Mathematische Grundlagen, WS 2013/14

HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN INSTITUT F ¨UR PHYSIK

Mathematische Grundlagen, WS 2013/14

Vorlesung: Prof. Dr. L. Schimansky-Geier

Ubungen: S. Christ, J. Kromer, B. Sonnenschein, Dr. A. Straube¨

URL: http://people.physik.hu-berlin.de/˜straube(→Teaching→WS 2013/14 Mathe)

Ubungsblatt 8: Bestimmtes Integral und Deltafunktion¨ Ausgabe: 28.11.2013 Abgabe: ¨U Do 05.12; ¨U Fr. 06.12

1. Aufgabe (2 Punkte) Bestimmtes Integral Bestimmen Sie die folgenden Integrale

a)

Z T /4

0

acos(ωt)dt , b) Z ^∞

0

xexp(−x)dx ,

2. Aufgabe

(a) Zeigen Sie explizit am folgenden Beispiel (6 Punkte)

F(α) = Z 1

0

arctanx α

dx ,

dass Differentiation und Integration vertauschbar sind.

Hinweis: Vergleichen Sie dazu die Ableitung des bestimmten Integrals^dF_dα^(α) mit dem Ergebnis des bestimmten Integrals f¨ur ^∂arctan(x/α)

∂α .

(b) Beweisen Sie die Relation (fakultativ, wird nicht bewertet)

d dy

b(y)

Z

a(y)

f(x, y)dx=

b(y)

Z

a(y)

∂f(x, y)

∂y dx+ db(y)

dy f(b(y), y)−da(y)

dy f(a(y), y).

3. Aufgabe (8 Punkte)

Berechnen Sie die bestimmten Integrale

(a)

Z π/2

0

√ dx

2 + sinx,

mittels der Substitution x= 2 arctanz, sowie

(b)

Z ln(3/5)

−∞

dx sinhx

unter Verwendung vonx= 2 atanhz. Beachte auch dass atanh(3/5) = ln 2.

[bitte wenden]

4. Aufgabe (fakultativ, wird nicht bewertet; in der ¨Ubung zu besprechen) Deltafunktion (a) Zeigen Sie, dass

δǫ(x) = lim

ǫ→0

1 π

ǫ ǫ²+x² eine Darstellung der Deltafunktion ist.

(b) Beweisen Sie ferner die Relation

δ(ax) = 1

|a|δ(x).

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