Skalwprodnkt anf

82

. HILBERT RAUHE

Motivation

: Math . Rahman

fir

^due Quantentheorie

Def

^{.: ° Ein}

Skalwprodnkt ^anf

^{einem IK- Vehtorraum H}

⁽

^unit

^{Ket Ric} } )

^{ist eine}

Abbildwng

^{e- , . > : 71×71 →}

^K fer

^die

gilt

^:

^tf

^,

^,tEH

^:

(^:) ^<

f. f

^{> s.} 0 und ^<

f.

^{l> .- 0⇐t}

f=o

lii ) the 1k : < µ _,

tf

, +

f

,

> = net .

f

,

> + <

t.li

^>

1iii) ^<

f.

µ^{> : <}

f.

f ^>

° (H

, e.

,

.s

) heft

Proihilbutraum .

Ben ^.: ^. Far gedes YEH ist

ft

^<

4.4

^{> ein linens Funkkonal}

ant

^H ,

d.h.

eine linear Abb. wit Wvteu in K.

• Aus (ⁱⁱ) R ⁽ⁱⁿ)

folgt

^{e Xt}

^,f

^{> :}

^I

^et,

^fs

^.

( Achtung

^: Mathematikv

defiuiveu

^das

Shalwprodnkt

^{must so} ,

classes linear

in ushu &

konjugivt

^{linear in zwiten}

Argument

^ist

^? )

Satti

( Cauchy

^{- Schwarz}

)

^{1st H ein} Proihilbwtraum

, dann

gilt

^K

^f.

^{t.CH :}

khtspe

^<

f.

9^> etits

Beweis

^{: →}

libungsblatt

Sate ^:

(

As ^-

Ungl

^.

)

^1st 71 ein Prihilbvtraum

, dam

gilt

^hit

^Htll

^{: :< 4.4> "}

for

^able

^MEH

^:

114+911

e

11411+11911

Bewn

^'s:

114+4112

⁼ a ttl ^.

ttf

^{> ..}

114112+11911 't

^<

tip

^{> +}

elites

^e

( 11411+1141112

÷

11111411 wach CS

D

83

Ben

^.:

Dawit

^{ist 11.11} tatsaohlich are Norm und H unit 71×71 ^→ IR : (4. 4) ^↳ 114411 ein metrischer Raum .

Satz :

( Parallelogram mgl

^.

⁾

^:

1st 71 ein Praihilbertraum

,

dann

gilt ^Kf

^{, t.CH :}

114+4112+114

^-

tli

^:

2114112+211411

^' ₊ r =

.

( Summer do

Diagonal

^{! = Summer dv Sited}

)

7

Bewu^{'s: →}

kbungsblatt

Ben .: Eine Norm

vfinllt

^{diese GL.} g. ^{d. w . sie von} linen

Skalwprodnkt

^{kommt . Far}

112=6

gilt

^{danu die ,,} Polarisations

formal

^{" : 4 <}

f.

^{ts :}

Hfttli

^{. 11} f-

Mitillftitll

^'.

illfitlp

Sate

^{: 1st} H ein Praihilbertraum und

FEH

, dann Sind

folgende Abbildungen ^auf

^H

gleichwapigstetig

^:

Lil

th

^ef, 4^>

(ii) µ ^{ns e µ.} y ^>

( ⁱⁱⁱ ) µ ^{h ,} 11411

:

Bewcisi

Lⁱ) ollii ) ^:

let

^,

^.f

^{> - it . ,f >1 = let , - K,4> 1 E 11 K. tz 1111411}

hit 8 :=

Ee

_,, ^{bedmtet dies :}

He ^> OFS ^:

Hk

^-

till

^< S ⇒

lek ,l

^{> -}

ttzif

^>

1<

{

Da Sunabh . von tnk ^ist

, ist we

Stetrgkeit glcichmipig

^.

(

iii

)

^{111411- 114211 E 1114- 4211}

s^.

Tiny

^{.: lltntt , -}

^t.li

^{1114- till + HKI}

Dawit

gilt

^{arch 1111411 - 11h11}

It ^HK

^-

^till

D. L. He ^> 0 FS : Htn^. till ^{e S ⇒ /} 11h11^. 1114111 ^"E

:

D

84

Def

^{.i Ein Hilbert raum H ist ein} Prirhilbertrawm

, du ( alsmetnischw

Raum )

vollstandigist ⁽

^{d.L. alle}

Canchyfolgen konuwgiereu

^{in H}

)

^{. Wenn lK= E ( k: R}

)

_,

heipt

^{74 ,}

komplu

^"

(

bzw. " reek ^"

)

.

