Hans Walser!
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Umkehrung!
www.walser-h-m.ch/hans/vortraege/20180914_16!
Stricken ohne Wolle:!
Inestäche, umeschloh,
dürezie und abeloh
Die Schulaufgabe!
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gegeben!
Liechtensteinisches Gymnasium Vaduz!
24. Mai 2018, 13:25-14:10, 6Ws, M, 264, 9s, 3f, 6m!
Die Schulaufgabe!
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gegeben!
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gesucht!
Liechtensteinisches Gymnasium Vaduz!
24. Mai 2018, 13:25-14:10, 6Ws, M, 264, 9s, 3f, 6m!
Umkehrung!
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Normalen statt Tangenten!
Kubische Gleichungen!
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelnormalen/Parabelnormalen.htm!
Umkehrung!
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Normalen!
Kubische Gleichungen!
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelnormalen/Parabelnormalen.htm!
Umkehrung!
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Normale!
Umkehrung!
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Diskriminante null ist Grenze (Evolute)!
Kubische Gleichungen!
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelnormalen/Parabelnormalen.htm!
Die Schulaufgabe!
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gegeben!
!
gesucht!
Liechtensteinisches Gymnasium Vaduz!
24. Mai 2018, 13:25-14:10, 6Ws, M, 264, 9s, 3f, 6m!
Erster Lösungsweg!
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Geradenbüschel durch Punkt!
Quadratische Gleichung!
10. Schuljahr!
Zweiter Lösungsweg!
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Tangentenbüschel an Parabel!
Differenzialrechnung!
11. Schuljahr!
Exkurs: Geometrischer Lösungsweg?!
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Parabel?!
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! y = x2
Graph der quadratischen Funktion!
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2d: Brennpunkt und Leitlinie!
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3d: Kegelschnitt!
Exkurs: Geometrischer Lösungsweg?!
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Parabel?!
!
!
y = x2
Exkurs: Geometrischer Lösungsweg?!
!
Parabel?!
!
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Graph der quadratischen Funktion!
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y = x2
x ! y = f x
( )
= ax2 + bx + cExkurs: Geometrischer Lösungsweg?!
!
Parabel?!
!
!
Graph der quadratischen Funktion!
!
!
!
2d: Brennpunkt und Leitlinie!
3d: Kegelschnitt!
y = x2
x ! y = f x
( )
= ax2 + bx + cBrennpunkt und Leitlinie!
Kreis!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Lote auf Leitlinie liefern Berührungspunkte!
Geht es auch mit der Ellipse?!
Brennpunkte und lange Achse!
Leitlinie ein Kreis!
Kreis!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Lote auf Leitlinie liefern Berührungspunkte!
Lote auf Leitlinie liefern Berührungspunkte!
Asymmetrische Konstruktion!
Vertauschte Rollen der Brennpunkte!
Synopsis!
Ellipsentangenten: Erinnerung an die Schule!
Affines Hochfahren zum Kreis!
Das Ganze zurück!
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! ! !Rückführung auf bekanntes Problem!
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! ! !!
Kreistangenten!
Herunterfahren!
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! ! !Rückführung auf bekanntes Problem!
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! ! !!
Herunterfahren!
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! ! !Rückführung auf bekanntes Problem!
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! ! !!
! ! !Affine Abbildung!
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! ! !!
! ! !Geht nicht für Hyperbel!
George Pólya, 1887-1985!
Herunterfahren!
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! ! !Rückführung auf bekanntes Problem!
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! ! !!
! ! !Affine Abbildung!
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! ! !!
! ! !Geht nicht für Hyperbel!
Herunterfahren!
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! ! !Rückführung auf bekanntes Problem!
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! ! !!
! ! !Affine Abbildung!
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! ! !!
! ! !Geht nicht für Hyperbel!
Und wie mit der Hyperbel?!
Brennpunkte und Achse!
Leitlinie ein Kreis!
Kreis!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Mittelsenkrechte sind Tangenten!
Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht, Perspektivenwechsel!
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Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Georg Christoph Lichtenberg, 1742-1799 !
Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Georg Christoph Lichtenberg, 1742-1799!
Der Amerikaner, der den Kolumbus zuerst entdeckte, machte eine böse Entdeckung. !
Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Audiatur et altera pars. (Römisches Recht)!
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Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Audiatur et altera pars. (Römisches Recht)!
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Input çè Output!
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Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Audiatur et altera pars. (Römisches Recht)!
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Input çè Output!
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Methode!
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Aufgabe!
Aufgabe!
Aufgabe!
Umkehrung!
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Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr ! abgewichen seid! (Jesaja 31.6)!
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Umgekehrte Sicht!
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Audiatur et altera pars. (Römisches Recht)!
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Input çè Output!
!
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Aufgabe!
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Lösungsweg!
Lösungsweg!
Lösungsweg!
Umkehrung!
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gegeben!
Umkehrung!
!
gegeben!
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gesucht!
Umkehrung!
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gegeben!
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gesucht!
Umkehrung!
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gegeben!
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gesucht!
Kennen wir schon:!
George Pólya, 1887-1985!
Kennen wir schon:!
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Ortsbogen!
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Thaleskreis!
George Pólya, 1887-1985!
Kennen wir schon:!
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Ortsbogen!
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Thaleskreis!
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!bezieht sich auf eine Strecke!
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
Dom zu Mainz!
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
60°
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
60°
60°
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
60°
Ortsbogen für 60°!
an das regelmäßige Siebeneck!
Sonderfall: Thaleskurve (Ortsbogen für 90°)!
Thaleskurve an die Parabel!
Thaleskurve an die Parabel!
Thalesgerade (Leitlinie)!
Thaleskurve an die Ellipse (Halbachsen a und b)!
Thaleskreis. Radius !r = a2 + b2
Thaleskurve an die Ellipse (Halbachsen a und b)!
Thaleskurve an die Ellipse!
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Figur sehr einfach!
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Beweis (rechnerisch) happig*!
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Geometrischer Beweis?!
* www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Thaleskreis_E_H/Thaleskreis_E_H.htm!
Thaleskreis. Radius !r = a2 + b2
Thaleskurve an die Ellipse (Halbachsen a und b)!
Umkehrung: Orthogonale Lote!
Thalesrosette!
Thaleskurve an die Hyperbel!
Thaleskurve an die Hyperbel !
Thaleskreis. Radius !r = a2 − b2
Thaleskurve an die Hyperbel a ≥ b, „spitze“ Hyperbel!
Thaleskreis. Radius !r = a2 − b2
Ortsbogen an die Parabel!
Ortsbogen an die Parabel!
Thaleshyperbel-Ast !
Ortsbogen an die Parabel!
Thaleshyperbel!
Ortsbogen an die Parabel!
Thaleshyperbel. Ein Brennpunkt gemeinsam mit Parabel!
Ortsbögen an die Parabel!
Hyperbelschar. Ein Brennpunkt gemeinsam mit Parabel!
Δα = 15°
Ortsbögen an die Ellipse! Δα = 15°
Ortsbögen an die Hyperbel! Δα = 15°
