Hans Walser, [20181014] Verdrehter Würfel 1 Motivation Im Tessin finden sich auf einigen Dächern Schornsteine mit einer Verdrehung oder ei-nem Drall. Die Abbildung 1 zeigt eine schematisierte Darstellung.

Hans Walser, [20181014]

Verdrehter Würfel 1 Motivation

Im Tessin finden sich auf einigen Dächern Schornsteine mit einer Verdrehung oder ei- nem Drall. Die Abbildung 1 zeigt eine schematisierte Darstellung.

Abb. 1: Schornstein mit Drall

Die Abbildung 2 zeigt ein Architekturmodell mit derselben Grundidee. Es handelt sich um eine Arbeit der Studierenden V. C. und A. P., ETH Zürich, 2018.

Abb. 2: Architekturmodell

2 Problemstellung

Die Abbildung 3 zeigt einen Würfel sowie einen verdrehten Würfel

Abb. 3: Würfel und verdrehter Würfel

Die Abbildung 4 zeigt weitere Stufen der Verdrehung.

Abb. 4: Weitere Verdrehungen

Frage: Wie groß sind Volumen und Oberfläche der verdrehten Würfel?

3 Bearbeitung 3.1 Volumen

Das Volumen all dieser Würfel ist gleich. Dies folgt aus dem Prinzip von Cavalieri, wie es auch in den Abbildungen 1 und 2 angedeutet ist.

3.2 Oberfläche

Die Mantelfläche wird mit zunehmender Verdrehung größer.

3.2.1 Flächenberechnung

Für den Würfel wählen wir das kartesische Koordinatensystem so, dass der Würfel ach- senparallel ist und zwei diametrale Ecken mit den Koordinaten

(

−1,−1,−1

)

^und

(

^1,1,1

)

hat. Eine Seitenfläche des Würfels hat dann den Flächeninhalt 4.

Ein Viertel der Mantelfläche, zum Beispiel das blaue Teilstück der Abbildungen 3 und 4, kann in diesem Koordinatensystem so parametrisiert werden:

x u,!

( )

v ⁼

cos

( )

k^π₄u ^−vsin

( )

^kπ4u sin

( )

k^π₄u ^+vcos

( )

^kπ4u

u−1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

, u=

[ ]

0,2 ^{,v∈ −1,1}

[ ]

⁽¹⁾

Dabei gibt k den Verdrehungsgrad an. Für k = 0 erhalten wir den unverdrehten Würfel, für k > 1 ist der Deckel gegenüber dem Boden um k^π₂ verdreht.

Für die Flächenberechnung benötigen wir die partiellen Ableitungen

x!_u = ^{∂x u,v!}( )

∂u =

−k^π₄sin

( )

k^π₄u ^−vkπ4cos

( )

k^π₄u k^π₄cos

( )

k^π₄u ^−vkπ4sin

( )

k^π₄u

1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

(2)

und:

x!_v= ^{∂x u,v!}( )

∂v =

−sin

( )

k^π₄u cos

( )

k^π₄u

0

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

(3)

Damit erhalten wir die erste Fundamentalform

g_1,1=! x_u⋅!

x_u =k^{2 π}₁₆² +v²k^{2 π}₁₆² +1 g_1,2 =!

x_u⋅! x_v=k^π₄ g_2,2 =!

x_v⋅! x_v =1

(4)

und:

g=det

( )

g_i,j ^=v2k16^2π2 +1 (5) Für den Flächeninhalt S(k) eines Viertels der Mantelfläche, eben zum Beispiel das blaue Teilstück, ergibt sich in Abhängigkeit von k:

S k

( )

^{= gdudv}

−1 1

∫

−1

1

∫

^{= 14 v2k2π2+16 dudv}

−1 1

∫

−1

∫

1

= _2kπ^{1 ⎛⎝⎜}kπ π²k²+16+8 ln

(

π²k²+16

)

^{−8 ln}

(

^{π2k2+16−kπ}

)

^{⎞⎠⎟ (6)}

Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Werte.

k S(k) S(k)/k

0 4 -

1 4.379694176 4.379694176 2 5.294609404 2.647304702 3 6.470958993 2.156986331 4 7.779390908 1.944847727 5 9.162361745 1.832472349 6 10.59145114 1.765241857 7 12.05112431 1.721589187 8 13.53217714 1.691522142 9 15.02880150 1.669866833 10 16.53714424 1.653714424 11 18.05454378 1.641322162 12 19.57909939 1.631591616 13 21.10941543 1.623801187 14 22.64444266 1.617460190 15 24.18337611 1.612225074 16 25.72558732 1.607849208 17 27.27057798 1.604151646 18 28.81794763 1.600997091 19 30.36737052 1.598282659 20 31.91857872 1.595928936 100 157.2211346 1.572211346 1000 1570.816339 1.570816339 10000 15707.96586 1.570796586

Tab. 1: Numerische Werte

3.2.2 Feststellungen

Der Flächeninhalt divergiert mit wachsendem k. Der Quotient zu k nähert sich dem Wert ^π₂ ≈1.570796327.

3.2.3 Begründung Der Grenzwert

k→∞lim

S k( )

k = ^π₂ (7)

kann mit CAS bewiesen werden.

Er kann aber auch eingesehen werden wir folgt.

Die Abbildung 5 zeigt die Situation für k = 12. Die blaue Fläche macht insgesamt drei Runden. Die Anzahl der Runden ist allgemein ^k₄.

Abb. 5: Drei Runden

Die Abbildung 6 zeigt die Situation (ohne Deckel und Boden) von vorne und von oben.

Abb. 6: Sicht von vorne und von oben

Die blaue Fläche erscheint als schraubenlinienförmige Kannelierung oder Auskehlung.

Der Innenradius ist 1, der Außenradius 2. Ein Kreisring mit diesen Dimensionen hat den Flächeninhalt π. Die Kannelierung hat pro Runde oben und unten je einen Flä- cheninhalt, die näherungsweise der Ringfläche entspricht. Die gesamte blaue Fläche hat also approximativ den Flächeninhalt:

k

42π= ^kπ₂ (8)

Der Quotient zu k wird also näherungsweise

k 42π

k = ^π₂ (9)

Da die Approximation mit wachsendem k immer besser wird, ergibt sich erneut der Grenzwert (7):

k→∞lim

S k( )

k = ^π₂ (7)