BERUFSKOLLEG DES MÄRKISCHEN KREISES IN ISERLOHN Vorklausur Mathematik 2020
Aufgabe 2: (45 P. von 135 P.)
Die PIZZA Company möchte nun seine Erlös-, Kosten- und Gewinnsituation für ein geplantes neues Produkt analysieren. Die Gesamtkosten bei der Herstellung der Power- Pizzen können durch die Gleichung K x
0,1x3 0,7x213,5x115 beschrieben werden.Dabei ist x die jährliche Produktionsmenge in ME (1 ME = 10 St.). Der Verkaufspreis ist nicht konstant, sondern fällt mit zunehmendem Absatz und wird beschrieben durch die Preis- Absatz-Funktion p x
7x84.2.1 Analysieren Sie die Gewinnsituation bei der Herstellung der Pizzen, indem Sie den Gewinnbereich und das Gewinnmaximum berechnen. Zeigen Sie hierzu zuerst, dass die Gleichung der Gewinnfunktion G x
0,1x3 6,3x2 70,5x115 lautet. (18 P)2.2 In der Abteilung Rechnungswesen werden Sie damit beauftragt, auf Basis der
Berechnungen zur Gewinnsituation den Preis zu ermitteln, bei dem das Unternehmen
theoretisch den höchsten Gewinn macht. (3 P)
2.3 Sie wissen, dass auch andere Pizzerien mit ihnen um einen neuen Lieferauftrag für das Hansakolleg konkurrieren. Um auf die Verhandlungen gut vorbereitet zu sein, berechnen sie die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze. Damit der Verhandlungsführer die Ergebnisse auch richtig interpretiert, entwerfen sie eine Erklärung bzgl. der
ökonomischen Bedeutung der langfristigen und der kurzfristigen Preisuntergrenze. (18 P) 2.4 Für eine Präsentation haben Sie die folgende Graphik erstellt, jedoch die einzelnen
Funktionsgraphen sowie die Koordinatenachsen nicht beschriftet. Ergänzen Sie in der Graphik die fehlenden Bezeichnungen der Graphen sowie die fehlenden Einheiten an
den Koordinatenachsen. (6 P)
Musterlösung Aufgabe 2:
2.1 p(x) =-7x+84, daraus E(x) = -7x2 + 84x Mit K(x) = 0,1x3 – 0,7x2 + 13,5x +115 folgt
G(x) = E(x) – K(x) = -7x2 + 84x – (0,1x3 – 0,7x2 + 13,5x +115) also G(x) = -0,1x3 - 6,3x2 +70,5x -115
Ges.: Gewinnschwelle; Gewinngrenze
Bdg.: G(x) = 0, also -0,1x3 - 6,3x2 +70,5x -115 = 0
Lösung 1: x1 = 2 alternativ: NV
PD: (-0,1x3 - 6,3x2 +70,5x -115): (x-2) = -0,1x2 – 6,5x + 57,5 -0,1x2 – 6,5x + 57,5 = 0
x2 = 7,89 und x3 = -72,89 (ök. nicht sinnvoll)
Der Gewinnbereich liegt zwischen der Gewinnschwelle von 2 ME und der Gewinngrenze von 7,89 ME.
Ges.: Gewinnmaximum Bdg.: G´(x) = 0 und G´´(x)<0
G`(x) = -0,3x2 – 12,6x + 70,5 und G´´(x) = -0,6x – 12,6 -0,3x2 – 12,6x + 70,5 = 0
x1 = 5 und x2 = -47 (ök. nicht sinnvoll) Überprüfung: G´´(5) = -15,6 <0, also HP Gmax = HP(5/67,5)
Der maximale Gewinn wird bei einer Produktion von 5 ME erreicht und beträgt 67,5 GE.
2.2 p(5) = -7*5 + 84 =49
Der Preis, bei dem das Unternehmen den theoretisch höchsten Gewinn macht liegt bei 49 GE.
2.3 Ges.: LPU Bdg.: k´(x) = 0 und k´´(x) ˃0
K(x) = 0,1x3 – 0,7x2 + 13,5x +115 und daraus k(x) = 0,1x2 – 0,7x + 13,5 + 115 x k´(x) = 0,2x – 0,7 - 1152
x und k´´(x) = 0,2 + 2303 x 0 = 0,2x -0,7 - 2
115
x und daraus 0 = 0,2x3 – 0,7x2 -115 Mit TR: x = 9,66
Überprüfung: k´´(9,66) = 0,46 ˃0, also TP
BOP(9,66/27,97), also liegt die LPU bei 27,97 GE.
Bei der LPU können die Stückkosten noch gedeckt werden, es sind sowohl die variablen Kosten als auch die Fixkosten gedeckt. Zu diesem Preis macht man weder Gewinn noch Verlust.
Ges.: KPU: Bdg.: kv´(x) = 0 und kv´´(x) ˃0 kv(x) = 0,1x2 – 0,7x + 13,5
kv´(x) = 0,2x – 0,7 und kv´´(x)= 0,2 0,2x -0,7 = 0, also x = 3,5
kv´´(3,5)= 0,2 ˃0, TP
BMIN(3,5/12,28), also liegt die KPU bei 12,28 GE:
Bei der KPU können nur noch die variablen Stückkosten gedeckt werden, die Fixkosten nicht mehr. Zu diesem Preis macht das Unternehmen langfristig Verlust.
2.4:
ME GE
K(X) E(x
)
P(x) G(x)
