Zwei-Teilchen Operatoren:

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Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der

f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 11

Dr. S. Rachel 7.7.2009

1. Zweite Quantisierung:

Für Einteilchen-Operatoren gab es zwei mögliche Matrixelemente, diagonale und nicht- digaonale. Für Zweiteilchen-Operatoren gibt es hingegen mehrere diagonale und nicht- diagonale Matrixelemente.

Fangen wir aber noch mal mit den Einteilchenoperatoren an. Wir haben die Einteil- chenzust¨andeφi(x), wobei idie Quantenzahl (z.B. Impuls) und x die Koordinate (z.B.

Ort) bezeichnet. Der symmetrische Produktzustand wird dann als Ψs(N1, N2, . . .) =

rN1!N2!. . . N!

X

P∈S_N^⋆

hφ_P₍₁₎(1)φ_P₍₂₎(2). . . φ_P_(N)(N)i

und der antisymmetrische Produktzustand als Ψa(N1, N2, . . .) = 1

√N! X

P∈SN

(−1)^χ^Ph

φP(1)(1)φP(2)(2). . . φP(N)(N)i

geschrieben. χP ist gerade für eine gerade Permutation und ungerade für eine ungerade Permutation. In dieser Notation sind die großen Zahlen als Abkürzung für die Koor- dinaten zu verstehen, z.B. 3 ≡ x3. Nicht verwirrt sein, die Zahlen bei (bspw.) P(3) bezeichnet eine Permutation der Quantenzahl an der Positiona = 3.

Das Skalarprodukt ist wie ¨ublich in der Quantenmechanik definiert, testen wir dies an der Norm (und testen die Normiertheit der Produktzust¨ande):

hΨa|Ψai = Z

d1 Z

d2. . . Z

dN Ψ^⋆_a(N1, N2, . . .) Ψa(N1, N2, . . .)

= 1 N!

X

P∈SN

(−1)^χ^P X

P˜∈SN

(−1)^χ^P^˜ Z

d1φ^⋆_P₍₁₎(1)φP(1)˜ (1)

| {z }

=1,wenn P(1)= ˜P(1)

Z

d2φ^⋆_P₍₂₎(2)φP˜(2)(2)

| {z }

=1, wenn P(2)= ˜P(2)

. . .

Wegen der Normiertheit und Orthogonalit¨at der Einteilchenzust¨ande erhalten wir also δ_P,P˜, was uns die hintere Summe erledigt. Desweiteren wird aus (−1)^χ^P(−1)^χ^P^˜ = (−1)^2χ^P = 1. Die Summe P

P∈SN entspricht nun gerade der Anzahl aller Elemente der symmetrischen GruppeSN und, wer hätte es gedacht, das sind genauN! Elemente. Wir finden also hΨa|Ψai = 1. Wie üblich in der Physik sind wir aber zu faul, die ganzen Integrale und Indizes auszuschreiben und führen die übliche Notation ein:

Z

dXφ^⋆_P_(i)(X)φP˜(j)(X)≡ hP(i)|P˜(j)i .

(2)

Berechnen wir dasselbe nochmal schnell f¨ur den bosonischen Zustand:

hΨs|Ψsi = N1!N2!. . . N!

X

P,P˜

hP(1)|P˜(1)ihP(2)|P˜(2)i. . .

| {z }

δ_P,P˜

= N1!N2!. . . N!

X

P

= N1!N2!. . . N!

N!

N₁!N₂!. . . = 1

Bleibt also die Frage, warum wir dieses mal nicht einfach wieder N! geschrieben haben f¨ur die Summe ¨uber alle Permutationen. Der Grund ist, dass man nur “erlaubte”

Permutationen betrachten darf (eine nicht erlaubte Permutation wäre es, wenn zwei Zustände i und i^′ identisch sind und wir permutieren würden). Für Fermionen kann es so eine Situation wegen des Pauli-Prinzips natürlich nicht geben! Um nur die erlaubten Permutationen mitzuzählen, dividiert man diese wieder raus, indem man die Fakultäten der Besetzungszahlen in den Nenner schreibt. Da die Gruppe der “erlaubten” Permu- tationen natürlich nicht mehr SN ist, haben wir in der Definition von Ψs “P ∈ S_N^⋆” geschrieben. Der Vorfaktor bei diesem Produktzustand war also sinnvoll gewählt. Im folgenden schreiben wir einfach

Ψs/a(N1, N2, . . .)

