Aufgabe 1: Kaninchen, Sonnenblumen und das Apple-Logo

Projektdokumentation „Pluskurse am Vormittag“

Aufgabenblatt Fibonacci zur Einführung in den Mathematik-Pluskurs

Aufgabe 1: Kaninchen, Sonnenblumen und das Apple-Logo

Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Von seinen Reisen hat er unser heutiges Zahlensystem nach Mitteleuropa gebracht.

Eines Tages hat er sich gefragt, wie sich eine Kaninchenpopulation entwickelt, wenn folgende Regeln gelten:

Ein Kaninchenmännchen und ein -weibchen kommen auf die Welt und bilden ein Pärchen.

Ein neu geworfenes Paar bekommt nach zwei Monaten das erste Mal Nachwuchs.

Jedes „erwachsene“ Paar wirft in jedem Monat ein weiteres Kaninchenpärchen.

Kein Tier kann die Kaninchenpopulation verlassen, kein Tier kommt von außen hinzu.

a) Notiert man Monat für Monat die Zahl der Kaninchenpaare, erhält man die sog. Fibonacci-Folge. Schreibe die ersten zehn Zahlen der Fibonacci-Folge auf!

b) Wie kann man die nächste Fibonacci-Zahl finden, wenn man die vorherigen kennt?

c) Suche die Fibonacci-Zahlen bei Sonnenblumen, Tannenzapfen, der Ananas, dem Apple-Logo, …

Aufgabe 2: Wochenlange Arbeit oder eine geniale Idee?

Robin ist allein auf einer Insel gestrandet. Vor Langeweile hat er in den Sand ein Schachbrett gemalt und das folgende Spiel erfunden: Wie beim Dame-Spiel legt er 12 Spielsteine aus (siehe Abb.). Anschließend überspringt er mit einem Spielstein diagonal ein besetztes Feld mit einem Stein, muss dafür aber den übersprungenen Stein entfernen. Als Ziel nimmt sich Robin vor, die oberste Reihe des Spielfelds zu erreichen. Zwar ist er jetzt erst mal einige Wochen beschäftigt, aber er schafft es nicht, das Spielziel zu erreichen. Findest du eine Möglichkeit? Oder gibt es einen Beweis dafür, dass das Ziel wirklich nicht zu erreichen ist?

Tipp: Versuche jedem Stein entsprechend seiner Position eine Punktezahl zuzuordnen, und zwar so, dass sich die Gesamtzahl der Punkte bei einem erlaubten Spielzug nicht verändert („Invarianzprinzip“). Überprüfe, ob das gewünschte Ziel einer Punktezahl entspricht, die überhaupt erreichbar ist!

(Idee aus: Hesse: „Warum Mathematik glücklich macht“)

Aufgabe 3: Da fehlt doch eins!

Bestimme jeweils die Anzahl der Kästchen! Wie ist das Ergebnis zu erklären?

… und was hat das Ganze mit den Fibonacci-Zahlen zu tun?

Aufgabe 4: Eine Stufe oder zwei auf einmal

Du hast zuhause eine Treppe mit zehn Stufen. Wie viele Möglichkeiten hast du hinaufzusteigen, wenn du immer entweder eine oder zwei Stufen

auf einmal nimmst? (Idee aus: http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/Seite07.htm)

Aufgabe 5: Zusammenfassung

Von einer Gruppe französischer Mathematiker, die unter dem Pseudonym „Nicolas Bourbaki“ veröffentlichte, stammt das Zitat: „Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.“ Oft hört man auch die Definition:

„Mathematik ist die Lehre der Strukturen.“ Wie könnten diese Zitate gemeint sein?

