Probleme des Satzes

(1)

Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien

Warum Kategorientheorie?

Daniel Tubbenhauer - 02.04.2012

Georg-August-Universit¨at G¨ottingen

Cat C

SET

AB GRP

TOP*

TOP

K-VS Gr G

AB^op C

Hom(-,-) Hom(-,O)

V - Hom(-,V) H (-)n

ACT

K(-,n) n=1

n>1 Δ

πn(-) (-)

xC

-x- ^Fo

rget

Forget Forget

ι(-) - / [-

,-]

Free

* Free Drop

Join*

(2)

Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien

Eine Verallgemeinerung bekannter Begriffe

Geschlossen Total Assoziativ Eins Inverses

Gruppe Ja Ja Ja Ja Ja

Monoid Ja Ja Ja Ja Nein

Halbgruppe Ja Ja Ja Nein Nein

Magma Ja Ja Nein Nein Nein

Groupoid Ja Nein Ja Ja Ja

Kategorie Nein Nein Ja Ja Nein

Halbkategorie Nein Nein Ja Nein Nein

Prekategorie Nein Nein Nein Nein Nein

(3)

Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Leonard Euler und konvexe Polyeder

Eulerscher Polyedersatz

Leonard Euler (15.04.1707-18.09.1783)

Eulerscher Polyedersatz (1736) Sei P ⊂R³ ein konvexes

Polyeder mit E Ecken,K Kanten und F Fl¨achen. Dann gilt

χ=E−K +F = 2.

Hierbei bezeichnet χdie Euler Charakteristik.

(4)

Eulerscher Polyedersatz

Polyeder E K F χ

Tetraeder 4 6 4 2

W¨urfel 8 12 6 2

Oktaeder 6 12 8 2

Dodekaeder 20 30 12 2 Isokaeder 12 30 20 2

Eulerscher Polyedersatz (1736) Sei P ⊂R³ ein konvexes

Polyeder mit E Ecken,K Kanten und F Fl¨achen. Dann gilt

χ=E−K +F = 2.

Hierbei bezeichnet χdie Euler Charakteristik.

(5)

Probleme des Satzes

Der Eulersche Polyedersatz ist in seiner urspr¨unglichen

Formulierung intrinsisch, d.h. er h¨angt von derEinbettung des Polyeder ab.

Er beantwortet die Frage nicht, was f¨ur nicht konvexe Polyeder gilt.

Ein Tetrahemihexahedron hat aber z.B. E = 6,K = 12 und F = 7, alsoχ= 1.

Eine allgemeinere Formulierung ist w¨unschenswert!

(6)

Probleme des Satzes

Ein Tetrahemihexahedron hat aber z.B. E = 6,K = 12 und F = 7, alsoχ= 1.

(7)

Probleme des Satzes

Ein Tetrahemihexahedron hat aber z.B.

E = 6,K = 12 und F = 7, alsoχ= 1.

(8)

Probleme des Satzes

Ein Tetrahemihexahedron hat aber z.B.

E = 6,K = 12 und F = 7, alsoχ= 1.

Eine allgemeinereFormulierung ist w¨unschenswert!

(9)

Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Bernhard Riemann und Enrico Betti

Zwei bedeutende Mathematiker

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17.09.1826-20.07.1866)

Enrico Betti (21.10.1823-11.08.1892)

(10)

Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Bernhard Riemann definiert bereits in seiner ber¨uhmten Abhandlung

”Theorie der Abel’scher Functionen“ (1857) eine fr¨uhe Version der Bettizahlen.

Er sagt eine Fl¨ache S sei n-fach zusammenh¨angend, wenn maximal n KurvenC_k so existieren, dass keine Teilmenge der C_k einen Rand eines Teils von S bilden. Diese Zahl nennt er Zusammenhangszahl Z.

Er zeigt, dass Z nicht von der Wahl der Kurven abh¨angt.

(11)

Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Er sagt eine Fl¨ache S sei n-fach zusammenh¨angend, wenn maximal n KurvenC_k so existieren, dass keine Teilmenge der C_k einen Rand eines Teils von S bilden.

Diese Zahl nennt er Zusammenhangszahl Z.

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Weiter zeigt er, dass Z der maximalen Anzahl der ¨uber- schneidungsfreien Schnitte so entspricht, dass S danach zusammenh¨angend bleibt.

