Hans Walser, [20131217] Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke 1 Einführung Die Abbildung 1 zeigt das üblich hexagonale Parkett (Bienenwabenmuster).

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Hans Walser, [20131217]

Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke 1 Einführung

Die Abbildung 1 zeigt das üblich hexagonale Parkett (Bienenwabenmuster).

Abb. 1: Bienenwabenmuster Die Abbildung 2 zeigt eine Verzerrung dieses Parketts.

Abb. 2: Verzerrung

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Das Parkett der Abbildung 3 besteht aus denselben Parkettsteinen wie das bei der Ab- bildung 2, ist aber auf den ersten Blick weniger regelmäßig.

Abb. 3: Andere Anordnung der Parkettsteine

Die Parkette in den Abbildungen 2 und 3 sind topologisch allerdings gleich.

2 Ausführungen zur Einführung

Bei der Verzerrung vom Übergang vom Parkett der Abbildung 1 zum Parkett der Ab- bildung 2 handelt es sich nicht um eine affine Abbildung. Die Abbildung 4 zeigt, wie die rote Symmetrieachse zu einer leichten Zickzack-Linie gebrochen wird. Das affine Bild einer geraden Linie müsste aber wieder gerade sein.

Abb. 4: Bruch der Symmetrieachse. Keine affine Abbildung

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Das Parkett der Abbildung 3 besteht wohl aus den „gleichen“ Parkettsteinen wie das der Abbildung 2. Allerdings müssen einige Parkettsteine gewendet werden. In der Abbil- dung 5 sind diese gewendeten Parkettsteine gelb angegeben. Sie sind spiegelbildlich zu den grünen Parkettsteinen.

Abb. 5: Die gelben Parkettsteine sind spiegelbildlich zu den grünen Wir sehen nun, dass das Parkett der Abbildungen 3 beziehungsweise 5 eine dreistrahli- ge Rotationssymmetrie aufweist. Demgegenüber weist das Parkett der Abbildung 2 eine durchgehende Translationssymmetrie auf.

3 Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

Ein gleichseitiges punktsymmetrisches Sechseck (Abb. 6) ist (bei gegebener Seitenlän- ge) durch 2 Winkel bestimmt.

Abb. 6: Gleichseitig punktsymmetrisches Sechseck Bei Vorgabe von zum Beispiel α₁ und α₂ wird:

α₃=2π−α₁−α₂; α₄ =α₁; α₅ =α₂; α₆ =α₃ =2π−α₁−α₂ A₁

A₂

A₃

A₄

A₆

A₅

1 2

3 4

5 6

M

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Im Beispiel der Abbildung 6 ist α₁=α₄ =100°,α₂ =α₅ =110°,α₃=α₅ =150° . Sechsecke dieser Art können immer für ein Parkett mit Translationssymmetrie verwendet werden (Abb. 7). Wir werden diese Parkette daher im Folgenden nicht mehr erwäh- nen.

Abb. 7: Translationssymmetrie

Mit der Bedingung α₆ =α₂ erhalten wir für unser Sechseck einen achsensymmetri- schen Sonderfall (Abb. 8).

Abb. 8: Achsensymmetrischer Sonderfall Wir haben dann nur noch α₁ als freien Parameter und es ist:

α₂ =π−¹₂α₁ A₁

A₂

A₃

A₄

A₆

A₅

1 2

3 4

5 6

M

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4 Sonderfälle

Wir werden nun Sonderfälle ansehen, in welchen α₁ und/oder α₂ Teiler des vollen Winkels 2π=360° sind. Die Auflistung ist weder systematisch noch vollzählig (es gibt ja unendlich viele Teiler des vollen Winkels).

4.1 Hälfte des vollen Winkels

Es ist also α₁=π=180°. Das Sechseck wird zu einem Parallelogramm mit dem Sei- tenverhältnis 2 : 1.

4.1.1 Symmetrischer Fall

Wenn dieses Parallelogramm zusätzlich ein Rechteck ist (achsensymmetrischer Fall), gibt es viele Möglichkeiten, die auch in der Praxis verwendet werden. Im Folgenden einige Beispiele.

Abb. 9: Punktsymmetrie

Abb. 10: Klassisch

Abb. 11: Fischgrat

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Die Abbildung 12 zeigt ein Parkett mit vierteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 12: Vierteilige Rotationssymmetrie 4.1.2 Allgemeiner Fall

Die Abbildungen 13 bis 15 zeigen die den Abbildungen 9 bis 11 entsprechenden Bei- spiele für ein beliebiges Parallelogramm. Nun müssen wir auch mit spiegelbildlichen Parallelogrammen arbeiten.

Abb. 13: Punktsymmetrie

Abb. 14: Klassisch

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Abb. 15: Fischgrat 4.1.3 Sonderfälle

4.1.3.1 Fünfteilig

Wir wählen nun zusätzlich α₂ = ^2π₅ =72°. Damit können wir eine fünfteilige Rotati- onssymmetrie erreichen (Abb. 16).