Projektdokumentation „Pluskurse am Vormittag“

Aufgabenblatt Fibonacci zur Einführung in den Mathematik-Pluskurs

Lösungen und didaktische Hinweise zu den Aufgaben 1 bis 4

Aufgabe 1: Kaninchen, Sonnenblumen und das Apple-Logo

b) Man erhält jede Fibonacci-Zahl (ab der dritten) als Summe der beiden vorhergehenden Fibonacci-Zahlen:

Für alle n ≥ 3 gilt also: f_n = f_n-1 + f_n-2

(Erklärung: fn-2 gibt die Zahl der geschlechtsreifen Paare an und somit auch die Zahl der nun neu geborenen Paare, fn-1 ist die Zahl der bereits im letzten Monat vorhandenen Paare.)

c) Entsprechende Abbildungen sind durch eine Internet-Suche nach Bildern zum Begriff „Fibonacci“ leicht zu finden. Zudem bietet sich die Bereitstellung von Materialien an (Ananas, Sonnenblume usw.).

Aufgabe 2: Wochenlange Arbeit oder eine geniale Idee?

Natürlich sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst selbst ausprobieren, ob sie das von Robin gesetzte Ziel erreichen können.

Eine mögliche Lösung des Problems ergibt sich wie folgt:

Jedem Stein kann man als Punktzahl eine Fibonacci-Zahl zuordnen, und zwar wie abgebildet entsprechend der Reihen des Spielfelds. Mit welcher

Fibonacci-Zahl man beginnt (Spalte A oder B) ist zunächst egal.

1. Behauptung: Bei jedem erlaubten Spielzug bleibt die Punktesumme der Spielsteine unverändert

Beweis: Beim Sprung eines Steins von der (n-2)-ten Reihe in die n-te Reihe fallen die Punktezahlen fn-2 und fn-1

weg. Gleichzeitig kommt die Punktezahl fn hinzu. Die Punktesumme bleibt wegen fn = fn-1 + fn-2 unverändert.

2. Behauptung: Das Spielziel von Robin ist nicht erreichbar

Beweis durch Widerspruch: Angenommen, das Ziel ist erreichbar. Dann besitzt ein Stein den Punktewert 21 (Variante A). In der Startaufstellung beträgt die Summe jedoch nur 16. Dadurch ergibt sich ein Widerspruch zur 1. Behauptung.

Anmerkung: Anhand der Bepunktung B ist erkennbar, dass Robin selbst die siebte Reihe nur erreichen kann, wenn höchstens noch weitere Steine in der ersten Reihe stehen.

Aufgabe 3: Da fehlt doch eins!

Das altbekannte Rätsel beruht auf dem „Zaubertrick“, dass die Diagonale des Rechtecks nicht geradlinig verläuft. Insbesondere sind die ursprünglichen Dreiecke zu Vierecken geworden, mit einer jeweils um ein halbes Kästchen vergrößerten Fläche.

Viele Seitenlängen der Figuren sind Fibonacci-Zahlen. An vielen Stellen erkennt man die Beziehung f_n = f_n-1 + f_n-2. Die Aufgabe beruht auf der sog. „Identität von Cassini“ f_n+1 ∙ f_n-1 = f_n² + (–1)ⁿ. Die Schülerinnen und Schüler können entsprechend weitere „Kästchenrätsel“ konstruieren.

Aufgabe 4: Eine Stufe oder zwei auf einmal

Offensichtlich hat die Situation wieder mit Fibonacci-Zahlen zu tun. Der formale Beweis gelingt durch vollständige Induktion, auf den in der Einführungsphase allerdings verzichtet werden sollte. Die zentrale Idee kann jedoch zumindest anhand eines Beispiels entdeckt oder nachvollzogen werden: Bei einer Treppe mit 6 Stufen kann der letzte Schritt aus zwei Stufen (von der vierten aus) bzw. aus einer Stufe (von der fünften aus) bestehen. Entsprechend müssen die Anz. der Möglichkeiten, die wir bereits für eine Treppe mit 4 bzw. mit 5 Stufen kennen, addiert werden. Zugrunde liegt also wieder die Struktur fn = fn-1 + fn-2 der Fibonacci-Zahlen.

Anz. der Stufen 1 2 3 4 5 Anz. der Möglichkeiten 1 2 3 5 8

A B 21 13 13 8 8 5 5 3 3 2 2 1 1 1 1 0