sin(x)dx: (3 Punkte) Aufgabe 3 (Konversion von Dierentialgleichung in Rekursionsgleichung) Konvertieren Sie die Dierentialgleichung von f (x

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 13 GESCHICHTE DER ANALYSIS 24.01.2008

Aufgabe 1 (Exponentialfunktion)

(a) Sei xn eine Folge mit Grenzwert x. Zeigen Sie, dass dann

n!1lim

1 +x_n n

_n

= e^x gilt. Betrachten Sie dazu den Grenzwert von

ln 1 + x_n

n _n

: Hinweis: Verwenden Sie die Logarithmusreihe.

(b) Sei x 2 R. Bestimmen Sie unter Verwendung der Aussage (a) den Grenzwert der Folgen ln

n + 1 n

₂!_n!

und

1 + x n²

_n :

(4 Punkte)

Aufgabe 2 (Ableitungsregeln)

Zeigen Sie die folgenden Ableitungsregeln (a) d(sin(x)) = cos(x)dx

(b) d(cos(x)) = sin(x)dx:

(3 Punkte)

Aufgabe 3 (Konversion von Dierentialgleichung in Rekursionsgleichung) Konvertieren Sie die Dierentialgleichung von f (x) = (1 + x)

(1 + x)f⁰(x) f (x) = 0 in die Rekursionsgleichung

(1 + k)a_k+1 ( k)a_k = 0 fur die Koezienten a_k der zu f (x) gehorigen Potenzreihe P¹

k=0a_kx^k. Hinweis: Machen Sie den Ansatz f (x) = P¹

k=0a_kx^k und setzen Sie diesen in die Dierentialgleichung ein.

(3 Punkte)

Abgabetermin: Donnerstag, 31.01.2008, 14.15 Uhr in der Ubung.