 definiert. In Gleichung 1.6 berücksichtigt der erste Term alle linearen Effekte, die auf die Impulseinhüllende wirken, während der zweite Term nichtlineare Effekte bein- haltet. Die Impulspropagation in Glasfasern wird mittels numerischer Methoden berechnet, die auf dem split-step Fourier-Verfahren basieren. Bei diesem findet die Betrachtung der Faserlänge, in einzelne Schritte unterteilt, Dispersion und nichtlineare Effekte separat voneinander statt [Sel06; Agr07]. Um eine zuverlässige Aussage innerhalb der Simulation zu bekommen, ist es unabdingbar, die Dispersionsparameter βi der entsprechenden Faser für einen breitbandigen Spektralbereich zu kennen. Diese werden mit Hilfe eines fasergekop- pelten Weißlicht-Interferometers vermessen, während der Nichtlinearitätsparameter über Gleichung 1.3 ermittelt wird, wobei Modenfläche und Brechungsindex vom Hersteller zur Verfügung stehen. Über eine FROG-Messung sind die Eingangsparameter der Impulse, also zeitlicher Intensitätsverlauf und Phase, ebenfalls bekannt. Damit steht eine parameterfreie Simulation der nichtlinearen Impulspropagation zur Verfügung.
In Abbildung 1.6 ist exemplarisch das Ergebnis einer solchen Simulation für eine typische HNF dargestellt, wie sie im hier vorgestellten Aufbau eingesetzt wird. Die dafür verwendeten Ausgangsimpulse aus einem Er:Faser-Verstärker haben eine spektrale Bandbreite von 60 nm und sind auf eine Dauer von 110 fs komprimiert, bei einer Impulsenergie von 2,5 nJ. Dieser Impuls propagiert zunächst in anomal dispersiver Standardfaser. Dort beginnt ein Soliton- Formungsprozess, der zu neuen Frequenzanteilen führt, was die zeitliche Verkürzung des
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Wellenlänge (µm)
Propagationslänge(cm) Norm.Intensität 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 dispersive
Soliton Welle
Abbildung 1.6: Beispielhaftes Simulationsergebnis der Impulspropagation in einer typischen hoch nichtlinearen Glasfaser, wie sie auch im hier beschriebenen System eingesetzt wird. Gezeigt ist das Spektrum über die Propagationsdistanz in der Faser.
Der Ausgangsimpuls für diese Simulation stammt aus einem Er:Faser-Verstärker und besitzt eine Impulsdauer von 110 fs bei einer spektralen Bandbreite von 60 nm und einer Impulsenergie von 2,5 nJ. Dieser Impuls hat bereits solitonische Kompression durch eine Standardfaser erfahren.
Impulses nach sich zieht. Dies wird solitonische Kompression bezeichnet. An der Position der größten Kompression liegt die maximale Spitzenleistung vor, welche bei etwa 200 kW liegt. An dieser Stelle koppeln die Impulse in die HNF. Da die in dieser Arbeit beschrie- benen hoch nichtlinearen Fasern einen Dispersionsnulldurchgang im Wellenlängenbereich von 1,35 µm bis 1,61 µm aufweisen, liegt beim Übergang von Standardfaser zur HNF ein Sprung der Dispersion vor, sodass sich ein fundamentales Soliton abspaltet. Da dort im Regime anomaler Dispersion erneut stabile Bedingungen zur Propagation des Solitons vorliegen, findet eine spektrale Verschiebung zu höheren Wellenlängen statt. Die zuvor abgespaltenen Impulskomponenten besitzen kürzere Wellenlängen und propagieren dadurch unter normaler Dispersion. Daher wird dieser Anteil auch dispersive Welle bezeichnet.
