Skalwprodnkt anf

Motivation

^: Math. Rahman

fir

^due

Quantentheorie

Def

^{.: ° Ein}

Skalwprodnkt anf

^{einem IK-} Vehtorraum H

(

^unit

Ket Ric } )

ist eine

Abbildwng

^{e-, .> : 71×71 →}

^{K fer}

^die

gilt

^:

^tf

^,

^,tEH

^:

(^:) ^<

f. f

^{> s.}0 und ^<

f.

^{l>.- 0⇐t}

f=o

lii ) the 1k : < µ_,

tf

,+

f

,

>= net.

f

,

> + ^<

t.li

^>

1iii) ^<

f.

µ^{> : <}

f.

f^>

°

(

H

, e.

,

.s

) heft

Proihilbutraum.

Ben.: ^. Far

gedes

^{YEH ist}

ft

^<

4.4

^{> ein} linens Funkkonal

ant

^H,

d.h.

eine linear Abb. wit Wvteu ⁱⁿ K.

• Aus (ii) R ⁽ⁱⁿ)

folgt

^{e Xt}

^,f

^>:

^I

^et,

^fs

^.

( Achtung

^: Mathematikv

defiuiveu

^das

Shalwprodnkt

^{must so} ,

classes linear

in ushu &

konjugivt

^{linear in zwiten}

Argument

^ist?

⁾

Satti

( Cauchy

^-

^Schwarz )

^{1st H ein} Proihilbwtraum

, dann

gilt

^K

^f.

^t.CH:

khtspe

^<

f.

9^>etits

Beweis

^{: →}

libungsblatt

Sate:

(

^As-

Ungl

^.

⁾

^{1st 71 ein} Prihilbvtraum

, dam

gilt

^hit

^Htll

^{:: <4.4>"}

for

^able

^MEH

^:

114+911

e

11411+11911

Bewn

^'s:

114+4112

^{= a} ttl.

ttf

^{> ..}

114112+11911 ^'t

^<

tip

^{> +}

elites

^e

( 11411+1141112

÷ _11111411

_{wach CS}

D

Ben

^.:

Dawit

^ist 11.11 tatsaohlich are Norm und H unit 71×71^→ IR^: (4.4)^↳ 114411 ein metrischer Raum.

Satz:

( Parallelogram mgl

^.

)

^:

1st 71 ein Praihilbertraum

,

dann

gilt ^Kf

^,t.CH:

114+4112+114

^-

tli

^:

2114112+211411

^' ₊ ^{r =}

.

(Summer do

Diagonal

^{! = Summer dv Sited}

)

7

Bewu^{'s: →}

kbungsblatt

Ben

.: Eine Norm

vfinllt

^{diese GL.} g.^{d.w. sie von} linen

Skalwprodnkt ^kommt

^{. Far}

112=6

gilt

^{danu die , ,} Polarisations

formal

^{": 4 <}

f.

^ts:

Hfttli

^. 11

f- Mitillftitll

^'.

illfitlp

Sate

^: 1st H ein Praihilbertraum und

FEH

, dann Sind

folgende Abbildungen ^auf

^H

gleichwapigstetig

^:

Lil

th

ef,4^>

(ⁱⁱ) µ ^{ns e} µ.y^>

(ⁱⁱⁱ) µ h, 11411

:

Bewcisi

^Li) ollii ) ^:

let

^,

^.f

^{> - it.,f>}

¹

^{= let,- K,4>}

1

^E

11

^{K. tz}

1111411

hit 8:=

Ee

,, bedmtet dies:

He

^>OFS:

Hk

^-

till

^< S

lek ,l

^>-

ttzif

^>

1<

^{

Da Sunabh. von tnk ^ist_, ist we

Stetrgkeit glcichmipig

^.

(

iii

) ¹¹¹⁴¹¹

^-

¹¹⁴²¹¹

^E

1114

^-

4211

s^.

Tiny

^{.: lltntt,-}

^t.li

^{1114-till+ HKI}

Dawit

gilt

^arch

1111411

^-11h11

It ^HK

^-

^till

D.^L. He^>0 FS: Htn^.till ^{e S}

/

^11h11.

1114111

^"E

:

D

④

DEI

^{Ein Hilbertraum 74 ist ein} Prirhilbertraum

, der

(

arts nnetnischw

Raum )

rollstan

dig

^ist

(

^{d.h. alle}

Cauchy folger lronvergiereu

^{in 74}

)

^{. Wenn IK-- E (IK--IR}

⁾

,

heipt

^{74 "}

komplee

^"

⁽

^{bzw. "reel"}

⁾

^.

Bspi

^{von Hilbertrainmen :}

o L^' (r) wit ^et.es^:-.

fetus

^feel

^pride

⁾

• Ecw)^{: :}

ft

^{e e"}

I E.

w

Itil^{' e a}

}

^{mit et.}Is^:-.

Earth

. Hi

Ed

unit -t.es^:--

÷d

,

t.fi

° Prihilbeetraum du Kein Hilbertraum ist : (

(

^to.rs

)

^{wit e t,}

f

^s:-.

!

^fix)ok

^

Hier

eeistrvt

eine

Foye ^fu

^{E C}

⁽

⁵⁹⁷³

⁾

^{, so class} e

I

11h

^-

ft

^-so

far feiltondlclto.nl ⁾ / §

Det

^{Sei 71 ein Prihilbertraum , MEN .}

-

felt heipt orthogonal

^zu

^YEH

^{, wenn}

^et

^{, t>= O}

^{( ft}

^t

⁾

•

Mt

^:--

f f

^c-71

/

^{tteh: rt}

if

^{>: O}

} ^heft _Orthogonal leoinplement

^{von M.}

Cor. :

( Pythagoras ⁾

^Sind

^f

^{,t Elemente eines} Prinhilbertraumes_, damn

gilt

^:

-

ftt Hfttli=HllitHt

Beweis^: Httt

112

⁼

eftt

_,

ft

^{tis =}

11111

^'t Il tell^{' t}

elitist

^-til^> . D

- -

=O

Sa .PT?i9iitraajii.nwiienwnen.dannistdasorthogon tutanpiemii

Uutervektorraum von 21.

