Perspektivenwechsel Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans/vortraege/20190315

(1)

Hans Walser

Perspektivenwechsel

www.walser-h-m.ch/hans/vortraege/20190315

(2)

Die Schulaufgabe gegeben

(3)

gesucht

(4)

Umkehrung

Normalen statt Tangenten

(5)

Kubische Gleichungen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabelnormalen/Parabelnormalen.htm

Umkehrung Normalen

(6)

Umkehrung Normale

(7)

Umkehrung

Diskriminante null ist Grenze (Evolute)

(8)

gesucht

(9)

Erster Lösungsweg

Geradenbüschel durch Punkt

Quadratische Gleichung 10. Schuljahr

(10)

Zweiter Lösungsweg

Tangentenbüschel an Parabel

Differenzialrechnung 11. Schuljahr

(11)

Exkurs: Geometrischer Lösungsweg?

Parabel?

y = x²

Graph der quadratischen Funktion

2d: Brennpunkt und Leitlinie 3d: Kegelschnitt

(12)

Parabel?

y = x²

(13)

Parabel?

Graph der quadratischen Funktion y = x²

x ! y = f x

( )

⁼ ^ax² ⁺^bx ⁺ ^c

(14)

Parabel?

Graph der quadratischen Funktion

2d: Brennpunkt und Leitlinie 3d: Kegelschnitt

y = x²

x ! y = f x

( )

⁼ ^ax² ⁺^bx ⁺ ^c

(15)

Brennpunkt und Leitlinie

(16)

Kreis

(17)

Mittelsenkrechte sind Tangenten

(18)

(19)

Lote auf Leitlinie liefern Berührungspunkte

(20)

Geht es auch mit der Ellipse?

(21)

Brennpunkte und lange Achse

(22)

Leitlinie ein Kreis

(23)

Kreis

(24)

(25)

(26)

(27)

Asymmetrische Konstruktion

(28)

Vertauschte Rollen der Brennpunkte

(29)

Synopsis

(30)

Ellipsentangenten: Erinnerung an die Schule

(31)

Affines Hochfahren zum Kreis

(32)

Das Ganze zurück

Rückführung auf bekanntes Problem Kreistangenten

(33)

Herunterfahren

Rückführung auf bekanntes Problem

(34)

Herunterfahren

Affine Abbildung

Geht nicht für Hyperbel

George Pólya, 1887-1985

(35)

Herunterfahren

Affine Abbildung

(36)

Herunterfahren

Affine Abbildung

(37)

Und wie mit der Hyperbel?

(38)

Brennpunkte und Achse

(39)

Leitlinie ein Kreis

(40)

Kreis

(41)

(42)

(43)

(44)

Umkehr

Kehret um, ihr Kinder Israel, zu dem, von welchem ihr sehr abgewichen seid! (Jesaja 31.6)

(45)

Umkehr

Umgekehrte Sicht, Perspektivenwechsel

(46)

Umkehr

Umgekehrte Sicht

Georg Christoph Lichtenberg, 1742-1799

(47)

Umkehr

Umgekehrte Sicht

Georg Christoph Lichtenberg, 1742-1799

Der Amerikaner, der den Kolumbus zuerst entdeckte,   machte eine böse Entdeckung.

(48)

Umkehr gegeben

(49)

Umkehr gegeben gesucht

(50)

(51)

(52)

Kennen wir schon:

(53)

Kennen wir schon:

Ortsbogen Thaleskreis

(54)

Kennen wir schon:

Ortsbogen Thaleskreis

beziehen sich auf eine Strecke

(55)

Sonderfall: „Thaleskurve“ ( 90°), Orthoptische Kurve

(56)

Orthoptische Kurve an die Parabel

(57)

Orthoptische Kurve an die Parabel

„Thalesgerade“ (Leitlinie)

(58)

Orthoptische Kurve an die Ellipse (Halbachsen a und b)

(59)

„Thaleskreis“. Radius r = a² + b²

(60)

Orthoptische Kurve an die Ellipse

Figur sehr einfach

Beweis (rechnerisch) happig*

Geometrischer Beweis?

* www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Thaleskreis_E_H/Thaleskreis_E_H.htm

(61)

„Thaleskreis“. Radius r = a² + b²

(62)

Umkehrung: Orthogonale Lote

(63)

Rosette

(64)

Rosette

a² + b²

( ) (

^x² ⁺ ^y²

) (

^b²^x² ⁺ ^a²^y²

)

² ⁻

( )

^a² ⁻ ^b² ²

(

^b²^x² ⁻ ^a²^y²

)

² ⁼ ⁰

(65)

Orthoptische Kurve an die Hyperbel

(66)

Orthoptische Kurve an die Hyperbel

„Thaleskreis“. Radius r = a² − b²

(67)

Orthoptische Kurve an die Hyperbel a ≥ b, „spitze“ Hyperbel

„Thaleskreis“. Radius r = a² − b²

(68)

Isoptische Kurve an die Parabel

(69)

Isoptische Kurve an die Parabel

„Thaleshyperbel“-Ast

(70)

Isoptische Kurven an die Parabel

„Thaleshyperbel“

(71)

„Thaleshyperbel“. Ein Brennpunkt gemeinsam mit Parabel

(72)

Hyperbelschar. Ein Brennpunkt gemeinsam mit Parabel Δα = 15°

(73)

Isoptische Kurven an die Ellipse Δα = 15°

(74)

Isoptische Kurven an die Hyperbel Δα = 15°

(75)

Perspektivenwechsel Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans/vortraege/20190315

Perspektivenwechsel

( )

( )

( ) (

) (

)

( )

(

)

Danke