Hinweise zu den Übungen:

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Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 1 Ausgabe: 10.04.2018

Abgabe: bis 17.04.2018, 10:00Uhr

Hinweise zu den Übungen:

1. Zur Teilnahme am Übungsbetrieb ist eine Anmeldung im Campus bis Sonntag, 29.04.2018 12:00 Uhr erforderlich - maximal 30 Teilnehmer pro Termin. Bitte melden Sie sich ebenso zur zugehörigen Vorlesung an.

2. Aktuelle Informationen zur Vorlesung sowie den Übungen nden Sie unter:

http://www.pat.rub.de/lectures/ss18_tm/

3. Ausgabe der Übungszettel:

• Dienstags, in der Vorlesung.

• Im wöchentlichen Rhythmus, erste Ausgabe in der ersten Vorlesung, letzte Ausgabe in der Vorlesung vom 10.07.

4. Abgabe des Übungszettels:

• Bis zum darauolgenden Dienstag, 10:00Uhr; im Briefkasten im Norden von NB7.

• Übungsgruppe auf dem Hausaufgabenzettel angeben.

• Einzelne Aufgaben (also pro Aufgabe!) zusammengetackert abgeben.

• Abgabe in (maximal) Zweiergruppen möglich.

• Nichteinhaltung dieser formellen Vorgaben führt zur Nichtwertung (sowie keine Kor- rektur).

5. Die Übungstermine sind am:

• Mo. von 8:30 bis 10:00 Uhr in Raum NB6/73 (Gruppe I),

• Di. von 8:30 bis 10:00 Uhr in Raum NB6/73 (Gruppe II),

• Di. von 14:15 bis 15:45 Uhr in Raum NB6/73 (Gruppe III),

• Fr. von 8:30 bis 10:00 Uhr in Raum NB6/73 (Gruppe IV),

6. Um zur mündlichen Prüfung (über theoretische Mechanik und Elektrodynamik) zuge- lassen zu werden, müssen die Studenten mindestens einen Übungsschein erreichen. Zum Erhalt des Übungsscheins in der theoretischen Mechanik müssen mind. 50% der Punkte aus den ausgeteilten Hausaufgaben erreicht werden.

Aufgabe 1.1: Vektorspielerei (10 Punkte)

a.) Es seien ~a = (1, 2, 1) und ~b = (−6, 2, 3) zwei Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum.

Man berechne: (i) ihr Skalarprodukt, (ii) ihr Vektorprodukt, (iii) die Projektionslänge a

k

(von ~a auf ~b ) und b

k

(von ~b auf ~a ), sowie (iv) den Winkel zwischen ~a und ~b .

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b.) Für rotationssymmetrische Probleme in der Physik ist es häug sinnvoll von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten zu wechseln, welche gegeben sind durch:

~ r = (x, y, z) = (r sin(θ) cos(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(θ)) .

Berechnen Sie |~ r| der Kugelkoordinaten und bestimmen Sie die Einheitsvektoren ~ e

_r

, ~ e

_θ

,

~ e

_φ

.

c.) Man zeige, dass die sogenannte bac-cab-Formel (Graÿmann-Identität) ~a × ( ~b × ~c) = ~b(~a ·

~c) − ~c( ~a · ~b) gilt.

d.) Man vereinfache (~a × ~b) · (~c × d) ~ mit Hilfe der bac-cab-Formel aus c.).

Aufgabe 1.2: Matrizenspielerei (10 Punkte)

a.) Zeigen Sie, dass für die Spur des Produkts der n × n -Matrizen A = (a

_ij

) und B = (b

_ij

) gilt: Spur (A B) = Spur (B A) .

b.) Man zeige, dass

D = 1

√ 2





1 −1 0

1 1 0

0 0 √

2 



(i) eine Drehmatrix (ii) um die z− Achse (iii) mit Drehwinkel π/4 ist.

c.) Zeigen Sie, dass das Spatprodukt ~a · ( ~b × ~c) zyklisch vertauschbar ist.

d.) Seien X , Y , Z beliebige n × n Matrizen und der Kommutator zweier Matrizen deniert als [X, Y ] = XY − Y X .

(i) Zeigen Sie [X, Y + Z] = [X, Y ] + [X, Z] und [X, Y ] = −[Y, X] . (ii) Berechnen Sie [X, [Y, Z ]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] .

Aufgabe 1.3: Einmal in Kugelkoordinaten bitte! (10 Punkte)

Die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems kann entscheidend zur Lösbarkeit eines phy- sikalischen Problems beitragen. Daher soll an den folgenden Problemen die Darstellung in Kugelkoordinaten geübt werden:

a.) Stellen Sie das Vektorfeld A ~ = z

²

~ e

₁

+ 3 x ~ e

₂

+ y ~ e

₃

in Kugelkoordinaten dar.

b.) Bestimmen Sie in Kugelkoordinaten den Geschwindigkeitsvector ~ v (r(t), θ(t), φ(t)) = ˙ ~ r

sowie den Beschleunigungsvector ~a (r(t), θ(t), φ(t)) = ˙ ~ v eines Massepunktes auf der Bahn-

kurve ~ r(t) = r(t) ~ e

_r

(t) . Geben Sie anschlieÿend die radiale Komponente der Kraft an die

auf den Massepunkt mit konstanter Masse wirkt.