Bewcis

:

Weger ^{( tent}

^item

⁾

ⁿ

^{( tile Mt}

^{--t Tt}

^f

^E

^{Mt )}

^{ist M' ein Unterraum.}

Far te ^M

gilt

^wit

^f

^{(f ):-- et,f>},

class

Tt

^{: -}

f f

^E74

I f

^If):o

}

⁼

f

^-"

(

⁴⁰³

⁾

^.

Da

f stetig

^{und to}

^} abgeschlossen

^ist, ist auch das Urbild t^'

abgeschlassen

^.

Dami^{'t ist ouch} Mt⁼ A t^'

abgeschlosseh

^.

TEM D

Bem

^... Ein

Bsp

^.

fir

^{einen nicht}

abgeschlosseheu

^{Uutwraum wire}

^V

^{:= span}

( ^f

^e,

^}

_;eµ

)

^{E L,Car}

⁾

^.

Hier

gilt ⁴

^EV

⁽

^{da Vnur endliche LinearKombinationen enth-alt}

)

^{aber T-- Lz.}

Satz

: 1st M eine nichtle_ere

,

kouveee

_,

abgeschlossene Teilmeuge

^eines

^Hilbert

^{ramus 74 ,}

dawn

gibt

^{es ein}

eindentiges ^{Element to}

^{EM, so class HttMi}

^{It toll}

^{E ItTH .}

Bennis

^{: S}

inf

^{It tell. Wahle theM ,so dass}

^II

^{tuH →S .}

te M to

Parallelogram mg

^.

It Ink

^{"- !}

³¹¹

^till'

^{till tuk}

^'-

^It

^"

Itm ^II ④

^"

^{/ /}

^..-.....•O

I

,

I

(

^11h11't

^Html )

^-

^s

^'

"

4th

^eM

weyenkouvcxitat

Dawit ist (tu)

Cauchy

^-

Foliage

^{und tu→ toe71} wog^. Vous

tandigkeit

^{. to c.M} _wog^.

Abgeschlussenhit

^.

Stelrgheit

^{du Norm}

_gwan

^Nut

Atoll

^:

hiya ^11h11

^{= 8 .}

Augen

^{our men}

^Ole

^M

^{erfillt Hall}

^{-.8 , dann}

gilt

^{unit der}

Ung

^{.she He wie eben:}

11 ^to

-24 IT

^{= .-. ± I}

(

^{It toll' t 11411'}

)

^-

⁵⁼⁰

, also 11 to^-

4

^{H' O und damit}

Of

^-

to

^.

D

Bein

.: Far

je

^{de nicht here ,}

kouveee

,

abgeschlosseue Teilmeuge

^{M ist damit eine Ab}

bildung

Pn

^{:71→ M} , Tts to

deficient

^.

Pm ^vfillt PI

^--

Pm

, d.^h.

Pm

ist eine

Projekt

^ion.

korollw

: 1st

he

^{71 ein}

abgesohlossenw

^{Unterranm lines} Hilbertraums

, dann Kann

jedes ^FEH eindenkg

ⁱⁿ

f= ^f.

⁺

^fz

^unit

^if

^{, Eh ,}

^{he ht} zvlegt

^warden.

Zudeu

gilt

^{ht" = h.}

(

^{In dem} Fall scweibt man 7th

Oht

wind

spricht

^{von der} " inueren ortho^-

gonalen ^Summe

^.

⁾

Beweis

^:

^Sei

^{M ::}

f

^-

^h

^{und winkle}

f.

^{eh so} , class

f- f

, Element minimum Norm

8=11 f- f. ¹¹

^{in M ist. wir woken}

zeigen

^{, class}

fzi= ^{f- f}

^{, in}

^htist

^.

Es

gilt

^{: Kteh KEER:}

^111,112

^:

^{11 f- f. 112}

^{I 11}

^f-

⁽

^f.

^+et)

¹¹²

.

.

11h

^{. et}

112=11 _f.

11

't

_e

2114112

^- Ze

Reeh

,t^>

Dies

istwurmoglich

^{, weun}

^Reefz

^{,t' = 0}

^tteh

^{und da wit teh anih itch ,}

impliziert

^{dies: <}

^f

^{, it>:O tteh} , also

f. ^Eht

^.

Zur

Eindenkgkeit

^{: 1st}

^{f= I}

⁺

[

^unit

f.

^{eh ,}

^{f. tht}

, dann ist

0^.

11 f.

⁺

f.

^-

E- Ill

^'

; ^11h

^.

^{[ little}

^,-

^Ili

^{, also}

f.

⁼

f

, ^

f

,

if

, .

Pythagoras

Nochz.z.: h=

htt

. Sci

fe hit

^unit

f= f.

⁺

f.

_,

f.

^{th ,}

fzeht

^.

^Da

he

htt

,

gilt ^f

^{, e}

^htnhtt

^{, also}

^f

^{,:O und damit}

htt=h

.

A

Ben

^{.: 1st}

R

^{:H→h die}

Projeklion ^anf

^{h und 11 :7l→H die}

ldentitntsabbildung ⁽

^{It: t}

⁾

^,

dann ist die

Aussage

^des

^korollws

^{, class}

Pn

^{, = 1-}

^Pn

^.

Denn

µ^: 14 ⁼ Putt (^H-

R

)₄ ⁼

Putt Put

^.