Aufgabe 20: Kugelkondensator

Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik)

Sommersemester 2008 Übungsblatt Nr. 6

Aufgabe 20: Kugelkondensator

a) Über den Gauß'schen Satz folgt für die Feldstärke eines Kugelkondensators für r_irr_a :

= ∫

O

E dA= E⋅4  r

= Q



 E = 1 4 

Q r

 U =− ∫

ra

r_i

E dr= [ ^{4  Q}

1 r ]

ri

= Q

4 

 ^{r 1}

^{− r 1}



 Q= U 4 

1 r

− 1

r

= 6,67 ⋅ 10

C

 C = Q

U = 4 

1 r

− 1 r

=3,35 ⋅ 10

F

b)

E

= 1

4  

Q

r

=240980 N C E

= 1

4 

Q

r

=167347 N C

c)

lim

ra∞

C= lim

ra∞

4 

1 r

− 1

r

= 4 

1 r

=4  

r

=5,56 F

d) (i) Betrachte U:

U = Q 4 

 ^{r 1}

− 1 r



 U = Q

4 

r

 ^r

^{− r r}

 ^{= E r}

^⋅  ^r

^{− r r}

 ^=E⋅  ^r

^{− r r}



Berechne Maximum für

U

r

dU

d r

=E⋅  ^{1−2 r r}

 ^{=0  1−2 r r}

= 0 ⇔ r

= 1

2 r

=3 cm

(ii) Daraus folgt für die Spannung

U

 U = E⋅  ^r

^{− r r}

 ^{=45000 V =45 kV}

A 21: Die Erde als Kugelkondensator

C = 4 

r

= 4 

r

=4 

⋅ 6378000 m=709⋅ 10

F

(i)

E= 1

4  

Q

r

2=588119C

 U = Q

C =8,29 ⋅ 10

V

(ii) Die Ladung Q bleibt gleich (folgt aus Gauß'schen Satz und konstanter Feldstärke), die Kapazität C ist nun jedoch wieder :

 C = Q

U = 4 

1 r

− 1

r

= 4 

1

6378000 − 1 6388000

=0,45 F

 U = Q

C ≈ 1,3 ⋅ 10

V

A 22: Plattenkondensator

a) Berechne die Feldstärke über den Gauß'schen Satz:

∫

O

E dA= E⋅A

= Q



U = ∫ ^{E ds= E⋅d}

 C = Q

U = 

E A E d =

A

d = 5,31 ⋅ 10

F

Q=C⋅ U =5,31 ⋅ 10

F⋅ 12 V =6,372 ⋅ 10

C

c)

E = U

d =12 V

0,001 m=12.000 V

A C⋅d 1 F⋅0,001 m

A 23: Plattenkondensator mit Dielektrikum

Die Kapazität des Kondensators ohne Dielektrikum ist zu Beginn, also ohne Flüssigkeit:

C

=

A

d =

a⋅ b d

Daraus folgt für die Energie des Kondensators:

E

= 1

2 C U

= 1 2 

a ⋅b

d U

Wenn nun unten ein Dielektrikum hochsteigt, so haben wir eine Parallelschaltung von Plattenkondensatoren, wobei:

dC_OD=₀a−dh⋅b

d

dC

=



dh ⋅ b d

 dC

=dC

 dC

= 

b

d  ^{a− dh}

dh 

 dE

= 1

2 dC

U

= 1 2



b

d a− dh

dhU

dE

=dE

− E

= 1 2



b dh

d 

−1U

dE

=m g dh = V g dh= b d h g dh

Nun stellt sich ein Gleichgewicht ein, wenn die beiden Energien gleich sind, also die zusätzliche im Kondensator gespeicherte Energie genau der Energie entspricht, durch die die Flüssigkeit angehoben wird.

dE

= 1 2



b dh

d 

−1U

= b d h g dh= dE

 h= 1 2



 g d



−1U

≈ 13 mm

b) Da die Spannungsquelle abgeschlossen wird, ist die Ladung auf den Platten konstant. Auch die Kapazität ändert sich nicht, da sie nur von der Höhe der Flüssigkeit, dem Abstand der Platten und der Fläche der Platten abhängt. Damit ist auch die Spannung und damit auch die Energie des Systems konstant und weiterhin damit auch die Kraft auf die Flüssigkeit und damit auch die Höhe derselben.

A24: Kapazitätsnetzwerk

a) Wir müssen im Folgenden immer betrachten, dass es von einem Punkt zu einem anderen immer 2 Wege gibt, daher haben wir immer eine Parallelschaltung. Zusätzlich haben wir den einzelnen Wegen oft auch noch Reihenschaltungen:



AB:

1 C

= 1

C

 1 C

 1

C

=10

1

F  C

=10

F C

=C

C

=1,75 ⋅ 10

F



AC:

1 C

= 1

C

 1

C

= 666.666,67 1

F  C

=1,5 ⋅ 10

F 1

C

= 1 C

 1

C

=1.666.666,67 1

F  C

=6 ⋅ 10

F C

=C

C

=2,1 ⋅ 10

F



AD:

1 C

= 1

C

 1 C

 1

C

 C

=5,2 ⋅ 10

F C

=C

 C

= 2,92 ⋅ 10

F



BC:

1 C

= 1

C

 1 C

 1

C

C

=C

C

= 3,5 ⋅ 10

F



BD:

1 C

= 1

C

 1

C

 C

=5,7 ⋅ 10

F 1

C

= 1 C

 1

C

C

=C

C

=2,28 ⋅ 10

F



CD:

1 = 1

 1

 1

C =4,8⋅10⁻⁷F

b) Strecke ABC: Aus der nebenstehenden Skizze können wir einiges ablesen. Zunächst ist die Ladung zwischen den beiden Kondensatoren gleich 0, da dorthin keine Ladungen von der Quelle fließen. Damit folgt:

−q₁q₂=0 q₁ =q₂=q Desweiteren gilt:

U =U

U

= q C

 q

C

=q ⋅  ^{C 1}

^{ C 1}



 q= U 1 C

 1

C

=U⋅ C

= 6 ⋅ 10

F⋅20 V =1,2 ⋅ 10

C

 U

= q

C

=16 V

Analog kann man dies nun mit der Strecke ADC machen:

q =U⋅ C

=3 ⋅ 10

C

 U

= q

C

=12,5 V

Daraus folgt für die Potentialdifferenz zwischen den Punkten B und D:

 U =16 V −12,5 V = 3,5V