≡ |N1, N2, . . .i und sagen immer dazu, ob wir Fermionen oder Bosonen betrachten.

Nun fangen wir aber endlich mit Einteilchenoperatoren an, zuerst die Diagonalelemente f¨ur Bosonen. Es gilt ja

hF⁽¹⁾i = XN

a=1

hf_x⁽¹⁾_a i

daher berechnen wir jetzt erstmal nur das Matrixelement vonf⁽¹⁾.

hN1, N2, . . .|f_x⁽¹⁾_a |N1, N2, . . .i = N1!N2!. . . N!

X

P,P˜

hP(1)|P˜(1)i. . .hP(a)|f_x⁽¹⁾_a |P˜(a)i. . .

= N1!N2!. . . N!

X

P

hP(a)|f_x⁽¹⁾_a |P˜(a)i

Im letzten Schritt ist folgendes passiert: Der Operator sitzt bei der Position a, für alle anderen Teilchen passiert gar nichts. Wegen der Orthonormiertheit der Einteilchen- zustände muss geltenP(1) = ˜P(1), P(2) = ˜P(2) etc. Nur für P(a) und ˜P(a) muss das nicht gelten, denn f⁽¹⁾ ist ja nicht notwendigerweise diagonal in denφi(X). Allerdings:

wenn P = ˜P f¨ur alle bis auf eine der Zahlen 1. . . N gilt, dann liegt auch diese letzte Zahl fest:P(a) = ˜P(a), also gilt dochP = ˜P f¨ur alle 1. . . N.

Und so geht es jetzt weiter: eine PermutationP bauen wir auf, indem wir f¨uri=P(a) eine der Quantenzahlen 1, . . . , N w¨ahlen, das ergibt eine Summe PN

i=1. Jetzt läuft die Summe über alle Permutationen also nur noch über die verbliebenen N − 1 Zahlen, das ergibt (N −1)! identische Beiträge, allerdings müssen wir wieder die “falschen”

Permutationen rausdividieren. Hierbei muss man beachten, dass von den urspr¨unglichen

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Ni Teilchen imi-ten Zustand nur nochNi−1 zur Verf¨ugung stehen. Schließlich erhalten wir

hN1, N2, . . .|f_x⁽¹_a|N1, N2, . . .i = N1!N2!. . . N!

XN

i=1

hi|f⁽¹⁾|ii (N −1)!

N1!. . .(Ni−1)!. . .

= XN

i=1

Ni

Nhi|f⁽¹⁾|ii

Damit erhalten wir das Endresultat, indem wir die Summe über a ausführen. Dabei stellen wir fest, dass jeder der N Beiträge in dieser Summe identisch aussieht und die Summe einfach als FaktorN eingeht:

hN1, N2, . . .|F⁽¹⁾|N1, N2, . . .i= XN

a=1

XN

i=1

N_i

Nhi|f⁽¹⁾|ii=X

i

Nihi|f⁽¹⁾|ii

Das Matrixelement f¨ur die Fermionen erhalten wir analog: die Faktoren (−1)^χ^P gehen wegen δ_P,P˜ quadratisch ein und fallen damit weg. Das war’s schon.

Nun zu den nicht-diagonalen Matrixelementen, wir fangen wieder mit den Bosonen an:

h. . . , Ni, . . . , Nj−1, . . .|f_x⁽¹⁾_a |. . . , Ni−1, . . . , Nj, . . .i

= N1!. . . Ni−1!Ni+1!. . . Nj−1!Nj+1!. . . N!

q

Ni!(Ni−1)!Nj!(Nj −1)!× X

P,P˜

hP(1)|P˜(1)i hP(2)|P˜(2)i . . . hP(a)|f_x⁽¹⁾_a |P˜(a)i. . .

Diesmal müssen wirP(a) =iund ˜P(a) =jwählen desweiteren müssen alle Permutatio- nenP und ˜P gleich sein (mit der selben Argumentation wie bei den Diagonalelementen):

= N1!. . . Ni−1!Ni+1!. . . Nj−1!Nj+1!. . . N!

q

Ni!(Ni−1)!Nj!(Nj −1)!X

P

hi|f⁽¹⁾|ji Wiederum sind nur nochN −1 Teilchen ¨ubrig zum Auspermutieren und beim Wegdi- vidieren der “falschen” Permutationen haben wir nur Ni−1 und Nj −1 Teilchen:

= N1!. . . Ni−1!Ni+1!. . . Nj−1!Nj+1!. . . N!

q

Ni!(Ni−1)!Nj!(Nj −1)!hi|f⁽¹⁾|ji × (N −1)!

