Abb. 1: Goldener Schnitt
Der Verkürzungsfaktor r zwischen den aufeinanderfolgenden Generationen ist der Kehrwert des Goldenen Schnittes:
r= Φ1 = −1+2 5 ≈0.618 (1)
Der Umriss des Fraktals der Abbildung 2 ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis des DIN-Formates (Walser 2013, S. 24). Die Einzelfiguren sind Strecken.
Abb. 2: DIN-Format
Der Verkürzungsfaktor r zwischen den aufeinanderfolgenden Generationen ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus 2:
r= 1
2 ≈0.707 (2)
Beide Fraktale haben eine T-Verzweigung. Zudem haben wir bei den Ästen eine infini- tesimale Berührung: Weder gibt es eine Überlappung noch einen echten Zwischenraum zwischen den Ästen. Dass man insbesondere bei der Abbildung 2 dennoch einen Zwi- schenraum sieht, hängt damit zusammen, dass in dieser Abbildung nicht das vollständi- ge Fraktal gezeichnet ist (was ja auch gar nicht möglich ist), sondern nur die ersten neun Generationen.
Die Einzelfiguren Quadrat und Strecke können als Sonderfälle von Rhomben gesehen werden. Eine Strecke ist ein zusammengeklappter Rhombus, also ein Rhombus mit dem spitzen Winkel 0°.
3 Weitere Beispiele
Die Abbildungen 3 und 4 zeigen zwei Fraktale mit Rhomben. Es sind ebenfalls T- Fraktale mit infinitesimaler Berührung der Äste.
Beide Fraktale habe ein Umrissrechteck mit dem Seitenverhältnis 1:0.65. Beide Fraktale haben den Verkürzungsfaktor r = 0.65. Die Rhomben der beiden Fraktale haben diesel- be Form. Lediglich die Anordnung innerhalb des Fraktals ist unterschiedlich.
Abb. 3: Fraktal mit Rhomben
Abb. 4: Andere Anordnung
Die Abbildungen 5 und 6 zeigen Varianten zu den Abbildungen 3 beziehungsweise 4.
Es wird nur mit halben Rhomben, also gleichschenkligen Dreiecken, gearbeitet. Die
„unnütze“ Rhomben-Ecke ohne Anschluss wird weggelassen. Der T-Charakter des Fraktals kommt so besser zum Ausdruck.
Abb. 5: Halbe Rhomben
Abb. 6: Halbe Rhomben
Die Abbildung 2 (DIN-Format) gehört zu dieser Kategorie der halben Rhomben. Man kann sich überlegen, was wäre, wenn wir da mit ganzen Rhomben kutschierten.
4 Hintergrund
Wir verwenden die Disposition und die Bezeichnungen der Abbildung 7, welche zwar auf der Abbildung 3 basiert, aber allgemein zu verstehen ist.
Das Umrissrechteck hat die Länge 1 und die Höhe b. Diese Zahl b ist die Schlüsselzahl der Figur. Sie ist gleichzeitig der Verkleinerungsfaktor r = b. Es ist:
0≤b≤1 (3)
Abb. 7: Disposition und Bezeichnungen
Für die eingezeichneten Punkte ergeben sich die Koordinaten:
A
(
12−b2,b2−b3)
, B(
0, b2−p)
, C(
12−b2 +pb, 0)
(4)Der Punkt A liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Somit ist:
xA = 12−b2 ≥0 ⇒ b≤ 12 (5)
Der Grenzfall b= 12 ergibt das DIN-Fraktal der Abbildung 2.
Entscheidend für die infinitesimale Berührung ist die Kollinearität der drei Punkte A, B, C. Dies führt auf die Bedingung:
−b3+p
12−b2 =−12b−bbp 3 (6)
C
−b2
12
−12
Bei gegebenem b ist (6) eine quadratische Gleichung für p. Sie hat die beiden Lösun- gen:
p1=12b3+12 b6−4b4 +4b2−1, p2 =12b3−12 b6−4b4 +4b2−1 (7)
Für reelle Lösungen darf der Radikand in (7) nicht negativ sein. Die Abbildung 8 zeigt den Funktionsgrafen für:
Radikand :b!b6−4b4 +4b2−1, b∈
[ ]
0,1 (8)Abb. 8: Radikand
Die Nullstellen sind:
n1= Φ1 = −1+2 5 ≈0.618, n2 =1 (9)
Aus (3), (5) und (9) ergibt sich für b der zulässige Bereich:
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathema- tikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3- 937219-85-1.