Aus heutiger Sicht ist Z= 2 dimH1(S,Z/2) und die

Interaktion der Schnitte mit den C_k ist ein erster Hinweis auf die Poincar´e Dualit¨at.

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Aus heutiger Sicht ist Z= 2 dimH1(S,Z/2) und die

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Aus heutiger Sicht istZ = 2 dimH1(S,Z/2)

und die

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Bettizahlen - erste Schritte (1857)

Aus heutiger Sicht istZ = 2 dimH1(S,Z/2) und die

(18)

Probleme mit Riemanns Formulierung

Bernhard Riemann ist sehrungenau mit den Begriffen Fl¨ache, Kurve, Schnitt und Teil.

Tats¨achlich klappt eine Teil seines Beweises deswegen auch nicht.

Weiter ist seine Konstruktion von der Wahl einer Basis des R³ abh¨angig.

Erst Enrico Betti schafft es 1871 mit genaueren Begriffen zu zeigen, dass Z eine Invarianteder Fl¨ache ist (allerdings ist sein Beweis noch fehlerhaft).

(19)

Probleme mit Riemanns Formulierung

(20)

Probleme mit Riemanns Formulierung

(21)

Probleme mit Riemanns Formulierung

Erst Enrico Betti schafft es 1871 mit genaueren Begriffen zu zeigen, dass Z eine Invarianteder Fl¨ache ist

(allerdings ist sein Beweis noch fehlerhaft).

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Probleme mit Riemanns Formulierung

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Anfänge der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenständig Grothendiecks n-Kategorien Henri Poincaré - Vater der Topologie

Zwei fundamentale Begriffe der Topologie

Jules Henri Poincar´e (29.04.1854-17.07.1912)

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Zwei fundamentale Begriffe der Topologie

Jules Henri Poincar´e (29.04.1854-17.07.1912)

Die Fundamentalgruppe (”Analysis Situs“ 1895) Sei M eine stückweise lineare n-Mannigfaltigkeit (variété). Sei m∈M. Dann ist die Gruppe aller Homotopieklassen von Schleifen fundiert in m, genannt π1(M,m), eine Invariante von M.

(25)

Zwei fundamentale Begriffe der Topologie

(26)

Zwei fundamentale Begriffe der Topologie

Die Bettizahlen und Dualität (”Analysis Situs“ 1895) Sei M eine stückweise lineare n-Mannigfaltigkeit (variété).

Dann sind die Bettizahlenb_k eine Invariante vonM. Weiter gilt bk =bn−k und die alternierende Summe ist χ=P

k(−1)^kb_k.

(27)

Zwei fundamentale Begriffe der Topologie

Die Bettizahlen und Dualität (”Analysis Situs“ 1895) Sei M eine stückweise lineare n-Mannigfaltigkeit (variété).

Dann sind die Bettizahlenb_k eine Invariante vonM. Weiter gilt bk =bn−k und die alternierende Summe ist χ=P

k(−1)^kb_k.

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Ein fundamental neuer Standpunkt

Henri Poincar´e ist auch nicht sehr striktmit seinen

Formulierungen, was aber im Laufe der n¨achsten Jahre durch andere angepasst wird.

Das eigentliche Problem ist, dass fast alle seine Argumente sehr spezifisch sind und deswegensehr kompliziertwerden und auch ad hoc wirken. Es fehlt der gr¨oßere

Zusammenhang. Weiter sind viele seiner Definitionen nur für eine spezielle Klasse von Räumen gültig.

Aber sein Werk ist trotzdem sehr einflussreichund inspiriert ein große Zahl nachfolgender Mathematiker. Im Laufe der n¨achsten Jahrzehnte werden viele Fortschritte gemacht, wie z.B. Torsions Koeffizienten, die K¨unneth-Formel und der Fixpunktsatz von Brouwer.

Allerdings lassen die Fortschritte lange auf sich warten und viele der Theorem haben einen kompliziertenBeweis.

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Ein fundamental neuer Standpunkt

Das eigentliche Problem ist, dass fast alle seine Argumente sehr spezifisch sind und deswegensehr kompliziertwerden und auch ad hoc wirken.

Es fehlt der gr¨oßere

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Ein fundamental neuer Standpunkt

Zusammenhang.

