Berufskolleg des Märkischen Kreises in Iserlohn

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Berufskolleg des Märkischen Kreises in Iserlohn

Hansaallee 19, 58636 Iserlohn  (02371) 9774-0 FAX: 977488

Vorklausur 2019, Bildungsgang: Zweijährige Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung – Höhere Handelsschule

FACH: Mathematik

Seite:

Aufgabe 2: (50 P. von 150 P.)

Für einen vollmundigen Geschmack sollen die Kaffeebohnen aus Italien bezogen werden. Der Kaffeelieferant „Bohnesso“ kann die variablen Kosten in vollständiger Konkurrenz bei der Herstellung der Premiumsorte „Superbar“ durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades wie folgt beschreiben:

𝐾_𝑣(𝑥) = 0,01𝑥³ − 𝑥²+ 50𝑥

Weiterhin müssen bei der Bestimmung der Gesamtkosten 𝐾(𝑥) fixe Kosten in Höhe von 720 GE berücksichtigt werden. Die Erlöse betragen 53 GE/ME (1ME = 1 Packung). Die maximale Tagesproduktion liegt bei 100 ME.

2.1 Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion durch 𝐺(𝑥) = −0,01𝑥³ + 𝑥²+ 3𝑥 − 720 gegeben ist.

(2 P.) 2.2 Bestätigen Sie durch entsprechende Rechnung, dass die Gewinnzone bei x = 30 ME

beginnt, und berechnen Sie die Produktionsmenge, bei der die Gewinnzone endet.

(8 P.) 2.3 Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und berechnen Sie den

maximal möglichen Gewinn.

(8 P.) 2.4 Erläutern Sie, welche ökonomische Konsequenz sich aus einer Senkung des

Stückerlöses im Hinblick auf den Gewinn ergeben würde.

(3 P.) 2.5 In der Abbildung sehen Sie die Schaubilder von Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion.

Beschriften Sie die Schaubilder mit K, E und G, ergänzen Sie die fehlenden Einheiten an den Koordinatenachsen und markieren Sie die Gewinnschwelle G_S, die Gewinngrenze G_G, das Gewinnmaximum G_max, sowie den Break-Even-Point BEP.

(5 P.)

2

2.6 Untersuchen Sie, bis zu welchem Preis „Bohnesso“ den bisherigen Verkaufspreis für die Sorte „Superbar“ kurzfristig bzw. langfristig reduzieren könnte.

(14 P.) 2.7 Erläutern Sie, welche ökonomischen Auswirkungen für den Lieferanten „Bohnesso“ ein

Verkaufspreis hätte, der der kurzfristigen bzw. langfristigen Preisuntergrenze entspricht.

(4 P.) 2.8 Bestimmen Sie die Wendestelle der Gesamtkostenfunktion K und erklären Sie deren

ökonomische Bedeutung.

(6 P.)

3 Aufgabe 2

2.1 Gewinnfunktion:

𝐸(𝑥) = 53𝑥

𝐾(𝑥) = 0,01𝑥³ − 𝑥² + 50𝑥 + 720 𝐺(𝑥) = 𝐸(𝑥) − 𝐾(𝑥)

𝐺(𝑥) = 53𝑥 − (0,01𝑥³− 𝑥²+ 50𝑥 + 720)

= 53𝑥 − 0,01𝑥³+ 𝑥²− 50𝑥 − 720

= −0,01𝑥³ + 𝑥² + 3𝑥 − 720 2.2 Berechnung der Gewinngrenze:

Bedingung: 𝐺(𝑥) = 0

0 = −0,01𝑥³ + 𝑥² + 3𝑥 − 720

𝑥₁ = 30, denn 𝐺(30) = −0,01 ∙ 30³+ 30²+ 3 ∙ 30 − 720 = 0 Polynomdivision:

(−0,01𝑥³+ 𝑥²+ 3𝑥 − 720): (𝑥 − 30) = −0,01𝑥²+ 0,7𝑥 + 24 noch zu lösen: −0,01𝑥²+ 0,7𝑥 + 24 = 0

𝑥²− 70𝑥 − 2400 = 0 𝑥_2/3= 35 ± 60,21

𝑥₂= −25,21 entfällt, da negativ 𝑥₃= 95,21

Die Gewinnzone endet an der der Gewinngrenze bei 95,21 ME.

