BERUFSKOLLEG DES MÄRKISCHEN KREISES IN ISERLOHN Vorklausur Mathematik 2020
Aufgabe 3: (45 P. von 135 P.)
Die PIZZA Company muss zum Aufbau des Unternehmens erhebliche Investitionen tätigen (Umbaumaßnahmen, Ausstattung der Restaurants, Fahrzeuge für den Lieferservice).
In Kürze soll ein neues Restaurant in Hemer eröffnen. Die notwendigen Baumaßnahmen sollen über ein Annuitätendarlehen mit einer Darlehenssumme von 400.000 EUR und einem Zinssatz von 4,5 % p. a. finanziert werden. Die Annuitäten sollen 45.000 EUR betragen.
3.1 Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass das Darlehen nach 12 Jahren getilgt sein wird. (4 P) 3.2 Erstellen Sie den Tilgungsplan für die beiden letzten Jahre der Darlehenslaufzeit. (8 P) 3.3 Ein anderes Annuitätendarlehen wurde bereits zu Jahresbeginn 2015 aufgenommen.
Die anfängliche Darlehenssumme betrug 260.000 EUR. Vereinbart wurden ein Zinssatz von 5 % p.a. und eine Annuität von 20.000 EUR. Aufgrund der hervorragenden
Ertragslage des Unternehmens kann am Jahresende 2020 eine Sondertilgung in Höhe von 35.000 EUR vorgenommen werden.
3.3.1 Berechnen Sie die ursprünglich vereinbarte Laufzeit des Darlehens. (8 P) 3.3.2 Ermitteln Sie die ab dem Jahr 2021 zu zahlende Annuität, wenn die Restlaufzeit
des Darlehens nach der Sondertilgung noch 16 Jahre betragen soll. (8 P) Herr Capone ist derzeit Mitarbeiter des Unternehmens. Er träumt davon, in 5 Jahren als Franchisenehmer ein eigenes Restaurant zu eröffnen.
3.4 Herr Capone muss dazu ein Startkapital von 100.000 EUR ansparen. Zurzeit verfügt er über einen Betrag von 18.000 EUR. In den kommenden 5 Jahren kann er jeweils am Jahresende einen Betrag von 9.000 EUR sparen. Herr Capone kalkuliert mit einer Verzinsung seines Guthabens in Höhe von 2 % p.a.
3.4.1 Zeigen Sie, dass Herr Capone mit dem beschriebenen Sparplan das benötigte
Startkapital am Ende der kommenden 5 Jahre nicht erreicht. (4 P) 3.4.2 Die geplante jährliche Sparrate in Höhe von 9.000 EUR setzt sich zusammen aus
5.000 EUR, die Herr Capone selbst spart, sowie aus 4.000 EUR, die aus einem Lotteriegewinn stammen, der in Form einer Rente ausgezahlt wird. Diese Gewinnraten in Höhe von 4.000 EUR sollen gerechnet vom jetzigen Zeitpunkt noch insgesamt 15 Jahre lang jeweils am Jahresende gezahlt werden.
Herr Capone bittet die Lotteriegesellschaft, die noch ausstehenden Raten früher auszuzahlen, z. B. in Form einer sofortigen Einmalzahlung (Variante 1). Alternativ könnte die Auszahlungsdauer von 15 auf 5 Jahre abgekürzt werden (Variante 2).
Berechnen Sie für beide Varianten die Höhe der Auszahlungen, wenn die
Lotteriegesellschaft für ihre Berechnungen einen Zinssatz von 3 % p. a. zugrunde
legt. (8 P)
3.4.3 Die Lotteriegesellschaft bietet an, die restliche Gewinnsumme als Einmalzahlung in Höhe von 47.750 EUR oder als 5-jährige, nachschüssige Rente mit Raten in Höhe von 10.425 EUR auszuzahlen. Prüfen Sie für eine der beiden Varianten, ob Herr Capone dann nach 5 Jahren ein Guthaben von 100.000 EUR erreicht, wenn er die Zahlungen stets sofort für sein Sparvorhaben verwendet. (Zinssatz: 2
% p. a.) (5 P)
„Sparkassenformel“: 0
1 1
n n
n
K K q r q q q
Musterlösung Aufgabe 3:
3.1 Restschuld mit K0400.000, r 45.000 nach 12 Jahren:
12 12
12
1,045 1
400.000 1,045 45.000 17.528,86 0
0,045
K
(Nach 11 Jahren noch nicht getilgt:
11 11
11
1,045 1
400.000 1,045 45.000 26.288,17 0
0,045
K
.)
Also ist das Darlehen nach 12 Jahren getilgt.
Alternativen möglich, z. B. Höhe der erforderlichen Annuität berechnen … 3.2 Restschuld nach 10 Jahren:
10 10
10
1,045 1
400.000 1,045 45.000 68.218,35
0,045
K
Tilgungsplan:
Jahr Restschuld zu J.beginn
Zinsen Tilgung Annuität Restschuld am J.ende 11 68.218,35 3.069,83 41.930,17 45.000,00 26.288,18 12 26.288,18 1.182,97 26.288,18 27.471,15 0,00 3.3.1 Laufzeit für K0 260.000, r 20.000:
1,05 1 0 260.000 1,05 20.000
0,05
0 260.000 1,05 400.000 1,05 1 0 260.000 1,05 400.000 1,05 400.000
400.000 140.000 1,05 1,05 2,857143
log 2,857143
21,52 22 log1,05
n n
n n
n n
n n
n
Ursprüngliche Laufzeit: 22 Jahre; im letzten Jahr nicht mehr volle Annuität.
3.3.2
Restschuld Ende 2020:
6 6
6
1,05 1
260.000 1,05 20.000 212.386,61
K 0,05
Restschuld nach Sondertilgung: 212.386,61 35.000 177.386,61 Annuität ab 2021:
16
16 1,05 1
0 177.386,61 1,05
0,05
387.212,72
0 387.212,72 23,657492 16.367, 45
23,657492 r
r r
Aufgabe 3:
3.4.1 Guthaben nach 5 Jahren:
5 5
5
1,02 1
18.000 1,02 9.000 19.873,45 46.836,36 66.709,81
K 0,02
Alternativen möglich, z. B. benötigte Sparrate, benötigtes Anfangskapital, … 3.4.2 Barwert der ausstehenden Auszahlungen:
15 15
0
15 0
0 15
1,03 1
0 1,03 4.000
0,03 0 1,03 74.395,66
74.395,66
47.751,74 1,03
K K K
Als Einmalzahlung könnte Herr Capone 47.751,74 € erhalten.
Oder als 5-jährige Rente:
5
5 1,03 1
0 47.751,74 1,03
0,03
55.357,35
0 55.357,35 5,309136 10.426,81
5,309136 r
r r
Also 5-jährige Rente mit Raten in Höhe von 10.426,81 €.
3.4.3 Variante 1 „Einmalzahlung“: Höheres Anfangskapital, niedrigere Sparrate
5 5
5
1,02 1
65.750 1,02 5.000 72.593,31 26.020,20 98.613,51 100.000
K 0,02
Hier wird das Sparziel nicht ganz erreicht.
Variante 2 „5-jährige Rente“: Unverändertes Anfangskapital, höhere Sparrate
5 5
5
1,02 1 18.000 1,02 15.425
0,02
19.873, 45 80.272,32 100.145,77 100.000
K
Das Sparziel wird erreicht.
