Hans Walser, [20141211]
Eckige Spirale
1 Rekursive Definition mit Crossprodukt Wir definieren eine Vektorfolge rekursiv wie folgt:
Startvektoren:
v!1= 1 0 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
, v!2 = 0 1 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥ Rekursion (Erinnerung an die Fibonacci-Rekursion):
v!n+1= ! vn×!
vn−1 Wir erhalten der Reihe nach:
v!1= 1 0 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
, v!2 = 0 1 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
, v!3= 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥ , !
v4 = 1 0 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
=!
v1, v!5 = 0 1 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
= ! v2 Wir erhalten eine periodische Folge mit der Periodenlänge 3:
v!n+3= ! vn
Die Abbildung 1 zeigt die ersten neun Vektoren der Folge als Vektorzug. Der schwarze Einheitswürfel ist zur räumlichen Orientierung eingezeichnet.
Abb. 1: Vektorzug
Die Vektoren bilden eine eckige Spirale mit Rechtsgewinde.
Die Spirale läuft auf einem Dreikant mit einem gleichseitigen Dreieck als Querschnitt (Abb. 2).
x y z
v1 v2
v3v4 v5
v6 v7 v8 v9
Abb. 2: Dreikant 2 Modellierung mit Würfeln
2.1 Kantenlänge zwei
Die Abbildung 3 zeigt eine Modellierung mit Würfeln. Dabei sind in jeder Richtung jeweils zwei Würfel verwendet worden. Die Vektoren der Abbildung 2 verlaufen je- weils von Würfelmitte zu Würfelmitte. Sie sind also gleich lang wie die Würfelkante.
Abb. 3: Modellierung mit Würfeln
Die Abbildung 4 zeigt das Foto eines entsprechenden Papiermodells (Flechtmodell).
x y z
v1 v2
v3v4 v5
v6 v7 v8 v9
Abb. 4: Papiermodell Die Spiralachse verläuft durch die Würfel hindurch.
2.2 Kantenlänge vier 2.2.1 Eine Spirale
Damit die Spiralachse nicht durch die Würfel verläuft, muss mit Kantenlänge vier gear- beitet werden (Abb. 5). Die Vektoren sind gleich lang wie die dreifache Würfelkante.
Abb. 5: Spiralachse
Die Spiralachse (rot in Abbildung 5) geht haarscharf an den Würfeln vorbei.
2.2.2 Zwei Spiralen
Nun kann auch noch eine zweite kongruente Spirale eingefügt werden (Abb. 6). Sie ist gegenüber der ersten Spirale um 120° verdreht.
Abb. 6: Zwei Spiralen 2.2.3 Drei Spiralen
Schließlich kann auch eine dritte Spirale eingebaut werden (Abb. 7). Im Innern der Fi- gur hat es würfelförmige Hohlräume, in denen die Spiralachse durchgeht. Solche Hohl- räume sind in der Abbildung 6 erkennbar.
Abb. 7: Drei Spiralen Die drei Spiralen sitzen fest ineinander.
Die Abbildung 8 zeigt ein Papiermodell.
Abb. 8: Papiermodell
Da die drei Spiralen fest ineinander sitzen, mussten sie vor Ort gleichzeitig aufgebaut werden.
3 DNA
Die Abbildung 6 mit den zwei um 120° verdrehten Spiralen erinnert an die DNA- Spirale (Abb. 9).
Abb. 9: DNA
Auch hier könnte rein geometrisch eine dritte Spirale eingefügt werden (Abb. 10).
Abb. 10: Dritte Spirale