N1!. . .(Ni−1)!(Nj−1)!. . .

=

pNiNj

N hi|f⁽¹⁾|ji

Ausführen der Summe über a eliminiert wieder die N im Nenner und wir finden wie gewünscht das nicht-diagonale Matrixelement alshF⁽¹⁾i=p

NiNjhi|f⁽¹⁾|ji. Nicht-Diagonalelemente f¨ur Fermionen:

h. . .1i. . .0j. . .|f_x⁽¹⁾_a|. . .0i. . .1j. . .i= 1 N!

X

P,P˜

hP(1)|P˜(1)i. . .hP(a)|f_x⁽¹⁾_a|P˜(a)i

= 1

N! X

P

hi|f⁽¹⁾|ji(−1)^P^j−1^k=i+1^N^k = 1

Nhi|f⁽¹⁾|ji(−1)^θ^ij

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Wenn man hier die Identifikation P(a) = i und ˜P(a) = j durchführt, muss man das Teilchen bei j zu der unbesetzten Stelle bei i bringen, also vertauscht man unterwegs Fermionen, und zwar genauso viele, wie sich Teilchen zwischen i und j befinden. Dies drückt sich genau in der Größeθij aus.

Um zu sehen, dass die beiden Ergebnisse kompakt als F⁽¹⁾ =X

ij

hi|f⁽¹⁾|jia^†_ia_j

geschrieben werden k¨onnen, berechnet man einfach damit die Matrixelemente:

X

ij

hN1, N2, . . .| hi|f⁽¹⁾|jia^†_ia_j|N1, N2, . . .i=

X

ij

hi|f⁽¹⁾|jip

NiNjδij =X

i

hi|f⁽¹⁾|iiNi

F¨ur Nicht-Diagonalelemente:

X

ij

h. . . , N_i, . . . , N_j−1, . . .| hi|f⁽¹⁾|jia^†_ia_j|. . . , N_i−1, . . . , N_j, . . .i

= hi|f⁽¹⁾|jip NiNj

Die Summen fallen hier weg, da es nur genau einen Beitrag gibt, und zwar genau dann, wenn a^†_i auf den Zustandiwirkt und aj auf den Zustand j, andererseits bekommt man 0 wegen der Orthogonalit¨at der Zust¨ande.

Für das fermionische Matrixelement läuft das ganz genauso, man muss nur die Definition der Fermi-Operatoren berücksichtigen:

ˆ

a_i|. . . ,1_i, . . .i= (−1)^θ^i∞|. . . ,0_i, . . .i bzw.

ˆ

a^†_i |. . . ,0i, . . .i= (−1)^θ^i∞|. . . ,1i, . . .i .

Bitte nicht verwirren lassen: i und j sind zum einen Summationsindizes, zum anderen sind aber i und j gerade die beiden Zustände, an denen ein Teilchen ausgetauscht wird - man hätte also vielleicht (aus pädagogischer Sicht)besser i0 und j0 als Bezeichnung der Zustände genommen...

Zwei-Teilchen Operatoren:

Nach diesem Vorspiel kommen wir nun endlich zu den Zwei-Teilchenoperatoren. Dank des Vorspiels sollte das jetzt recht schnell gehen. Es giltF⁽²⁾ =P

a<bf⁽²⁾ - es wird sich wieder zeigen, dasshf⁽²⁾if¨ur beliebige Positionenaund bidentisch ist. Machen Sie sich also schon einmal klar, dass die Summe P

a<b gerade einen Faktor N(N −1)/2 liefern wird!

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Diagonalelemente f¨ur Bosonen:

hN1, N2, . . .|f_x⁽²⁾_a_x_b|N1, N2, . . .i= N1!N2!. . . N!

X

P,P˜

. . .hP(a)P(b)|f_x⁽²⁾_a_x_b|P˜(a) ˜P(b)i

= N1!N2!. . . N!

