Braunschweig, 8. Mai 2018 Zusammenfassung:
Wir besprechen konvexe Körper, welche von kongruenten Rhomben begrenzt sind.
Mit einigen von ihnen lässt sich der Raum lückenlos und ohne Überlappungen auffül- len. Dies lässt sich mit Papiermodellen zeigen. Die Inkugeln der Raumfüller bilden eine Kugelpackung. Insbesondere werden wir die optimale Kugelpackung (Kepler, Hales) antreffen.
Zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen führen zu Rhombenkörpern mit Kantenbe- rührkugeln.
Sämtliche Rhombenkörper lassen sich in Rhombenhexaeder zerlegen.
1 Rhomben gleicher Seitenlänge 1.1 In der Ebene
Wir beginnen mit einer Kette von Rhomben gleicher Seitenlänge und füllen die Lücken mit weiteren Rhomben (Abb. 1).
Abb. 1: Rhomben in der Ebene
Obwohl die Figur rein planimetrisch konzipiert ist, erhalten wir schließlich den Ein- druck einer räumlichen Figur.
Abb. 2: Flach oder gewölbt?
1.2 Auf in den Raum
Dieser Eindruck ist aber falsch, wie das erste Bild der Abbildung 3 zeigt.
Abb. 3: Aufbruch in den Raum
Wir fügen nun (Abb. 3, mitte) in der Mitte neue Rhomben ein, die wirklich in den Raum ragen. Ihre Kanten haben gegenüber der horizontalen Tellerebene die Steigung 1, also den Steigungswinkel 45°. Die neuen Rhomben sind so bemessen, dass ihre senk- rechte Projektion auf die Tellerebene mit den ursprünglichen zentralen Rhomben zu- sammenfällt.
Nun können wir in die Lücken einen weiteren Kranz von Rhomben einfügen (Abb. 3, rechts).
Wir können fröhlich weiterfahren (Abb. 4).
Abb. 4: Nächste Runden
Die Rhombenkanten haben zwar alle dieselbe Steigung, da sie parallel sind. Trotzdem werden die Rhombenflächen mit jeder Runde steiler. Warum ist das so?
Die obersten roten Rhomben (Abb. 4, rechts) habe ihre Projektion im zweitäußersten Ring von roten Rhomben im horizontalen Teller. Wir können also noch eine Runde weiterfahren (Abb. 5, links).
Das ist aber noch nicht das Ende der Fahnenstange.
Wir können eine Runde von senkrecht stehenden Rhomben einfügen (Abb. 5, mitte), die in der Projektion nicht mehr als Rhomben sichtbar sind. Da die Kanten dieser Rhomben gegenüber der horizontalen Tellerfläche einen Winkel von 45° haben, sind sie Quadrate.
Abb. 5: Äquator
Dieser Kranz von Quadraten spielt die Rolle des Äquators. Weiter oben spitzt sich die Situation zu (Abb. 5, rechts, Abb. 6).
Abb. 6: Die Situation spitzt sich zu
Nach zwei weiteren Schritten sind wir bei einem geschlossenen Rhombenkörper ange- langt (Abb. 7, mitte).
Abb. 7: Rhombenkörper. Kosinusspindel
Zum Vergleich ist (Abb. 7, rechts) die Kosinusspindel angegeben. Das ist die Rotations- fläche mit der Kosinuskurve zwischen zwei Nullstellen als Meridiankurve. Unser Rhombenkörper ist eine Approximation der Kosinusspindel (vgl. Glaeser 2013, p. 38).
Im Beispiel der Abbildung 7, mitte, haben die Rhomben gegenüber der Horizontalebene die Kantensteigung 1. Wir können auch mit anderen Kantensteigungen arbeiten. Im Beispiel der Abbildung 8 wurde mit der Kantensteigung ½ gearbeitet.
Abb. 8: Kantensteigung ½
1.3 Minimallösung
In der Abbildung 2 wurde mit 14 Rhomben gestartet. Die Minimallösung wäre ein Start mit 3 Rhomben. Es sind dann 60°-Rhomben, die an einer stumpfen Ecke zusammensto- ßen (Abb. 9, links). Bei einer Kantensteigung 12 erhalten wir den Würfel.
Abb. 9: Minimallösung
Bei einer größeren Kantensteigung ergibt sich ein „spitzes“ Rhombenhexaeder (zwei diametrale Ecken mit nur spitzen Rhombenwinkeln, Abb. 10, links), ein einer kleineren Kantensteigung ein „stumpfes“ Rhombenhexaeder.
Abb. 10: Spitzes und stumpfes Rhombenhexaeder
1.4 Vier Rhomben im Zentrum
Wenn vier Rhomben im Zentrum zusammenkommen, sind es Quadrate (Abb. 11).
Abb. 11: Vier Rhomben im Zentrum
Mit der Kantensteigung 12 ergibt sich das Rhombendodekaeder (Abb. 12). Die Rhomben sind kongruent und haben das Diagonalenverhältnis 2 :1 .
Abb. 12: Rhombendodekaeder
1.5 Fünf Rhomben im Zentrum 1.5.1 Rhombenikosaeder
Bei fünf Rhomben im Zentrum können wir zum ersten Mal einen zweiten Kranz von Rhomben anfügen (Abb.13).
Abb. 13: Fünf Rhomben im Zentrum
Bei einer Kantensteigung ½ ergeben sich kongruente Rhomben mit dem Diagonalen- verhältnis im Goldenen Schnitt. Die Abbildung 14 zeigt die ersten beiden Schritte.
