Differenzfrequenzerzeugung und Quasi-Phasenanpassung

H

HH

fCEO+nf_rep−( H

HH

fCEO+mf_rep) = (n−m)f_rep. (1.13) Wie in Abbildung 1.10 veranschaulicht, liegt der Ursprung des resultierenden Frequenz-kamms somit beif = 0 Hz und jeder Impuls weist eine identische Phasenlage des elektrischen Feldes zur Einhüllenden auf.

Dieses Verhalten kann man sich insbesondere für die Er:Faser-Technologie zu Nutze machen. Die beteiligten Zentralfrequenzen für die DFG müssen eine Differenz von 193 THz aufweisen, um phasenstarre Impulse bei einer Wellenlänge von 1,55 µm zu erhalten. Die Leistung dieser kann dann mit einem Er:Faser-Verstärker erhöht werden. Durch die gezielte Frequenzkonversion in hoch nichtlinearen Glasfasern ist es möglich, entsprechende Spektren zu erzeugen [Kra11a; Kra11b]. Die experimentelle Umsetzung wird in Abschnitt 1.5.4 im Detail beschrieben.

1.5.3 Differenzfrequenzerzeugung und Quasi-Phasenanpassung

Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen lässt sich die Propagation von Lichtimpulsen beschreiben. Zur Lösung der dazu gehörigen Wellengleichung ist die Entwicklung der elektrischen Polarisation notwendig. Ist der betrachtete Frequenzbereich hinreichend weit von Materialresonanzen entfernt, lässt sich die Polarisation P(t) eines Materials in einer

I

I

f

f fCEO6= 0

fCEO= 0 f_rep

Differenzfrequenz-erzeugung (DFG) solitonischer Anteil dispersiver Anteil

phasenstarr

154 THz 347 THz

193 THz

Abbildung 1.10: Schema zur passiven Stabilisierung der Träger-Einhüllenden-Offset-Frequenz auf den WertfCEO=0 Hz. Durch die Erzeugung der Differenzfrequenz zweier spektraler Anteile aus demselben Frequenzkamm wird die Offset-Frequenz nach Gleichung 1.13 eliminiert. Beträgt der Abstand der beitragenden Zentralfre-quenzen 193 THz, können phasenstarre Impulse bei einer Wellenlänge von 1,55 µm erzeugt und nachträglich in einer Er:Faser verstärkt werden.

Potenzreihe nach dem elektrischen Feld entwickeln [Boy08]:

P(t) =χ⁽¹⁾E(t) +χ⁽²⁾E²(t) +χ⁽³⁾E³(t) +. . .

=P_lin(t) +P_nl(t). (1.14)

Dabei ist χ⁽ⁱ⁾ die elektrische Suszeptibilität i-ter Ordnung undE(t) das elektrische Feld eines Impulses. Lediglich der erste Term ist linear abhängig vom elektrischen Feld. Die Gesamtpolarisation lässt sich somit als Summe der linearen Polarisation P_lin(t) und den nichtlinearen BeiträgenP_nl(t) formulieren. Unter der Annahme, das elektrische Feld bein-haltet zwei Frequenzkomponenten ω₁ undω₂, gilt

E(t) =A₁(t) e^iω1t+A₂(t) e^iω2t+c.c. (1.15) mit c.c.als komplex Konjugiertem des vorhergehenden Terms. Die DFG ist proportional zur Polarisation zweiter Ordnung. Für diese gilt mit der obigen Annahme:

P⁽²⁾(t) =χ⁽²⁾A²₁(t) e^{−2 iω1t}+A²₂(t) e^{−2 iω2t}+2A₁(t)A₂(t) e^{−i(ω1+ω2)t}

+2A₁(t)A₂(t) e^{−i(ω1−ω2)t}+A²₁(t) +A²₂(t)+c.c. (1.16) Die Terme mit der Trägerfrequenz 2ω_ientsprechen der Erzeugung der zweiten Harmonischen, während die Terme mitω₁+ω₂ undω₁−ω₂ die Summen- beziehungsweise Differenzfre-quenzerzeugung beschreiben. Der Term, welcher nur von der Impulseinhüllenden abhängt, beschreibt den Effekt der optischen Gleichrichtung. Alle genannten Prozesse laufen bei

zeitlicher und räumlicher Überlappung der beiden Felder im nichtlinearen Kristall simultan ab. Grundlage dafür ist jedoch die Erfüllung der Phasenanpassungsbedingung. Die erzeugte Welle muss also die gleiche Phasengeschwindigkeit besitzen, wie die erzeugenden Wellen.