Abb. 16: Fünfteilige Rotationssymmetrie

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4.1.3.2 Tetraeder-Netz

Wir wählen nun α₂ = ^2π₆ =60°. Das Parallelogramm kann in vier gleichseitige Drei- ecke zerlegt werden und ist dann ein Netz (Abwicklung, Schnittmuster) des regulären Tetraeders (Abb. 17).

Abb. 17: Tetraeder Die Abbildung 18 zeigt die drei möglichen Tetraeder-Netze.

Abb. 18: Tetraeder-Netze

Das Parallelogramm erlaubt verschiedene Parkette. Im Folgenden einige Beispiele. Die Beispiele können als unendliche Überlagerung des Tetraeders gesehen werden.

Abb. 19: Dreiteilige Rotationssymmetrie

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Abb. 20: Sechsteilige Rotationssymmetrie

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Abb. 22: Würfelmuster

Abb. 23: Tante Annas Küchenboden 4.2 Drittel des vollen Winkels

Nun ist α₁= ^2π₃ =120°. Wir können auf jeden Fall ein Parkett mit dreiteiliger Rotati- onssymmetrie auslegen.

Im symmetrischen Fall ist auch α₂ = ^2π₃ =120°, das Sechseck ist regelmäßig und wir erhalten das klassische hexagonale Parkett der Abbildung 1.

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4.2.2 Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall können wir ein Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie gemäß den Abbildungen 3 und 5 auslegen.

4.2.3 Sonderfälle 4.2.3.1 Rechter Winkel Nun sei α₂ ein rechter Winkel.

Die Abbildung 24 zeigt das Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie.

Im Parkett der Abbildung 25 haben wir eine vierteilige Rotationssymmetrie.

Abb. 25: Vierteilige Rotationssymmetrie 4.2.3.2 Fünftel des vollen Winkels

Mit α₂ = ^2π₅ =72° können wir eine fünfteilige Drehsymmetrie erarbeiten (Abb. 26).

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Abb. 26: Fünfteilige Rotationssymmetrie 4.2.3.3 Sechstel des vollen Winkels

Der Fall α₂ = ^2π₆ =60° entspricht inhaltlich dem Parallelogramm des Tetraeder-Netzes (Abschnitt 4.1.3.2).

4.2.3.4 Siebtel des vollen Winkels

Der Winkel α₂ =^2π₇ ≈51.4286° lässt sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Und er führt auf ein nicht konvexes Sechseck. Die Abbildung 27 zeigt das zugehörige Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie, die Abbildung 28 den Fall mit siebenteili- ger Rotationssymmetrie.

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Abb. 28: Siebenteilige Rotationssymmetrie 4.2.3.5 Achtel des vollen Winkels

Mit α₂ = ^2π₈ =45° ergeben sich ebenfalls nicht konvexe Parkettsteine.

Abb. 29: Achtteilige Rotationssymmetrie

Interessanterweise unterliegen wie bei diesen nicht konvexen Beispielen einer optischen Täuschung: die Sechsecke sind scheinbar nicht mehr gleichseitig. In der Abbildung 30a erscheint etwa die Seite a6 deutlich länger als die Seite a5. Abgreifen mit dem Zirkel bestätigt aber die gleiche Länge aller sechs Seiten.

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Abb. 30: Gleichseitiges Sechseck?

4.3 Viertel des vollen Winkels Nun sei α₁ ein rechter Winkel.

Die Abbildung 31 zeigt den Parkettstein des symmetrischen Falls. Das Sechseck kann so unterteilt werden, dass es ein Netz eines unregelmäßigen Tetraeders wird. Dieses Tetraeder ist ein so genanntes Orthoschem. Es ist die konvexe Hülle dreier aufeinander- folgender paarweise orthogonaler Strecken gleicher Länge.

Abb. 31: Netz des Orthoschems

Das Orthoschem kann in einen Würfel eingepasst werden (Abb. 32).

Abb. 32: Orthoschem im Würfel a₁

a₂

a₃ a₄

a₅ a₆

a) b)

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Die Abbildung 33 zeigt das zugehörige Parkett mit vierteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 33: Symmetrien des Quadrates 4.3.2 Asymmetrisches Beispiel

Wir wählen α₂ = ^2π₁₃ ≈27.6923°. Das gestattet ein Parkett mit vierteiliger Rotations- symmetrie (Abb. 34) oder ein Parkett mit 13-teiliger Rotationssymmetrie (Abb. 35).

Abb. 34: Vierteilige Rotationssymmetrie

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Abb. 35: 13-teilige Rotationssymmetrie

Der Vergleich der Abbildungen 34 und 35 zeigt, dass die Figuren beide aus den gleichen Sektoren der Abbildung 36 zusammengesetzt sind.

Abb. 36: Sektor

In der Abbildung 34 haben wir vier Sektoren, die am „dicken“ Ende (links in der Abbil- dung 36) verbunden sind, in der Abbildung 35 aber 13 Sektoren, die am schmalen Ende (rechts in der Abbildung 36) verheftet sind. Die roten Punkte liegen in den jeweiligen Zentren der Figuren.

Websites Orthoschem:

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthoschem/Orthoschem.htm http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthoschem/Orthoschem.pdf