Weiter sind viele seiner Definitionen nur für eine spezielle Klasse von Räumen gültig.

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Ein fundamental neuer Standpunkt

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Ein fundamental neuer Standpunkt

Aber sein Werk ist trotzdem sehr einflussreichund inspiriert ein große Zahl nachfolgender Mathematiker.

Im Laufe der n¨achsten Jahrzehnte werden viele Fortschritte gemacht, wie z.B. Torsions Koeffizienten, die K¨unneth-Formel und der Fixpunktsatz von Brouwer.

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Ein fundamental neuer Standpunkt

(34)

Ein fundamental neuer Standpunkt

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Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Homologiegruppen

The G¨ ottingen connection

Amalie Emmy Noether (23.03.1882-14.05.1935)

Heinz Hopf (19.11.1894-03.06.1971)

(36)

Bettizahlen als Gruppen (1925-1927)

W¨ahrendihrer Vorlesung und w¨ahrend der Vorlesung von Heinz Hopf entwickelte Emmy Noether ein bahnbrechendes neues Konzept zum Studium der Bettizahlen.

Sie fasste sie als abelsche Gruppenauf und nicht nur als Zahlen, die wohl bekannten Homologiegruppen Hi(·).

Heinz Hopf erkannte den Vorteil dieser Sichtweise: zwischen Gruppen gibt es zus¨atzlichnoch Abbildungen, welche man studieren kann. Tats¨achlich sind diese sogar interessanter als die Gruppen selbst. eine Erkenntnis, welche in der

Kategorientheoriekonsequent fortgesetzt wird: Morphismen sind wichtiger als Objekte, 2-Morphismen als Morphismen usw.

Aus heutiger Sicht w¨urde man sagen Emmy Noether und Heinz Hopf haben den Begriff

”Bettizahl“ kategorifiziert.

(37)

Bettizahlen als Gruppen (1925-1927)

W¨ahrendihrer Vorlesung und w¨ahrend der Vorlesung von Heinz Hopf entwickelte Emmy Noether ein bahnbrechendes neues Konzept zum Studium der Bettizahlen. Sie fasste sie als abelsche Gruppenauf und nicht nur als Zahlen, die wohl bekannten Homologiegruppen Hi(·).

Heinz Hopf erkannte den Vorteil dieser Sichtweise: zwischen Gruppen gibt es zus¨atzlichnoch Abbildungen, welche man studieren kann. Tats¨achlich sind diese sogar interessanter als die Gruppen selbst. eine Erkenntnis, welche in der

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Bettizahlen als Gruppen (1925-1927)

Heinz Hopf erkannte den Vorteil dieser Sichtweise: zwischen Gruppen gibt es zus¨atzlich noch Abbildungen, welche man studieren kann.

Tats¨achlich sind diese sogar interessanter als die Gruppen selbst. eine Erkenntnis, welche in der

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Bettizahlen als Gruppen (1925-1927)

Heinz Hopf erkannte den Vorteil dieser Sichtweise: zwischen Gruppen gibt es zus¨atzlich noch Abbildungen, welche man studieren kann. Tats¨achlich sind diese sogar interessanter als die Gruppen selbst. eine Erkenntnis, welche in der

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Bettizahlen als Gruppen (1925-1927)

Heinz Hopf erkannte den Vorteil dieser Sichtweise: zwischen Gruppen gibt es zus¨atzlich noch Abbildungen, welche man studieren kann. Tats¨achlich sind diese sogar interessanter als die Gruppen selbst. eine Erkenntnis, welche in der

(41)

Kettenkomplexe (1929)

Nur kurze Zeit später, nämlich bereits 1929, veröffentlicht der australische Mathematiker Walther Mayer die rein

algebraische Notation desKettenkomplexes und stellt damit die Homologiegruppen dar.

. . .ôo ^δⁱ⁻¹ Ci−1(·)ôo ^δⁱ Ci(·)ôo ^δⁱ⁺¹ Ci+1(·)ôo ^δⁱ⁺² . . . Hierbei ist δ_i ◦δ_i+1= 0, was es deswegen erlaubt

Hi(·) = ker(δ_i)/im(δi+1) zu definieren. Damit ist die Euler CharakteristikP

k(−1)^krk(H_k(·)).

Aus heutiger Sicht w¨urde man sagen Walther Mayer hat den Begriff

”Euler Charakteristik“ kategorifiziert.