X

P

hP(a)P(b)|f_x⁽²⁾_a_x_b|P˜(b) ˜P(a)i

Hier muss man nun zwei Fälle unterscheiden: entweder wirktf⁽²⁾ auf zwei Einteilchen- zustände mit derselben Quantenzahl i oder auf zwei Einteilchenzustände mit verschie- denen Quantenzahlen i und j.

=











N1!N2!...

N!

P

ihii|f⁽²⁾|iii_N₁_!...(N^(N^−2)!_i_−2)!... =P

i

Ni(Ni−1)

N(N−1)hii|f⁽²⁾|iii

=. . .=P

ij NiNj

N(N−1)

hij|f⁽²⁾|jii+hij|f⁽²⁾|iji

Also erhalten wir hF⁽²⁾i=X

a<b

X

i

Ni(Ni−1)

N(N −1)hii|f⁽²⁾|iii= 1 2

X

i

hii|f⁽²⁾|iiiNi(Ni−1) oder

hF⁽²⁾i= 1 2

X

ij

hij|f⁽²⁾|jii+hij|f⁽²⁾|iji NiNj . Noch ein Wort zu den Permutationen. Die P

P haben wir wie folgt ausgeführt: Wir wählen füri=P(a) und fürj =P(b) (und umgekehrt) jeweils eine Zahl aus der Menge 1. . . N aus, die verbleibenden (N −2) Zahlen werden auspermutiert, das ergibt den Faktor (N −2)!.

Das erste Matrixelement kann es für Fermionen nicht geben (keine Doppelbesetzung wegen Pauli-Prinzip), nur das zweite. Während für Fermionen dieNi’s trivialerweise 1 sind, müssen wir jetzt mit den Minuszeichen aufpassen:

hN1, N2, . . .|f_x⁽²⁾_a_x_b|N1, N2, . . .i= 1 N!

X

P,P˜

(−1)^χ^P(−1)^χ^P^˜. . .hP(a)P(b)|f_x⁽²⁾_a_x_b|P˜(a) ˜P(b)i

= 1 N!

XN

i=1

XN

j=1 j6=i

hij|f⁽²⁾|iji − hij|f⁽²⁾|jii

(N −2)!

hF⁽²⁾i = X

i,j

1 2

hij|f⁽²⁾|iji − hij|f⁽²⁾|jii

Für eine gegebene Permutation P, also die Liste P(1), P(2), . . . , P(i), P(j), . . . P(N), gilt nun P(1) = ˜P(1), P(2) = ˜P(2), . . ., außer für a und b. Hier bleiben zwei Möglich- keiten für ˜P ubrig:¨ P(a) = ˜P(a),P(b) = ˜P(b) undP(a) = ˜P(b),P(b) = ˜P(a), dabei hat die erste ein positives Vorzeichen (keine Transposition relativ zu P), die zweite ein ne- gatives (eine Transposition). DieP

P haben wir dann wie folgt ausgeführt: Wir wählen füri=P(a) eine Zahl aus der Menge 1. . . N aus und fürj =P(b) eine beliebige andere

(6)

(Fermionen!), die verbleibenden (N −2) Zahlen werden auspermutiert, das ergibt den Faktor (N −2)!.

Nicht-Diagonalelemente f¨ur Bosonen:

hN_i, . . . , N_j, . . . , N_l−1|f_x⁽²⁾_a_x_b|N_i −1, . . . , N_j, . . . , N_li= N1!. . . , Nj!. . .

N!

pNi!(Ni−1)!Nl!(Nl−1)! X

P,P˜

. . .hP(a)P(b)|f_x⁽²⁾_a_x_b|P˜(a) ˜P(b)i

= · · ·

· · ·

√ · · · X

j

hij|f⁽²⁾|lji+hij|f⁽²⁾|jli (N−2)!

N₁!. . .(N_i−1)!(N_j −1)!(N_l−1)!. . .

