Mathematische Grundlagen, WS 2013/14

HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN INSTITUT F ¨UR PHYSIK

Mathematische Grundlagen, WS 2013/14

Vorlesung: Prof. Dr. L. Schimansky-Geier

Ubungen: S. Christ, J. Kromer, B. Sonnenschein, Dr. A. Straube¨

URL: http://people.physik.hu-berlin.de/˜straube(→Teaching→WS 2013/14 Mathe)

Ubungsblatt 10: Vektoranalysis, Koordinatentransformation¨

Ausgabe: 12.12.2013 Abgabe: ¨U 19.12; 20.12 Besprechung: ¨U Do 09.01; ¨U Fr. 10.01

1. Aufgabe (6 Punkte) Faltungen des Levi-Civita-Symbols (Epsilon-Tensors) Beweisen Sie die folgenden Indentit¨aten:

a) X

i

ε_ijkε_imn =δ_jmδ_kn−δ_jnδ_km, b) X

ij

ε_ijkε_ijn= 2δkn, c) X

ijk

ε_ijkε_ijk= 6.

Hinweis: Wenden Sie die Beziehung

ε_ijkε_lmn =

δ_il δ_im δ_in δ_jl δ_jm δ_jn δ_kl δ_km δ_kn

an, die die Zusammenhang zwischen Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta liefert.

2. Aufgabe (6 Punkte) Vektoridentit¨aten Beweisen Sie die folgenden Indentit¨aten:

a) (A×B)² =A²B²−(A·B)²,

b) (A×B)·(C×D) = (A·C)(B·D)−(A·D)(B·C), c) A×(B×C) =B(A·C)−C(A·B),

d) A×(B×C) +B×(C×A) +C×(A×B) = 0 (Jacobi−Identit¨at). 3. Aufgabe (3 Punkte) Koordinatentransformation

Die Koordinatentransformation ist durch x^′_i =X

j

d_ijx_j

gegeben. Zeigen Sie, dass die R¨ucktransformation x_i =X

j

d_jix^′_j

aus der Forderung r^′ = r folgt. Hier sind r^′ = (x^′1, x^′2, x^′3) und r = (x¹, x2, x3) die Vektoren im neuen und im alten Koordinatensystemen.