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Kettenkomplexe (1929)

. . .ôo ^δⁱ⁻¹ Ci−1(·)ôo ^δⁱ Ci(·)ôo ^δⁱ⁺¹ Ci+1(·)ôo ^δⁱ⁺² . . .

Hierbei ist δ_i ◦δ_i+1= 0, was es deswegen erlaubt

k(−1)^krk(H_k(·)).

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Kettenkomplexe (1929)

. . .ôo ^δⁱ⁻¹ Ci−1(·)ôo ^δⁱ Ci(·)ôo ^δⁱ⁺¹ Ci+1(·)ôo ^δⁱ⁺² . . . Hierbei ist δi ◦δi+1= 0, was es deswegen erlaubt

k(−1)^krk(H_k(·)).

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Kettenkomplexe (1929)

. . .ôo ^δⁱ⁻¹ Ci−1(·)ôo ^δⁱ Ci(·)ôo ^δⁱ⁺¹ Ci+1(·)ôo ^δⁱ⁺² . . . Hierbei ist δi ◦δi+1= 0, was es deswegen erlaubt

k(−1)^krk(H_k(·)).

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Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Beispiele

Karten und Kaffeetassen

Fixpunktsatz von Brouwer (1909)

Seif :Dⁿ→Dⁿ stetig. Dann hatf mindestens einen Fixpunkt.

Beweis.

Folgt direkt aus dem Lefschetzen Fixpunktsatz, welcher besagt, dass jede stetige Selbstabbildungf :X →X zwischen einem endlichen CW KomplexX mit Λ_f 6= 0 einen Fixpunkt besitzt. Hierbei ist

Λ_f =X

k≥0

(−1)^kTr(H_k(f,Q) : H_k(X,Q)→H_k(X,Q))

und die einzige nicht triviale Homologiegruppe vonDⁿ ist H0. Ohne die Abbildungen (Morphismen) zwischen den Gruppen ist obiger Beweis nicht m¨oglich.

(46)

Karten und Kaffeetassen

Beweis.

Folgt direkt aus dem Lefschetzen Fixpunktsatz, welcher besagt, dass jede stetige Selbstabbildungf :X →X zwischen einem endlichen CW KomplexX mit Λ_f 6= 0 einen Fixpunkt besitzt.

Hierbei ist Λ_f =X

k≥0

und die einzige nicht triviale Homologiegruppe vonDⁿ ist H0.

Ohne die Abbildungen (Morphismen) zwischen den Gruppen ist obiger Beweis nicht m¨oglich.

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Karten und Kaffeetassen

Beweis.

Folgt direkt aus dem Lefschetzen Fixpunktsatz, welcher besagt, dass jede stetige Selbstabbildungf :X →X zwischen einem endlichen CW KomplexX mit Λ_f 6= 0 einen Fixpunkt besitzt.

Hierbei ist Λ_f =X

k≥0

und die einzige nicht triviale Homologiegruppe vonDⁿ ist H0. Ohne die Abbildungen (Morphismen) zwischen den Gruppen ist obiger Beweis nicht m¨oglich.

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Karten und Kaffeetassen

In einer Dimension ist der Fixpunktsatz von Brouwer nur der Zwischenwertsatz.

In zwei Dimensionen sagt er, dass aufjeder Kartemindestens ein Punkt fixiert wird; der ”you are here” Marker. In drei Dimensionen sagt er, dass man seinen Kaffee beliebig starkr¨uhren kann: ein Punkt bleibt fix.

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Karten und Kaffeetassen

In einer Dimension ist der Fixpunktsatz von Brouwer nur der Zwischenwertsatz. In zwei Dimensionen sagt er, dass aufjeder Kartemindestens ein Punkt fixiert wird; der ”you are here”

Marker.

In drei Dimensionen sagt er, dass man seinen Kaffee beliebig starkr¨uhren kann: ein Punkt bleibt fix.

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Karten und Kaffeetassen

In einer Dimension ist der Fixpunktsatz von Brouwer nur der Zwischenwertsatz. In zwei Dimensionen sagt er, dass aufjeder Kartemindestens ein Punkt fixiert wird; der ”you are here”

Marker. In drei Dimensionen sagt er, dass man seinen Kaffee beliebig starkr¨uhren kann: ein Punkt bleibt fix.

