Hans Walser: Rhombenkörper! www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20180508!

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Hans Walser: Rhombenkörper!

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20180508!

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Rhomben gleicher Seitenlänge!

In der Ebene!

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In der Ebene!

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Rhombenstern!

In der Ebene!

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In der Ebene!

Rhombenstern!

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Rhombenstern!

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Rhombenstern!

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Rhombenstern!

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Kosinus-Spindel!

Modell mit Schraubenlinie!

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Kosinus-Spindel!

Volumen der Kosinus-Spindel?!

(31)

!

Kantensteigung 1!

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!

Kantensteigung ½ (Stauchung in z-Richtung)!

!

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Minimaler Rhomben“stern“!

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!

Kantensteigung != ¹₂

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!

Kantensteigung!

!

Würfel !

= ¹₂

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!

Kantensteigung = 0.3 (Stauchung in z-Richtung)!

!

Stumpfes Rhombenhexaeder!

!

Papiermodell!

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!

Kantensteigung = 0.85 (Streckung in z-Richtung) !

!

Spitzes Rhombenhexaeder!

Papiermodell!

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Vier Rhomben im Zentrum!

!

(40)

!

Kantensteigung!

!

12

(41)

!

Kantensteigung!

!

12

(42)

!

Kantensteigung!

!

12

(43)

!

Rhombendodekaeder!

!

Papiermodell!

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Fünf Rhomben im Zentrum!

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!

Kantensteigung ½!

!

Diagonalenverhältnis der Rhomben im Goldenen Schnitt!

!

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(50)

!

Rhombenikosaeder!

Papiermodell!

(51)

!

Rhomben-  ikosaeder!

Papiermodell!

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!

Zurück zum Start!

(53)

!

Kantensteigung ½!

!

Diagonalenverhältnis der Rhomben im Goldenen Schnitt!

!

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!

(55)

!

Äquator-Zone von 10 stehenden Rhomben!

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!

Rhombentriakontaeder!

Papiermodell!

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!

Rhomben- 

triakontaeder!

Papiermodell!

(59)

(60)

Sternkörper!

Papiermodell!

(61)

Sternkörper!

Papiermodell!

(62)

Reguläre Rhombenkörper!

!

•  Seitenrhomben kongruent!

!

•  Konvex!

!

•  An den Ecken je gleiche Winkel!

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Gegenbeispiel!

!

•  Seitenrhomben   nicht kongruent!

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Gegenbeispiel!

!

•  Nicht   konvex!

(65)

Gegenbeispiel!

!

•  Ungleiche   Winkel an   Ecken!

Rhombenhexaeder!

(66)

Gegenbeispiel!

!

•  Ungleiche   Winkel an   Ecken!

Rhombenikosaeder!

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Kopfgeometrie!

!

Ecke mit stumpfen Winkeln!

Höchstens drei stumpfe Winkel!

Genau drei stumpfe Winkel!

!

Höchstens 5 spitze Winkel!

! !

!

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Kopfgeometrie!

!

! !

!

90° < β <120° 60° < α < 90°

(69)

Kopfgeometrie!

!

! !

!

(70)

Kopfgeometrie!

!

! !

!

90° ≤ β <120°

(71)

Kopfgeometrie!

!

! !

!

90° ≥α > 60°

90° ≤ β <120°

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Kopfgeometrie!

!

! !

!

90° ≤ β <120° 90° ≥α > 60°

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Kopfgeometrie!

!

Es gibt nur:!

Rhombentriakontaeder (Ecken mit 5 spitzen Winkeln, 63.43° )!

Rhombendodekaeder (Ecken mit 4 spitzen Winkeln, 70.53°)!

Würfel (im Folgenden weggelassen)!

90° ≤ β <120° 90° ≥α > 60°

(74)

Ecken mit 5 spitzen Winkeln (63.43°): Rhombentriakontaeder!

arctan 2

( )

^≈ 63.43494882292202°

(75)

(76)

Rhomben mit Diagonalenverhältnis!

Goldener Schnitt!

1 :Φ =1 :¹⁺₂ ⁵ ≈1 :1.618 1

Φ

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Zerlegung des Rhombentriakontaeders!

Papiermodell!

(78)

Vom Rhombentriakontaeder!