Bsp

^{. von Hilbert trainmen :}

. L^' (^R) unit ^< 4,4 ^{> ÷}

)n #

flx⁾

µ(

^dx)

. L'( w) ^:

:L

^teen

/ E.

_µ ^{lkl ' < a}

}

^{unit < til > i:}

I2µIh

. H ^:

Cid

unit < t.li ^{> :-.}

If

,

If

,

° Prinhilbwtranm du kein

Hilbertraum

ist : (

(

[ on ]

)

unit ^<

t.fi :=§t#

^{flx ) ok}

Hier

existrvt

line

Foley fue

^C

⁽

^{[97 )}

)

, so class

0 p

Hfu

^.

f

^{11 → 0}

fer fe ^{[ (}

^{[on ]}

^)|C(

^{[on ]}

⁾ §

• .

Def

^{. : Sei H ein} Praihilbertraum

, MEH .

feH

huipt orthogonal

^zu

felt

^{, weuu <}

^f

^{, t > = 0}

⁽

^⇐'s

^{fit )}

.

Mt

^:-.

f ^f

^{e 71}

^/

^{V. t.ch : it}

^,f

^>:O

} ^heft Orthogonal ^kompllmeut

^{run M .}

Cor. :

( Pythagoras )

^Sind

_f.

4 Element eiwes Prinhilbertraumes

, dann

gilt

^:

fit

^⇒

11ft 4112=11411 't

^11411' .

Beweis ^: lt 4112 ^{: <}

ftp.ftts

^{= 11411't 11µA' + <}

fits

^{+ < 4,4 > . D}

-

= 0

Satz ^: _1st Me H ein Uuterraum eihes Hilbertraums H

, dann istdas

Orthogonal

^-

komplement

^{Mt ein}

abgeschlosseuer

^{Uutwramn van 74 .}

(

^{Uuterraum weint hier stets} , , Untervektorraum ^"

)

85

Bewcis

^:

Weger ^{( tent}

^{⇒ item}

)

ⁿ

⁽ tile Mt

^--t Tt

f

^E

Mt )

^{ist M' ein Unterraum .}

Far te ^M

gilt

^wit

^f

^{(f ) : -- et,f >}, class

Tt

^:-

f f

^E74

I f

If^{): o}

}

⁼

f

^-"

⁽

⁴⁰³

⁾

^.

Da

f stetig

^{und to}

^} abgeschlossen

^{ist , ist auch das Urbild t '}

abgeschlassen

^.

Dami ^{'t ist ouch} Mt ⁼ A t ^'

abgeschlosseh

^.

TEM D

Bem

^{... Ein}

Bsp

^.

fir

^{einen nicht}

abgeschlosseheu

^{Uutwraum wire V: =} span

( ^f

^e,

}

;eµ

)

^{E L}, Car ).

Hier

gilt ⁴

^EV

⁽

^{da Vnur endliche Linear Kombi nation en en th-alt}

)

^{aber T -- Lz .}

Satz

: 1st M eine nicht le_ere

,

kouveee

_,

abgeschlossene Teilmeuge

^{eines Hilbert ramus 74 ,}

dawn

gibt

^{es ein}

eindentiges ^Element to

^EM, so class Htt Mi It

toll

^{E It} TH .

Bennis

^{: S}

inf

^{It tell. Wahle the M , so dass II tu H → S .}

te M to

Parallelogram mg

^{. ⇒ It "}

-

Ink

^{! 311 till ' till}

^tuk

^{'- It "}

Itm ^II ④

^"

^{/ /}

^{..-.....• O}

I

,

I

(

11h11't

Html )

^-

^s

^'

"

4th

^{e M}

weyenkouvcxitat

Dawit ist (_tu)

Cauchy

^- Foliage und tu → to e 71

wog^. Vous

tandigkeit

^{. to c.M} wog^.

Abgeschlussenhit

^.

Stelrgheit

^{du Norm}

_gwan

^Nut

Atoll

:

hiya ^11h11

^{= 8 .}

Augen

^{our men}

^Ole

^M

erfillt ^Hall

^.-8 , dann

gilt

^{unit der}

Ung

^{.she He wie eben:}

11 to-24

IT

^{= .-. ±} I

(

^{It toll' t 11411'}

)

^-

⁵⁼⁰

, also ¹¹ to^- 4 ^{H' O und damit Of -} to ^. D

Bein

.: Far

je

^{de nicht here ,}

kouveee

,

abgeschlosseue Teilmeuge

^{M ist damit eine Ab}

bildung

Pn ^:71 ^→ M

, Tts to

deficient

^{. Pm}

vfillt PI

^-- Pm _, d.^h. Pm ist eine

Projekt

^{ion .}