(51)

Der Fundamentalsatz der Algebra

Fundamentalsatz der Algebra (Folklore)

Seip(x) =xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a0 ein Polynom mitn >0 und a_k ∈C. Dann hat p mindestens eine Nullstelle in C.

Beweis.

(52)

Der Fundamentalsatz der Algebra

Beweis.

Es istH₁(S¹) =Z und die einzigen Gruppenhomomorphismen Z→Zsind die Multiplikationen mit ±n.

Weiter istH1(z →zⁿ) =·n die Multiplikation mitn f¨ur alle n∈N.

Angenommen es gibtp ohne Nullstelle.

(53)

Der Fundamentalsatz der Algebra

Beweis.

Wird definierenH,H⁰:S¹×[0,1]→S¹ durch H_t(z) = p(tz)

|p(tz)| undH_t⁰(z) = (1−t)H_t(z) +tzⁿ

|(1−t)Ht(z) +tzⁿ| (es ist nicht schwer zu zeigen, dass beide Nenner unter der Annahme, dassp keine Nullstelle hat, nie Null werden!) zwei Homotopien von der Konstanten Abbildung zup und von p zu z →zⁿ.

Damit folgt direkt ein Widerspruch, denn diese Homotopie impliziert·0 =H1(const) =H1(z →zⁿ) =·n.

(54)

Morphismen und ¨ Aquivalenz

Die beiden Beispiele illustrieren zweifundamentaleKonzepte der Kategorientheorie:

Morphismen sind mindestensgenauso interessant wie die Objekte. Wenn nicht sogar interessanter.

In den beiden Beispielen waren viele Begriffe nur bis auf eine Homotopiegegeben. In der Tat ist es eine wichtige Frage der Kategorientheorie, welche Äquivalenzrelationen”richtig” sind. So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist esAquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

(55)

Morphismen und ¨ Aquivalenz

In den beiden Beispielen waren viele Begriffe nur bis auf eine Homotopiegegeben. In der Tat ist es eine wichtige Frage der Kategorientheorie, welche Äquivalenzrelationen”richtig” sind. So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist esAquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Morphismen und ¨ Aquivalenz

In den beiden Beispielen waren viele Begriffe nur bis auf eine Homotopiegegeben. In der Tat ist es eine wichtige Frage der Kategorientheorie, welche ¨Aquivalenzrelationen”richtig”sind.

So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist esAquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Morphismen und ¨ Aquivalenz

So ist es z.B. f¨ur ObjekteIsomorphie,

für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist esAquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Morphismen und ¨ Aquivalenz

So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz

und für Kategorien ist esAquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Morphismen und ¨ Aquivalenz

So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist es Aquivalenz.¨

F¨ur h¨ohere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Morphismen und ¨ Aquivalenz

So ist es z.B. für ObjekteIsomorphie, für Funktoren ist es natürliche Äquivalenz und für Kategorien ist es Aquivalenz.¨ Für höhere Kategorien werden die beiden Punkte sogarnoch wichtiger.

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Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Rasante Entwicklungen

Kategorifizieren hilft

Die neue Sichtweise auf die Bettizahlen von Emmy Noether, Heinz Hopf und Walther Mayer hat eine rasante Entwicklung in der Topologie hervorgebracht. Und dastrotzder politischen und kriegsbedingten Schwierigkeiten 1930-1945.

Hier eine unvollst¨andige undrein subjektive Liste der”wichtigsten” Ereignisse innerhalb der Topologie/Algebra der Jahre 1930-1945:

Verschiedene Konstruktionen von Homologietheorien

(Alexander, Alexandroff, Lefschetz, ˇCech usw.), darunter auch Cohomologietheorien wie de Rham (1931) (dualeKonzepte). Homologie von Lie-Gruppen (Pontrjagin (1935), Hopf (1941)). Daraus entwickelte sich der Begriff Hopf Algebra, einer Algebra mit Comultiplikation (Pfeile umdrehen). Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen). H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

Hier eine unvollst¨andige undrein subjektiveListe der ”wichtigsten”

Ereignisse innerhalb der Topologie/Algebra der Jahre 1930-1945:

(Alexander, Alexandroff, Lefschetz, ˇCech usw.), darunter auch Cohomologietheorien wie de Rham (1931) (dualeKonzepte). Homologie von Lie-Gruppen (Pontrjagin (1935), Hopf (1941)). Daraus entwickelte sich der Begriff Hopf Algebra, einer Algebra mit Comultiplikation (Pfeile umdrehen). Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen). H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

(Alexander, Alexandroff, Lefschetz, ˇCech usw.), darunter auch Cohomologietheorien wie de Rham (1931) (dualeKonzepte).