Beide Komponenten sind im vergleichbaren Maß vom Dispersionsnulldurchgang entfernt, sodass ihre Gruppengeschwindigkeiten ähnlich zueinander sind. Dadurch kommt es zu einer kontinuierlichen Energieübertragung durch Vier-Wellen-Mischprozesse vom langwelli- gen in den kurzwelligen Bereich, solange eine zeitliche Überlagerung der beiden Anteile vorliegt. Im weiteren Verlauf spaltet das Soliton weiter auf [Dud06]. Durch stimulierte Raman-Streuung wird es dabei zu längeren Wellenlängen verschoben. Für die jeweilige Anwendung der Frequenzkonversion ist die genaue Lage des Dispersionsnulldurchgangs von entscheidender Bedeutung. Eine Faser mit niedrigem Dispersionsnulldurchgang erzeugt breite Spektren im dispersiven Anteil, deren Gesamtleistung jedoch vergleichsweise gering ist. Dem gegenüber steht eine Faser mit hohem Dispersionsnulldurchgang, mit der sich eine höhere Durchschnittsleistung realisieren lässt und Spektren im dispersiven Anteil bereit
stellt, die durchstimmbar sind [Sel06; Sel09].
Die experimentelle Umsetzung der gezielten Frequenzkonversion erfolgt durch eine Kom- bination von Standardfaser und hoch nichtlinearer Faser. Dies ist vorteilhaft, da fertig konfektionierte Kollimatoren mit Standardfaser kommerziell erhältlich sind, durch die Licht mechanisch stabil in die Faser eingekoppelt werden kann. Auf Grundlage der Simulation wird die Standardfaser an der Stelle abgeschnitten, an der die Impulse am kürzesten sind, um effizient nichtlineare Effekte zu treiben. An dieser Stelle wird die entsprechende HNF angespleißt4. Sobald die zeitliche Überlappung der beteiligten spektralen Komponenten nicht mehr vorliegt, wird diese abgeschnitten. Eine Prismensequenz vor der Standardfaser stellt einen zusätzlichen Freiheitsgrad bereit, die verschobenen Frequenzkomponenten zu optimieren oder die Durchstimmbarkeit von Spektren zu ermöglichen. Durch Variation des Materialdurchgangs wird dem Impuls eine veränderte Frequenzmodulation aufgeprägt, sodass sich die Impulsdauer nach der Standardfaser entsprechend ändert.
1.4.2 Kohärenzeigenschaften der Spektren nach einer HNF
Bei Methoden der Frequenzkonversion, beispielsweise in mikrostrukturierten Fasern, ist ein teilweiser Verlust der spektralen Kohärenz möglich [Gen07; Rue11]. Der Grund dafür sind durch Nichtlinearitäten hervorgerufene Modulationsinstabilitäten in anomal dispersiven Medien. Diese können eine exponentielle Verstärkung von Rauschbeiträgen verursachen [Agr07]. Die so entstehenden Störungen beeinflussen den Prozess der Solitonaufspaltung innerhalb der Faser. Zu den inkohärenten Rauschbeiträgen, die durch Modulationsinstabili- täten verstärkt werden, gehören beispielsweise verstärkte spontane Emission (ASE,engl.: amplified spontanious emission) oder spontane Raman-Emission. Da diese zum Kohärenz- verlust führenden Effekte auch in einer HNF nicht grundsätzlich ausgeschlossen werden können, wurden die Kohärenzeigenschaften der in hoch nichtlinearen Glasfasern erzeugten Spektren gezielt untersucht [Kum11; Kum12].
In Abbildung 1.7 ist eine schematische Darstellung des dazu verwendeten interferometri- schen Aufbaus nach [Bel00; Gu03] gezeigt. Passiv phasenstarre Signale aus dem in Abschnitt 1.6 beschriebenen System werden in zwei unabhängig voneinander arbeitenden Er:Faser- Verstärkern auf eine Durchschnittsleistung von 300 mW erhöht und auf eine Impulslänge von 125 fs komprimiert. Anschließend folgt jeweils eine baugleiche Kombination aus 9 cm Standardfaser und 8 mm langer HNF. Die separate Verstärkung der hier verwendeten Im- pulse sorgt dafür, dass eventuell auftretende Rauschbeiträge der Verstärker nicht zueinander korreliert sind. Eine mögliche Verstärkung solcher Beiträge innerhalb der HNF würde die Kohärenz der beiden erzeugten Spektren zueinander begrenzen. Nach der Kollimation durch einen Parabolspiegel werden beiden Impulszüge durch einen Strahlteiler überlagert und in eine Standardfaser eingekoppelt. Dieses Vorgehen stellt die räumliche Überlagerung sicher,
4:spleißen– Beim Spleißen zweier Glasfasern werden die Endfacetten angeschmolzen und aneinander geschoben.
