Integralrechnung mehrerer Variablen
Tutorien Höhere Mathematik II, Sommersemester 2013
1. a) Skizzieren Sie den Bereich
G={(x, y)∈R2 : x, y≥0undx+y≤1}.
b) Berechnen Sie das Integral
Z
G
xy(1−x)dxdy.
2. Gegeben ist die skizzierte abgeschlossene MengeD⊂R2. Es handelt sich um die Vereinigung eines Quadrats, das die Eckpunkte (−1,0), (0,0), (0,1) und (−1,1) besitzt, mit einem rechtwinkligen Dreieck, welches die Eckpunkten (0,0), (1,2) und (0,2) besitzt. Bestimmen Sie die x-Koordinate des Schwerpunkts(xs, ys)vonD, d. h. berechnen Sie
xs= 1 A
Z
D
x dx dy.
(Abezeichnet die Fläche vonD.)
−10 −0.5 0 0.5 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
3. Gegeben ist die unten skizzierte abgeschlossen MengeB⊂R2. Es handelt sich um die Vereinigung der Halbkreisscheibe mit Mittelpunkt (0,0) und Radius2 mit dem gleichseitigen Dreieck, das die Eckpunkte(0,−2),(2√
3,0)und(0,2)besitzt.
Bestimmen Sie die Koordinaten (xs, ys)des Schwerpunkts vonB, d.h. berechnen Sie
xs= 1 A
Z
B
x dxdy und ys= 1 A
Z
B
y dxdy.
Dabei bezeichnet Aden Flächeninhalt vonB.
4. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts der (homogenen) Fläche, die dadurch entsteht, dass man aus der Kreisscheibe mit Mittelpunkt(0,0)und Radius2das Quadrat mit den Eckpunkten
(2,0),(1,1),(0,0)und(1,−1)entfernt.
−2 −1 0 1 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
5. Die Skizze zeigt einen Zylinder der Höhe h = √
2/2 mit kreisförmiger Grundfläche (Radius r = 1), dem eine Halbkugel mit Radius r = 1 aufgesetzt ist. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des zusammengesetzten (homogenen) Körpers.
Hinweis: Wählen Sie das Koordinatensystem so, dass der Körper symmetrisch zuz-Achse ist und der Ursprung in der Fläche liegt, in der Halbkugel und Zylinder aufeinandertreffen. Verwenden Sie Symmetrien.
6. Sei a >0 ein reeller Parameter. Die Ebenex+y+z=a bildet mit den drei Koordinatenebenen (x= 0, y = 0, z= 0) eine gleichseitige Pyramide. Beweisen Sie mit Hilfe eines Dreifachintegrals, dass das Volumen dieser PyramideV =a3/6 beträgt.
7. (a) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve mit Parametrisierung
~γ(t) =
acos3t asin3t
, 0≤t≤ π 2.
Hierbei ista >0 zu wählen. (Anm.: Es handelt sich um den Viertelbogen einer Astroide.) (b) Durch welche Parameterwerte wird der Viertelbogen in vier gleiche Teile zerlegt? Fertigen Sie
eine Skizze an.
(c) Berechnen Sie die Bogenlänge der Neilschen Parabelx3−y2= 0für0≤x≤5.
8. (a) Berechnen Sie das Integral der Funktion F~(x, y) = [0, y]T längs des Asteroidenbogens aus Aufgabe 7(a) auf direktem Wege.
(b) Bestätigen Sie mit der Integrabilitätsbedingung, dass es sich beiF~ um ein Potentialfeld handelt und bestimmen Sie ein zugehöriges Potential (d. h. eine Stammfunktion).
(c) Bestimmen Sie das Integral aus Teil (a) mit diesen Erkenntnissen erneut.
(d) Was ist der Wert des entsprechenden Arbeitsintegrals R
γF~(~x)d~xlängs der geradlinigen Ver- bindung vom Anfangs- zum Endpunkt des Asteroidenbogens?
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