Äquatorzone (Zickzack von 10 Rhomben) entfernen!

Das Rhombenikosaeder bleibt übrig!

Nicht regulär! Papiermodell!

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Vom Rhombenikosaeder!

eine Zone mit 8 Rhomben entfernen!

Das Rhombendodekaeder (zweiter Art) bleibt übrig!

Bilinski, 1960. Nicht regulär. Aber Raumfüller.! Papiermodell!

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Bilinski, 1960. Nicht regulär. Aber Raumfüller.!

Auf die Spitze gestellt!

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Sicht von oben!

(86)

Vom Rhombendodekaeder (zweiter Art) ! eine Zone mit 6 Rhomben entfernen!

Ein Rhombenhexaeder bleibt übrig (spitz oder stumpf)!

Nicht regulär. Aber Raumfüller.! Papiermodelle!

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Ecken mit 4 spitzen Winkeln (70.53°): Rhombendodekaeder!

Der berühmte kristallografische Winkel!

!

arccos

( )

₃¹

2arctan

( )

₂¹

⎫

⎬⎪

⎭⎪ ≈ 70.52877936550952°

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Ecken mit 4 spitzen Winkeln (70.53°): Rhombendodekaeder!

Papiermodell!

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Das Rhombendodekaeder ist ein Raumfüller!

!

Papiermodell!

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Das Rhombendodekaeder!

Würfel als Kern!

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Pyramide aufsetzen!

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Pyramide aufsetzen!

Halbe Höhe!

Neigungswinkel 45°!

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Pyramide aufsetzen!

Halbe Höhe!

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Pyramide aufsetzen!

Halbe Höhe!

Rhombus mit Diagonalenverhältnis !1 : 2

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Insgesamt 6 Pyramiden ansetzen!

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Insgesamt 6 Pyramiden ansetzen!

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Kopfgeometrie: Beweis der Raumfüllungseigenschaft!

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Kopfgeometrie: Beweis der Raumfüllungseigenschaft!

Oben 4 spitze Winkel!

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Oben 4 spitze Winkel! Papiermodell!

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!

Sicht von oben. Wie viele Farben braucht es?!

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!

Pyramide!

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Inkugel!

(110)

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!

Pyramide!

Dichteste Kugelpackung (Kepler 1611, Hales 1998-2014)!

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3564 Rhomben-  dodekaeder!

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π ≈ ⁹⁹₃₂ = 3.09375 3564 Rhomben- 

dodekaeder!

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3564 Inkugeln!

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Oben 3 stumpfe Winkel!

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Oben 3 stumpfe Winkel! Papiermodell!

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Sicht von oben!

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(128)

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(130)

(131)

!

Tetraeder!

(132)

Inkugel!

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(138)

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!

Tetraeder!

(140)

!

Tetraeder!

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Pyramide aufsetzen!

Halbe Höhe!

Rhombus mit Diagonalenverhältnis !1 : 2

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Rhomben mit Diagonalenverhältnis!

DIN-Format !

1 : 2 70.53°!

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Kantenberührkugel!

(144)

Kantenberührkugel!

!

Erinnerung: !

In der Ebene:!

!

Inkreis (nicht immer)!

!

Umkreis (nicht immer)!

(145)

Kantenberührkugel!

Im Raum:!

!

Inkugel (nicht immer)!

!

Kantenberührkugel (nicht immer)!

!

Umkugel (nicht immer)!

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Kantenberührkugel!

Kantenmittenkugel des Würfels!

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Kantenberührkugel!

Spielwürfel!

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Kantenberührkugel!

Spielwürfel!

(149)

Kantenberührkugel!

Rhombendodekaeder!

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Kantenberührkugel!

Rhombendodekaeder!

Drittelung!

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Kantenberührkugel!

12er-Spielwürfel!

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Kantenberührkugel!

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Kantenberührkugel!

x :y = 1 :Φ² ≈1 : 2.618

x y

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Kantenberührkugel!

30er-Spielwürfel!

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Kantenberührkugel und Rhombenkörper!

!

Inkreise der Rhomben!

Kissing point!

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Kantenberührkugel und Rhombenkörper!

Genau die regulären Rhombenkörper !

!

haben eine Kantenberührkugel. !

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Danke!

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20180508!