Nach dem Abkühlen besteht eine feste Verbindung, die eine verlustarme Lichtleitung unterstützt.
Silizium- Prismen VerstärkerEr:Faser-
HNF
Neutraldichtefilter
Silizium- Prismen HNF
Spektrometer SystemSeed-
variabler
VerstärkerEr:Faser- Polarisator
Strahlteiler
variable
Verzögerungsstrecke
Abbildung 1.7: Schematischer Aufbau zur Untersuchung der Kohärenzeigenschaften der Impulse nach hoch nichtlinearen Glasfasern. Zwei Er:Faser-Verstärker werden aus demselben Oszillator mit Signallicht versorgt, sodass die Impulse inhärent zueinander synchronisiert sind. Nach Kompression der Impulse in Silizium-Prismensequenzen wird in zwei baugleichen hoch nichtlinearen Glasfasern (HNF) Frequenzkonversion betrieben. Beide entstehenden Spektren werden über einen Strahlteiler überlagert und in einem Spektrometer aufgenommen. Eine variable Verzögerungsstrecke sorgt für zeitliche Überlappung der Impulse während ein variabler Neutraldichtefilter die Intensitäten anpasst.
während eine zeitliche Überlappung der Impulse über eine variable Verzögerungsstrecke realisiert wird. Ein Polarisator stellt die korrekte Polarisation bei der Einkopplung sicher und ein variabler Neutraldichtefilter in einem der beiden Interferometer-Arme dient zur Feineinstellung der Intensitäten zueinander. Mit Hilfe eines Spektrometers basierend auf einem Detektor aus Indiumgalliumarsenid (InGaAs) mit erweiterter Empfindlichkeit wird der solitonische Anteil des Spektrums nach der HNF untersucht. Für die dispersive Welle findet ein optischer Spektrumanalysator Anwendung.
Die erzeugten Frequenzkomponenten aus beiden verwendeten hoch nichtlinearen Fasern sind für die dispersive Welle in Abbildung 1.8(a) und das Soliton in Abbildung 1.8(b) (rot und grün) dargestellt. Gezeigt ist zudem die Interferenz der beiden Arme bei leichtem zeitlichen Versatz der Impulse zueinander. Die so entstehende Modulation weist eine Tiefe von mehr als 98 % im Spektralbereich des Solitons und mehr als 99 % im Bereich der dispersiven Welle auf. Bei dieser Messung stellt das verwendete Spektrometer für den langwelligen Anteil mit einer Auflösung von 1 nm den limitierenden Faktor dar. Im Spektralbereich der dispersiven Welle begrenzen relative Fluktuationen der Impulse aus beiden Interferometer-Armen zueinander die Modulationstiefe, da eine Freistrahlstrecke von
Wellenlänge (µm)
Intensität(willk.Einh.)
Wellenlänge (µm) (a) Modulationstiefe: > 99 % (b) Modulationstiefe: > 98 %
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3
Intensität(willk.Einh.)
Abbildung 1.8: Kohärenzeigenschaften der Spektren nach hoch nichtlinearen Glas- fasern. Gezeigt sind die Spektren (rot und grün) im Bereich der (a) dispersiven Welle und (b) des Solitons zweier identischer Kombinationen aus Standardfaser und hoch nichtlinearer Faser. Die Überlagerung beider Spektren (blau) in einem Interferometer-Aufbau weist eine Modulationstiefe von mehr als 98 % auf und belegt damit exzellente Kohärenzeigenschaften der frequenzverschobenen Spektren.
einigen Metern vorliegt [Kum11]. Die nahezu vollständige Modulationstiefe der Interferenz, welche gemessen werden konnte, belegt die hervorragende Kohärenz der untersuchten Spektren.