2.3 Berechnung des Gewinnmaximums:

Ableitungen: 𝐺`(𝑥) = −0,03𝑥² + 2𝑥 + 3, 𝐺``(𝑥) = −0,06𝑥 + 2 Notwendige Bedingung: 𝐺`(𝑥) = 0

0 = −0,03𝑥² + 2𝑥 + 3 0 = 𝑥² − 66,67𝑥 − 100 𝑥₁ = 68,135

𝑥₂= −1,47

𝑥₂ entfällt, da ökonomisch nicht sinnvoll

Hinreichende Bedingung: 𝐺`(𝑥) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝐺``(𝑥) < 0

𝐺``(68,135) = −2,09 < 0 => 𝐻𝑃 mit 𝐺(68,135) = 963,70.

Maximal erreichbarer Gewinn: 963,70 GE bei einem Absatz von 68,135 ME.

2.4 Der Gewinnbereich würde sich verkleinern. Die Gewinnschwelle verschiebt sich nach rechts (wird größer) und die Gewinngrenze nach links (wird kleiner)

2.5

2.6.1 Berechnung der kurzfristigen Preisuntergrenze:

𝑘_𝑣(𝑥) = 0,01𝑥² − 𝑥 + 50 Ableitungen:

𝑘_𝑣`(𝑥) = 0,02𝑥 − 1, 𝑘_𝑣``(𝑥) = 0,02 > 0,

Notwendige Bedingung: 𝑘_𝑣`(𝑥) = 0 0 = 0,02𝑥 − 1

𝑥 = 50

Hinreichende Bedingung: 𝑘_𝑣`(𝑥) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝑘_𝑣``(𝑥) = 0,02 > 0

4 𝑘𝑣``(50) = 0,02 > 0 => 𝑇𝑃 𝑚𝑖𝑡 𝑘𝑣(50) = 25 Der minimale Preis liegt bei 25 GE pro ME.

2.6.2 Berechnung der langfristigen Preisuntergrenze:

𝑘(𝑥) = 0,01𝑥² − 𝑥 + 50 +720 Ableitungen: 𝑥

𝑘`(𝑥) = 0,02𝑥 − 1 −720 𝑥² 𝑘``(𝑥) = 0,02 +1440

Notwendige Bedingung:𝑘`(𝑥) = 0 𝑥³

0 = 0,02𝑥 − 1 −720 𝑥² 0 = 0,02𝑥³ − 1𝑥² − 720

Mithilfe des Taschenrechners ergibt sich 𝑥 = 60 Hinreichende Bedingung: 𝑘`(𝑥) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝑘``(𝑥) > 0 𝑘``(60) = 0,02 +¹⁴⁴⁰

60³ ≈ 0,0267 > 0 => 𝑇𝑃 𝑚𝑖𝑡 𝑘(60) = 38

Die minimalen Stückkosten betragen 38 GE/ME bzw. die langfristige Preisuntergrenze liegt bei 38 GE/ME.

2.7 Wird der Kaffee zu einem Preis, welcher der KPU=25 GE entspricht verkauft, so entstehen Verluste in Höhe der fixen Kosten; bei einem Verkauf in Höhe der LPU=38 GE sind alle Kosten gedeckt, d.h. der Gewinn ist gleich Null.

2.8 Berechnung der Wendestelle von K:

𝐾(𝑥) = 0,01𝑥³ − 𝑥² + 50𝑥 + 720 Ableitungen:

𝐾`(𝑥) = 0,03𝑥² − 2𝑥 + 50 𝐾``(𝑥) = 0,06𝑥 − 2

𝐾```(𝑥) = 0,06

Notwendige Bedingung:𝐾``(𝑥) = 0 0 = 0,06𝑥 − 2

𝑥 = 33,33

Hinreichende Bedingung: 𝐾``(𝑥) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝐾```(𝑥) ≠ 0 𝐾```(33,33) = 0,06 ≠ 0

Die Wendestelle der Gesamtkostenfunktion K liegt bei x = 33,33.

Die Kosten steigen zunächst bis zu einer Produktionsmenge von 33,33 ME degressiv, danach steigen sie progressiv. Die Stelle, an der die degressive Steigung der Kosten in die progressive Steigung übergeht, ist die Wendestelle.