= X

j

Nj√ NiNl

N(N −1)

hij|f⁽²⁾|lji+hij|f⁽²⁾|jli

hF⁽²⁾i=X

j

1 2N_jp

N_iN_l

hij|f⁽²⁾|lji+hij|f⁽²⁾|jli

Ganz analog findet man f¨ur Bosonen folgende nicht-diagonale Matrix-Elemente:

h. . . N_i. . . N_j −1. . . N_l. . . N_m−1. . .|F⁽²⁾|. . . N_i−1. . . N_j. . . N_l−1. . . N_m. . .i

= 1 2

pN_iN_jN_lN_m

hil|f⁽²⁾|jmi+hil|f⁽²⁾|mji und

h. . . Ni. . . Nl−2. . .|F⁽²⁾|. . . Ni−2. . . Nl. . .i

= 1 2

pNi(Ni −1)Nl(Nl−1) hii|f⁽²⁾|lli

Nicht-Diagonalelemente f¨ur Fermionen:

Nun kommen wir zu den Fermionen. Die Buchhaltung mit denNi’s etc. können wir uns jetzt zwar sparen, aber dafür müssen wir uns üeberlegen, wann und wo Minuszeichen auftreten.

h1_i, . . . ,1_j, . . . ,0_l|f_x⁽²⁾_a_x_b|0_i, . . . ,1_j, . . . ,1_li= 1

N! X

P,P˜

(−1)^χ^P^+χ^P^˜ . . .hP(1)|P˜(1)i. . .hP(a)P(b)|f⁽²⁾|P˜(a) ˜P(b)i. . .

= 1

N! X

j

(−1)^θ^il

hij|f⁽²⁾|lji − hij|f⁽²⁾|jli

(N−2)!

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Hier ist zu beachten, dass der (−1)^θ-Faktor durch das Vertauschen der Fermi-Operatoren kommt und das Minuszeichen zwischen den Matrixelementen durch die Transposition (=ungerade Permutation!).

Und dann gibt es noch dieses Matrixelement:

h. . .1i. . .0j. . .1l. . .0m. . .|f_x⁽²⁾_a_x_b|. . .0i. . .1j. . .0l. . .1m. . .i

= 1

N! X

P,P˜

(−1)^χ^P^+χ^P^˜ . . .hP(1)|P˜(1)i. . .hP(a)P(b)|f⁽²⁾|P˜(a) ˜P(b)i. . .

= 1

N!

(−1)^θ^ij(−1)^θ^lmhij|f⁽²⁾|lmi −(−1)^θ^im(−1)^θ^jlhij|f⁽²⁾|mli

(N−2)!

Einsetzen des Operators in zweiter Quantisierung in die Matrixelemente sollte jetzt dasselbe liefern. Dies zu überprüfen bleibt Ihnen als Übung überlassen.

2. Translationsinvarianz und Impulserhaltung:

Die Quantenzahlen i, k, l, m sind jetzt also Impulse, nennen wir sie k1, k2, k^′₁, k₂^′. Zu zeigen ist nun, dass aus der Translationsinvarianz des Zweiteilchenoperators Impulser- haltung folgt. Betrachten wir also das Matrixelement:

hk₁^′, k^′₂|fˆ⁽²⁾|k₁, k₂i .

Impulserhaltung bedeutet nun nichts anderes, als dassk₁ +k₂ =k₁^′ +k₂^′ gilt.

Nun f¨uhren wir eine Fourier-Transformation des Zweiteilchenoperators durch:

U(~r) = 1 V

Z

d³ke^i~k~^rU(k),

sp¨ater ersetzen wir~r einfach durch~r1−~r2 - an dieser Stelle kommt also die Translati- onsinvarianz ins Spiel! Der Einfachheit halber rechnen wir nun eindimensional weiter, d.h.~r →x. In 2D und 3D funktioniert es aber ganz genauso, ohne zus¨atzliche Schwie- rigkeiten!

Berechnung des Matrixelement:

hk₁^′, k^′₂|fˆ⁽²⁾|k₁, k₂i = 1 V³

Z Z

dx₁dx₂e^−ik^′¹^x¹e^−ik²^′^x² Z

dkeîk(x¹^−x²⁾U(k)eîk¹^x¹eîk²^x²

= 1

V³ Z

dkU(k) Z

dx1e^ix¹^(−k^′¹^+k+K¹⁾

| {z }

δ(−k^′₁+k+k1)

Z

dx2e^ix²^(−k^′^x^−k+k²⁾

| {z }

δ(−k^′₂−k+k2)

Die beiden Deltafunktionen (eigentlich sollte man hier Kronecker-Deltas schreiben und auf k-Summen üebergehen, aber an dem Resultat ändert dies nichts) führen nun auf die beiden Bedinungen

k =k₁^′ −k1 and k =k2−k^′₂ . Gleichsetzen der beiden Bedinungen f¨uhrt zu

k1+k2 =k^′₁+k₂^′ und wir haben Impulserhaltung gezeigt.