Der Grund für die guten Kohärenzeigenschaften liegt in der Auswahl optimaler Faser- längen der verwendeten hoch nichtlinearen Glasfasern. Überwiegt der Prozess der Selbst- phasenmodulation ohne mit der Verstärkungsbandbreite der Modulationsinstabilitäten zu überlappen, ist eine kohärente Frequenzkonversion gewährleistet. Entscheidend bei der Auswahl der verwendeten Faserlängen sind dabei sowohl die Länge, nach der eine signifikante Verstärkung durch Modulationsinstabilitäten auftritt [Smi72], als auch die Länge, nach der das Soliton aufbricht [Dud06]. Die Position, an der das Soliton aufbricht, ist gleichzeitig der Punkt, an dem die maximale spektrale Bandbreite erreicht wird. Ins- besondere diese Länge liegt im Bereich, in dem die hier beschriebenen hoch nichtlinearen Glasfasern verwendet werden. Ist die Faser kürzer, findet keine nennenswerte Verstärkung von Rauschbeiträgen durch Modulationsinstabilitäten statt und das frequenzverschobene Spektrum weist ein hohes Maß an Kohärenz auf [Kum11]. Aufgrund dieser Eigenschaft liegen bei gezielt frequenzverschobenen Spektren aus einer HNF ideale Bedingungen für die Versorgung von Faser-Verstärkern im Wellenlängenbereich von 1 µm und 2 µm vor.
1.5 Passiv phasenstarre Impulse bei einer Wellenlänge von 1,55 µm
Das Seed-System basierend auf Er:Faser-Technologie bietet in Kombination mit gezielter Frequenzkonversion eine hohe Flexibilität. So ist es durch die Erzeugung der Differenzfre- quenz spektraler Anteile aus einer einzelnen hoch nichtlinearen Glasfaser und damit aus
demselben Frequenzkamm möglich, passiv phasenstarre Impulse zu generieren. Damit liegt ein Impulszug vor, in welchem jeder Impuls die identische Phasenlage des elektrischen Feldes zur Einhüllenden aufweist. Die verwendeten spektralen Anteile nach einer HNF werden dabei so verschoben, dass die Differenzfrequenz bei einer Wellenlänge von 1,55 µm liegt, sodass es möglich ist, die phasenstarren Impulse erneut mit Hilfe der Er:Faser-Technologie zu verstärken. Dieses Verfahren eröffnet somit einen eleganten und kompakten Weg, die Phasenlage der Impulse passiv zu stabilisieren, ohne diese über einen interferometrischen Aufbau aufwendig messen und aktiv regeln zu müssen.
1.5.1 Frequenzkamm und Träger-Einhüllenden-Phase Ein Lichtimpuls kann über die komplexe Feldamplitude
E(t) =A(t)eiω0teiφ(t) (1.7)
beschrieben werden. Dabei istA(t) die zeitabhängige Impulseinhüllende, ω0 die Trägerfre- quenz des Impulses und φdie Phase. Für den Impulszug eines modengekoppelten Lasers mit einer Repetitionsratefrep gilt dann:
E(t) =
∞
X
m=−∞
A(t−mTrep)eiω0(t−mTrep)eiφ(t−mTrep), (1.8) wobei A(t−mTrep) die Einhüllende desm-ten Impulses, mit der Zentralfrequenzω0 und der Phase φ(t−mTrep) darstellt. Dabei ist die Einhüllende jedes Impulses gleich, lediglich um mTrep verschoben. Weiterhin gilt Trep=frep−1. Unter der Annahme, jeder Impuls des Impulszugs sei identisch, gilt, dass die Phase konstant ist und kann somit willkürlich auf den Wert 0 rad gesetzt werden. Das entsprechende Frequenzspektrum ergibt sich aus der Fourier-Transformation. Unter Ausnutzung der Fourier-Entwicklung eines Dirac-Kammes folgt:
E(ω) =˜ ωrepA(ω˜ −ω0)
∞
X
m=−∞
δ(ω−mωrep) (1.9)
Dabei giltωrep= 2πfrep. Das Spektrum eines unendlich ausgedehnten Impulszugs exakt gleicher Impulse ist damit ein äquidistanter Frequenzkamm mit dem Ursprung beif = 0 Hz und einem Abstand der Kammlinien von frep.
Breiten sich Impulse in einem Medium aus, so gilt im Allgemeinen, dass bei der Propaga- tion der Trägerwelle Phasen- und Gruppengeschwindigkeit unterschiedlich sind. Damit ver- ändert sich die Phasenlage des elektrischen Feldes in Bezug zur Einhüllenden kontinuierlich und die Annahme, dass jeder Impuls identisch sei, kann nicht aufrecht erhalten werden. Der so entstehende Phasenunterschied ∆φzwischen zwei Impulsen ist die Träger-Einhüllenden-