Um die Effizienz der Erzeugung der Differenzfrequenz zu steigern, wird im beschriebenen Aufbau ein periodisch gepolter Lithiumniobat-Kristall, LiNbO₃ (PPLN,engl.: periodically poled lithium niobate) verwendet. Dieses Material besitzt ein großes Tensorelement der Nichtlinearität zweiter Ordnung und kann so strukturiert werden, dass sich das Vorzeichen der effektiven Nichtlinearität periodisch ändert. Unter Berücksichtigung der so entstehenden Überstruktur ist eine Quasi-Phasenanpassung möglich [Arm62] für die gilt:

∆k=k_p−k_s−k_i (1.17)

mit der Bedingung

|∆k|=^! 2π

Γ . (1.18)

Dabei entspricht ∆k der Wellenvektorfehlanpassung. Diese setzt sich zusammen aus den Wellenvektoren der Pump- (kp), Signal- (ks) und Idlerwelle⁵ (ki). Γ bezeichnet die Polungs-periode des Übergitters, gebildet durch die periodische Struktur. Zu Beginn des Prozesses der Differenzfrequenzerzeugung besitzt die Idlerwelle noch keine Intensität. Die Auswirkung der Quasi-Phasenanpassung ist in Abbildung 1.11(a) anschaulich dargestellt. In einem nicht angepassten Kristall kehrt sich der Prozess nach der KohärenzlängeL_k=π/|∆k|um und die erzeugte Welle interferiert destruktiv mit den erzeugenden Wellen, sodass keine Erhöhung der Intensität auftritt. Ist bei einem periodisch gepolten Kristall die Länge der Bereiche der Polarisationsrichtung so, dass die Polungsperiode die Bedingung 1.18 erfüllt, baut sich die Intensität entlang des Kristalls weiter auf. Dabei wird ausgenutzt, dass eine Punktspiegelung der Symmetrie einer um π gedrehten Phase für χ⁽²⁾-Prozesse entspricht.

Damit erreicht die Quasi-Phasenanpassung zwar nicht die Effizienz einer vollständigen Phasenanpassung, ermöglicht jedoch die effiziente Ausnutzung von Kristallen, die länger als die Kohärenzlänge sind, um die Gesamtintensität der erzeugten Welle zu steigern.

Aufgrund der niedrigen Leitfähigkeit von Lithiumniobat bei Raumtemperatur können sich im Fokus des eingestrahlten Lichts freie Ladungsträger im Kristall ansammeln, welche zu einer Änderung des Brechungsindex führen. Um einen solchen photorefraktiven Schaden zu verhindern, wird der Kristall mit Magnesiumoxid (MgO) dotiert [Che69], welches zusätzliche Störstellen im Kristall induziert. Außerdem erhöht das Heizen des Kristalls die Mobilität der Ladungsträger, sodass diese einfacher relaxieren. Aus diesem Grund wird der Kristall im vorgestellten Aufbau bei einer Temperatur von etwa 70^◦C betrieben. Die benötigte Polungsperiode wurde unter Berücksichtigung der dielektrischen Funktion von MgO:LiNbO₃

5:idler(engl. für: Faulenzer) – Die Idlerwelle ist typischerweise eine zusätzliche Lichtwelle, die bei nichtlinearen optischen Effekten erzeugt wird.

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Abbildung 1.11: Quasi-Phasenanpassung zur Erzeugung der Differenzfrequenz in einem periodisch gepolten Lithiumniobat-Kristall (PPLN). (a) Anschauliche Dar-stellung der Quasi-Phasenanpassung.L_k ist die Kohärenzlänge des Kristallbereiches einer Polarisationsrichtung (durch rote Pfeile markiert), nach der sich der Prozess umkehrt. Erfüllt die PolungsperiodeΓdie Bedingung 1.18, baut sich Intensität der erzeugten Welle durch den nichtlinearen Prozess auf. (b) Berechnete Polungsperiode zur Differenzfrequenzerzeugung. Grundlage für die Berechnung ist eine Pumpwelle der Wellenlänge 2,0 µm und eine Signalwellenlänge, die entsprechend variiert wird.

Schematisch dargestellt ist zudem der verwendete PPLN mit gefächerter Struktur zur Anpassung der Phasenbedingung. Daten entnommen aus [Kra11b].

bei einer Temperatur von 70^◦C [Pau07] als Funktion der generierten Wellenlänge berechnet.

Das Ergebnis ist in Abbildung 1.11(b) dargestellt. Grundlage ist eine Pumpwelle mit einer Wellenlänge von 2,0 µm und eine Signalwelle, welche entsprechend variiert wird. Für die Erzeugung einer Idlerwelle mit einer Wellenlänge von 1,55 µm ist eine Polungsperiode von 24 µm nötig.