Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 14
Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 13
Dr. Peter Orth and Dr. Una Karahasanovic Besprechung 18.07.2014
1. Kinetic equation
(a) Kinetic equation in the presence of electric field E.
Boltzmann equation in the relaxation time approximation is given by:
∂f
∂t +∂f
∂x.v+ ∂f
∂p.∂p
∂t =−f−f0
τ (1)
The force in the electric field is given byeE= ∂p∂t. For stationary Boltzman equation in the homogeneous electric field, we have that ∂f∂t = 0, and ∂f∂x = 0. Then it follows that
eE.∂f
∂p =−f−f0
τ (2)
(b) Solution of stationary kinetic equation for f1. We start by writing f =f0+f1, with
|f1| f0. The distribution functionf(p,x, t) will deviate fromf0(p,x, t) only ixis changed in the direction of electric field E (i.e. not in the directions perpendicular to E). If we put f = f0+f1 in (2), and neglecting terms of O(E2) (we assumed that the electric field is weak)
eE.∂f0
∂p =−f1
τ , (3)
where we neglected the O(E2) term eE.∂f∂p1. Sincef0 =f0() only, it follows that
∂f0
∂p = ∂f0
∂
∂
∂p
= v.∂f0
∂ (4)
From this it follows that
eE.v∂f0
∂ =−f1
τ , (5)
or
f1 =−τ eE.v∂f0
∂ (6)
(c) Electric current and conductivity. We have that
j=σE= 2e Z
d3pvf = 2e Z
ddΩ
4πν()v(f0+f1). (7) We note that f0 (distribution function in the absence of electric field) is isotropic in space (no preferred direction when E is absent!), hence the above integral over f0v will vanish.
Then it follows that
j=−2e Z
ddΩ
4πvτ eE.v∂f0
∂ (8)
where we have substituted the result from b) forf1. Next, we replace ∂f∂0 =−δ(−F), which then gives us
j = 2e2 Z
ddΩ
4πν()τ δ(−F)(E.v)v
= 2e2τ ν(F)
Z dφdθ
4π sinθ (9)
For simplicity, we set up the coordinate system such that the direction of electric field is alongz axis, i.e. E=Ez. The velocity is given byˆ
v=vF(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ). (10) After substituting this, we get that
j= 2e2τ ν(F)1
3vF2E (11)
and
σ = 2e2τ ν(F)1
3vF2 (12)
Hereν(F) is the density of states at Fermi surface for a specific spin species (there are two spin species – up and down).
2. Station¨are L¨osung der Liouville-Gleichung (25 Punkte, m¨undlich ) Betrachten Sie die klassische Wahrscheinlichkeitsdichteρ(q,p, t), wobeiq= (q1, . . . , q3N) und p = (p1, . . . , p3N) einen Vektor im Phasenraum x = (q,p) definieren. Zeigen Sie
nun mit Hilfe der klassischen Liouville-Gleichung, dass eine Gibbs-Verteilungρ, die nur
¨uber die Energie vonx abh¨angt, station¨ar ist,
∂
∂tρ H(x)
= 0 .
Die klassische Liouville Gleichung (vergleiche QM: von Neumann Gleichung) lautet
∂ρ
∂t =−
ρ, H .
Hierbei bezeichnet {·,·} die klassiche Poisson-Gleichung und nicht etwa den Antikom- mutator. Die Poissonklammer ist folgendermaßen definiert:
A , B =
3N
X
j=1
∂A
∂pj
∂B
∂qj
− ∂A
∂qj
∂B
∂pj
.
Mit Hilfe der Liouville Gleichung erhalten wir
˙
ρ[H(x),p, t] =−{ρ, H}=−
3N
X
j=1
∂ρ
∂pj
∂H
∂qj − ∂ρ
∂qj
∂H
∂pj
=−
3N
X
j=1
∂H
∂qj ∂ρ
∂pj − ∂ρ
∂H
∂H
∂pj
=−
3N
X
j=1
∂H
∂qj ∂ρ
∂pj − ∂ρ
∂pj
= 0.
Die Gibbs-Verteilung ist also zeitlich konstant im Fall dass sie nur ¨uber den Hamiltonien H(x) von den Koordinaten des Phasenraums x abh¨angt.
3. Gibbs-von Neumann Entropie (25 Punkte, m¨undlich ) Betrachten Sie eine quantenmechanische Dichtematrix ρ(q,p, t) mit q = (q1, . . . , q3N) und p = (p1, . . . , p3N). Berechnen Sie die Zeitentwicklung der Gibbs-von Neumann Entropie
SG =−kBTr ρlnρ
f¨ur ein isoliertes System, das durch den (eventuell zeitabh¨angigen) HamiltonoperatorH beschrieben werde. Die Zeitentwicklung der Dichtematrix ist durch die von-Neumann Gleichung gegeben
∂
∂tρ= i
~ ρ, H
.
Interpretieren Sie Ihr Resultat. Hier kann es von Vorteil sein sich eine konkrete (expe- rimentell relevante) Situation vorzustellen bei der sich das System f¨ur Zeiten t < 0 in einem Gleichgewichtszustand bez¨uglich eines Hamiltonoperators H0 befindet und sich der Hamiltonoperator zum Zeitpunkt t= 0 drastisch zu H ¨andert.
F¨ur die Zeitableitung der Gibbs-von Neumann Entropie erh¨alt man S˙G =−kB
Tr
˙ ρlnρ
+ Tr ˙ρ=−ikB
~ Tr ρ, H
lnρ
=−ikB
~ Tr
lnρ, ρ H
= 0,
wobei wir Trρ = 1 ⇒ dtdTrρ = 0 und die zyklische Eigenschaft der Spur verwendet haben. Die Gibbs-von Neumann Entropie ist also zeitlich konstant, selbst in dem Fall dass H explizit von der Zeit abh¨angt und die Zeitentwicklung von ρ irreversibel ist.
Die Gibbs-von Neumann Entropie hat also nur eine physikalische Bedeutung f¨ur den Gleichgewichtszustand des Systems. Sie sagt nichts ¨uber einen Nichtgleichgewichtszu- stand aus.
Ein Beispiel w¨are ein Gas, dass f¨ur Zeiten t < 0 in einem Volumen V0 eingeschlossen ist und sich dort im Gleichgewicht befindet. Zum Zeitpunkt t = 0 vergr¨oßere sich das Volumen sprunghaft zuV1 > V0. Das Gas breitet sich irreversibel im gr¨oßeren Volumen aus, die Gibbs-von Neumann Entropie aber bleibt konstant.
