Bei Multiplikation eines Vektors~a mit einem Skalars(s ∈R) werden die Koordinatenak mits multipli- ziert:
s
a1
a2 a3
=
sa1
sa2 sa3
.
Die Multiplikation mit s bewirkt eine Skalierung der L¨ange des Vektors um den Faktor|s|. Die Richtung bleibt f¨urs >0 unver¨andert; f¨urs <0 kehrt sie sich um.
Speziell ist 0~a=~0.
Beispiel
Linearkombinationenen der Vektoren
~a= (2,−3,1)t, ~b = (1,−2,0)t
(i)~c = 2~a−3~b:
Multiplikation mit den Skalaren 2, 3
2~a= 2
2
−3 1
=
2·2 2·(−3)
2·1
=
4
−6 2
, 3~b =
3
−6 0
Bilden der Differenz
~c = 2~a−3~b=
4
−6 2
−
3
−6 0
=
4−3
−6−(−6) 2−0
=
1 0 2
2 / 5
3~c = 3
1 0 2
=
3 0 6
, 2~b =
2
−4 0
~d =
3 0 6
+
2
−4 0
=
5
−4 6
alternativ:
~d = 3~c+ 2~b = 3(2~a−3~b) + 2~b= 6~a−7~b
= 6
2
−3 1
−7
1
−2 0
=
12−7
−18−(−14) 6−0
=
5
−4 6
X
Beispiel
Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck:
~s = 1 3
~a+~b+~c
Herleitung durch Darstellung der Punkte mit Hilfe von Ortsvektoren
A→−→
OA=~a, Ma →m~a=−→
OB+−−→
BMa =~b+ 1
2(~c−~b), etc.
4 / 5
~p =~a+t(m~a−~a), t∈[0,1],
der Verbindungsstrecke AMa
~p =~a+t 1
2~b+1 2~c −~a
t = 2/3 =⇒ ~p =~s = (~a+~b+~c)/3, d.h.S teilt AMa im Verh¨altnis 2/3 : 1/3∼2 : 1
analoges Argument f¨ur BMb und CMc
