Diese ¨ Ubung hat zum Inhalt zwei aus der Vorlesung bekannte Zusammenh¨ ange zu verifizieren:

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Anwesenheitsaufgabenblatt I

Diese ¨ Ubung hat zum Inhalt zwei aus der Vorlesung bekannte Zusammenh¨ ange zu verifizieren:

die Maxwellwellverteilung und die Equivalenz der unterschiedlichen Darstellungen der Impulsbi- lanzgleichung.

Aufgabe 1:

James Clerk Maxwell (1831 - 1879) hat nicht nur wichtige Beitr¨ age zur Elektrodynamik geleistet, son- dern dar¨ uber hinaus die nach ihm benannte Geschwindig- keitsverteilung etabliert.

In dieser Aufgabe soll die in der Vorlesung angegebene Maxwell’sche Ge- schwindigkeitsverteilung hergeleitet werden. Ausgehend von der isotropen Beschreibung

N g(v

) g(v

) g(v

) = N Φ(v) mit v = q

v

+ v

+ v

gilt es eine Kugelschale zu betrachten f¨ ur die

v

= v

+ v

+ v

= const

gilt. ¨ Anderungen der Geschwindigkeit sollen also lediglich Drehungen des Ursprungsvektors ~ v zur Folge haben.

(a) Best¨ atigen Sie anhand der plausiblen (?!) Bedingung

3

X

i=1

v

=

3

X

i=1

(v

+ dv

)

f¨ ur infinitesimale Geschwindigkeits¨ anderungen dv

, dass diese die L¨ ange des Vektors unver¨ andert lassen und somit

~ v · d~ v = 0 (1)

gilt.

(b) Ist der Betrag des Geschwindigkeitsvektors |~ v| = v konstant, so gilt dies offensichtlich auch f¨ ur die nur von v abh¨ angige Funktion Φ(v). Daraus folgt direkt, dass deren totales Differential verschwindet (dΦ = 0). Leiten Sie aus dieser Bedingung folgenden Ausdruck her:

3

X

i=1

∂ ln g(v

)

∂v

dv

= 0 (2)

(c) Machen Sie sich nun die Methode der Lagrange-Multiplikatoren zu Nutze: Multiplizieren Sie Gleichung (1) mit λ = −2A mit einer beliebigen (reellen) Konstanten A, und addieren Sie diese zu Gleichung (2). Die daraus resultierende Differentialgleichung f¨ ur g(v

) k¨ onnen Sie mittels Separation der Variablen l¨ osen und erhalten:

g(v

) = C exp

Av

(d) ¨ Uberzeugen Sie sich davon, dass die Konstante A negativ sein muss, also A = −1/α

gilt, und bestimmen Sie dann basierend auf der ¨ Uberlegung, dass das Integral der Geschwindigkeits- verteilung ¨ uber den gesamten Geschwindigkeitsraum gerade 1 ergeben muss, die Integrations- konstante C (α).

(e) Nun haben Sie die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung g(v) = g(v

) g (v

) g(v

) bis auf den Parameter α bestimmt. Dessen exakte Gestalt resultiert f¨ ur den Fall ~ u = ~ 0 aus der Gleichheit der mittleren kinetischen und thermischen Energie:

1

2 mc

=

3 2 k

T Eventuell ist die folgende Formel hilfreich:

∞

Z

0

x

exp

− x

α

dx = 1

2 α

Γ 5

2

= 3 8 α

√

π

Aufgabe 2:

In der Vorlesung haben Sie zwei Darstellungen der Impulsbilanzgleichung kennen gelernt, die aus der Identit¨ at

∂(ρ~ u)

∂t + ∇ · {[ρ~ u]~ u} = ρ ∂~ u

∂t + ρ(~ u · ∇)~ u

folgen. Diese gilt unter der Voraussetzung, dass der Quellterm in der Kontinuit¨ atsgleichung verschwindet, also

∂ρ

∂t + ∇ · (ρ~ u) = 0

gilt. Zeigen Sie die G¨ ultigkeit dieser Identit¨ at. Hilfreich ist die Rechenregel

∇ · ( A ~ ~ B) = (∇ · A) ~ B ~ + ( A ~ · ∇) B ~

von deren G¨ ultigkeit Sie sich ebenfalls ¨ uberzeugen sollten.