Homologie von Lie-Gruppen (Pontrjagin (1935), Hopf (1941)). Daraus entwickelte sich der Begriff Hopf Algebra, einer Algebra mit Comultiplikation (Pfeile umdrehen). Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen). H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

Homologie von Lie-Gruppen (Pontrjagin (1935), Hopf (1941)). Daraus entwickelte sich der Begriff Hopf Algebra, einer Algebra mit Comultiplikation (Pfeile umdrehen).

Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen). H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen).

H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

Universellen Koeffizienten Theoreme von ˇCech (1935) (Z ist einuniverselles Objekt der Kategorie der abelschen Gruppen).

H¨ohere Homotopiegruppen von Hurewicz (1935)Homotopie in Kategorien).

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Kategorifizieren hilft

Die mathematische Beschreibung von Tensorprodukten wurde aus der Homologie von Tangentialb¨undeln von Whitney (1938) hergeleitet (monoidale Kategorien).

Definition und Theoreme f¨ur exakte Sequenzen von Hurewicz (1941). Hierbei spielt δ eine große Rolle (alsnat¨urliche Transformation).

Eilenberg und Mac Lane diskutieren Hom,Tor,Ext algebraisch (1942). Dabei entstehen neue Begriffe (es sind Funktoren).

Eilenberg und Steenrod geben eine axiomatische Definition von (Co-)Homologietheorie (1945), welche sp¨ater (1962) von Milnor erg¨anzt wird (auchH ist einFunktor).

Aber noch vielmehr...

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Kategorifizieren hilft

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Kategorifizieren hilft

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Kategorifizieren hilft

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Kategorifizieren hilft

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Anf¨ange der Topologie Kategorifizierung der Grundbegriffe Die Kategorientheorie wird eigenst¨andig Grothendiecks n-Kategorien Die ersten Definitionen

Zwei historische Pers¨ onlichkeiten

Links: Saunders Mac Lane (04.08.1909-14.04.2005) Rechts: Samuel Eilenberg (30.09.1913-30.01.1998)

(73)

Definition von Eilenberg und Mac Lane

Der Begriff ”Kategorie” erschien in Samuel Eilenbergs und Saunders Mac Lanes Artikel

”General Theory of Natural

Equivalences“ im Jahr 1945 fast aus dem Nichts. Es gab nur eine auf Gruppenbeschr¨ankteNotation in einem Artikel von ihnen aus dem Jahr 1942.

Wie der Titel bereits suggeriert waren sie allerdingsnichtso sehr an Kategorien interessiert, sondern an nat¨urlichen

Transformationen, welche sie auchnichtzum Selbstzweck

einf¨uhrten, sondern um Effekte aus der homologischen Algebra zu beschreiben (z.B. mit HomologiegruppenHn(·)).

Auch die Begriffe ”Funktor”, ”Limes” und ”Colimes” tauchen in dem Artikel zum ersten mal auf.

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Definition von Eilenberg und Mac Lane

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Definition von Eilenberg und Mac Lane

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Definition von Eilenberg und Mac Lane

Sie ¨ubernahmen den Begriff ”Kategorie” aus der Philosophie, n¨amlich von Aristoteles, Kant und Peirce, definierten ihn aber in einer mathematischstrikten Weise.

Ihre Definition beinhaltete die Notation der Klasse und Menge, war aber vor Allemehereine Art Metakalk¨ul.

Sie bemerkten bereits, dass man die Objekte nicht wirklich braucht, die Morphismen sind dasWichtige.

Es war 1945 noch nicht absehbar, dass Kategorientheoriemehr ist, als nur eine Sprechweise, um Effekte in der homologischen Algebra, z.B. die Notation Groupoid f¨ur dieπ_n(·) (ohne Wahl eines

Basispunktes), zu beschreiben.

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Definition von Eilenberg und Mac Lane

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