Berufskolleg des Märkischen Kreises in Iserlohn

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Berufskolleg des Märkischen Kreises in Iserlohn

Hansaallee 19, 58636 Iserlohn  (02371) 9774-0 FAX: 977488

Vorklausur 2018

Bildungsgang: Zweijährige Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung – Höhere Handelsschule

FACH: Mathematik

Aufgabe 2: (50 P. von 150 P.) Ergänzung der Ausgangssituation

Um auf dem Markt bestehen zu können und neue Kunden zu gewinnen, die an modernen und ökologisch korrekten Produkten interessiert sind, stellt Bäckermeister Brezel seit Jahresbeginn Bio-Dinkel-Croissants her, mit denen er unter anderem Biomärkte und Frühstückscafés beliefert und die von der Kundschaft gut angenommen werden.

Bäckermeister Brezel möchte nun die Kosten-, Erlös- und Gewinnsituation analysieren.

Aufgabenstellung

Die Kostensituation der Bio-Dinkel-Croissants lässt sich annähernd durch die Gleichung

 

^^0,5 ³^⁵ ²^²⁵ ^¹⁴⁴

K x x x x beschreiben. Die Gewinnfunktion ist gegeben durch

 

^{ }^0,5 ³^² ²^³⁶ ^¹⁴⁴

G x x x x beschrieben wird. Die Kapazitätsgrenze wird bei einer Produktionsmenge von 10 ME erreicht. (1 GE = 100 EUR; 1 ME = 1.000 Stück)

2.1 Ermitteln Sie die Erlösfunktion E(x) und die lineare Preis-Absatz-Funktion p(x). (3 P.) 2.2 Zeichnen Sie die Graphen der Gesamtkostenfunktion K und der Gewinnfunktion G

in ein geeignetes Koordinatensystem.

(Hinweis: 1 ME 1 cm, 50 GE 1 cm ) (8 P.)

2.3 Untersuchen Sie die Gewinnsituation, indem Sie das Stückzahlintervall, in dem mit Gewinn gearbeitet wird, ermitteln und berechnen, bei welchen Stückzahlen der

Gewinn maximal ist und wie hoch dieser dabei ist. (22 P.) 2.4 Um sich auch auf eine womöglich schwieriger werdende Marktsituation einstellen zu

können, möchte Bäckermeister Brezel wissen, wie weit er gegebenenfalls den Preis für sein Produkt senken kann. Daher möchte er ermitteln, wie hoch die langfristige

Preisuntergrenze für die Bio-Dinkel-Croissants ist. Berechnen Sie diese Größe. (12 P.) 2.5 Erläutern Sie den Unterschied zwischen Betriebsoptimum und Betriebsminimum. (2 P.) 2.6 Erklären Sie, welcher Summand im Term der Gesamtkostenfunktion keine

Auswirkung auf Betriebsoptimum und Betriebsminimum hat. (3 P.)

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FACH: Mathematik

Aufgabe 2:

Erwartungshorizont:

2.1 Ermittlung der Erlösfunktion:

( ) ( ) ( ) 3

2

61 ( ) ( ) 3 61

E x G x K x x x

p x E x x

x

    

   

2.2

2.3 Berechnung der Gewinnzone:

K(x)

G(x) GE

ME

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FACH: Mathematik

Ansatz

 

3 2

1

3 2 2

2

2 3

( ) 0 0 0, 5 2 36 144

4 0, 5 2 36 144 ( 4) 0, 5 36

0, 5 36 0

8, 485, 8, 485

G x x x x

x

x x x x x

x

x x

      



        

  

  

Gewinnschwelle: 4 ME = 4000 Stück Gewinngrenze: 8,485 ME = 8485 Stück

Die Gewinnzone verläuft von 4000 bis 8485 Stück

Berechnung des Gewinnmaximums:

Ansatz:

/ / /

/ 2 / /

2

1 2 / /

( ) 0 ( ) 0

( ) 1, 5 4 36, ( ) 3 4

1, 5 4 36 0

3, 744 ,

6, 411

(6, 411) 15, 233 0 (6, 411) 37, 25

G x G x

G x x x G x x

x x

x entfällt da nicht in Gewinnzone x

G G

 

      

   

 



  



Der maximale Gewinn beträgt 3725 EUR und wird erzielt bei einer Produktion von 6411 Croissants.

2.4 Berechnung der langfristigen Preisuntergrenze Ansatz:

k`(x) = 0 und k``(x) 0

2

/ / /

2 3

3 2

/ /

( ) 0, 5 5 25 144

144 288

( ) 1 5 , ( ) 1

1 5 144 0

7, 536

(7, 536) 1, 673 0 (7, 536) 34,82

k x x x

x

k x x k x

x x

x k k

   

    

  



 



(7,536 / 34,82)

Bopt

Die langfristige Preisuntergrenze liegt bei 34,82 GE pro ME oder 3,48 EUR pro Croissant 2.5 Während das Betriebsminimum die Produktionsmenge angibt, bei der die variablen

Stückkosten ihr Minimum annehmen, gibt das Betriebsoptimum die Minimumstelle der

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gesamten Stückkosten (also inklusive der Fixkosten) an.

2.6 Der Summand 25x hat keine Auswirkung auf Betriebsminimum und –optimum, da er bei der Division durch x zur Berechnung der Stückkostenfunktion und der variablen

Stückkostenfunktion jeweils zu der Konstanten 25 wird, welche bei der dann folgenden Ableitung (notwendige Bedingung bei Bmin/Bopt  1. Abkl. der Stückkostenfkt. bzw. der var. Stückkostenfkt. gleich 0) 0 wird und somit wegfällt