Abb. 14: Die ersten beiden Schritte
Wenn wir wie gewohnt weiterfahren, erhalten wir das Rhombenikosaeder (Abb. 15, 16).
Abb. 15: Rhombenikosaeder
Abb. 16: Rhombenikosaeder
1.5.2 Rhombentriakontaeder
Wir können aber auch nach zwei Runden eine Zone von zehn senkrecht stehenden Rhomben einbauen (Abb. 17, links) und dann zum Rhombentriakontaeder schließen. Da diese zehn Rhomben zur horizontalen Ebene senkrecht stehen, sind sie in der Projektion auf diese Ebene nicht sichtbar. Allerdings können wir nicht die beiden gewohnten Far- ben rot und blau verwenden.
Abb. 17: Rhombentriakontaeder
Die Abbildung 18 zeigt ein Papiermodell des Rhombentriakontaeders.
Abb. 18: Rhombentriakontaeder
Die Abbildung 19 zeigt eine andere Ergänzung der fünf zentralen Rhomben.
Abb. 19: Ergänzung zum Stern
Es handelt sich um die Projektion eines Sternkörpers (Abb. 20).
Abb. 20: Sternkörper
2 Reguläre Rhombenkörper 2.1 Kriterien
Wir legen folgende Kriterien für reguläre Rhombenkörper fest:
• Alle Seitenrhomben kongruent
• Konvex
• An den Ecken je gleiche Winkel. Da diese entweder alle spitz oder alle stumpf sind, sprechen wir von „spitzen“ beziehungsweise „stumpfen“ Ecken.
Zunächst einige Gegenbeispiele:
In den Figuren der Abbildungen 7 und 8 sind die Seitenrhomben nicht kongruent.
Der Sternkörper (Abb. 19, 20) ist nicht konvex.
Im spitzen Rhombenhexaeder (Abb. 10, mitte) gibt es Ecken mit zwei stumpfen und einem spitzen Winkel. Im stumpfen Rhombenhexaeder ist es umgekehrt. Im Rhombeni- kosaeder (Abb. 15) gibt es Ecken mit vier spitzen und einem stumpfen Winkel.
2.2 Kopfgeometrie
Denken wir uns eine Ecke mit stumpfen Winkeln. Diese müssen mehr als 90° messen.
Es können daher an einer konvexen Ecke höchstens drei stumpfe Winkel zusammensto- ßen. Andererseits müssen an jeder Ecke mindestens drei Winkel zusammenstoßen, da- mit eine räumliche Ecke entsteht. Somit haben wir an den Ecken mit stumpfen Winkeln genau drei stumpfe Winkel. Diese sind kleiner als 120°.
Die spitzen Winkel sind daher größer als 60°. An einer konvexen Ecke mit spitzen Winkeln können daher höchstens fünf spitze Winkel zusammenstoßen.
Somit gibt es nur Ecken, an denen drei oder vier oder fünf spitze Winkel zusammensto- ßen.
Man kann sogar zeigen (aufwändig, siehe Regulaere_Rhomboeder), dass an den Ecken eines regulären Rhombenkörpers ausschließlich drei oder vier oder fünf spitze Winkel zusammenstoßen. Die zugehörigen Rhombenkörper sind dann der Würfel, das Rhom- bendodekaeder und das Rhombentriakontaeder. Wir werden diese drei Figuren im Fol- genden je ausführlich besprechen.
Abb. 21: Netztopologie des Würfels
Die Abbildung 22 zeigt ein Himmel-und-Hölle-Modell des Würfels.
Abb. 22: Himmel und Hölle
Der Würfel ist ein Raumfüller. Man kann den Raum lückenlos und ohne Überlappung mit Würfeln auffüllen.
4 Rhombendodekaeder
Das Rhombendodekaeder (Abb. 12) ist ebenfalls ein Raumfüller (Abb. 23).
Abb. 23: Rhombendodekaeder als Raumfüller
Um dies einzusehen, wählen wir einen anderen Zugang zum Rhombendodekaeder. Wir beginnen mit einem Würfel (Abb. 24, links) und setzen eine halb so hohe Pyramide auf.
Die Seitendreiecke der Pyramide haben einen Neigungswinkel 45°. Entsprechend setzen wir auf den Seitenflächen Pyramiden auf.
Abb. 24: Pyramiden auf dem Würfel
Zwei an einer Würfelkante anstoßende Seitendreiecke liegen in einer Ebene (Abb. 25, links). Sie bilden einen Rhombus mit dem Diagonalenverhältnis 2 :1. Insgesamt er- halten wir somit die zwölf Rhomben des Rhombendodekaeders.
Abb. 25: Rhombendodekaeder
Für den Nachweis der Raumfüllungseigenschaft denken wir uns den Raum im Sinne eines dreidimensionalen Schachbrettes mit Würfelchen aufgefüllt und die Würfelchen im Wechsel schwarz und weiß gefärbt. Die schwarzen Würfelchen zerlegen wir von der Mitte aus in sechs Pyramiden, welche je eine Seitenfläche des Würfelchens als Basis haben. Diese Pyramiden sind genau halb so hoch wie die Würfelchenkanten. Wir kleben nun die Pyramiden an die angrenzenden weißen Würfelchen und erhalten so die Rhom- bendodekaeder.
Bei unserer Konstruktion haben die Rhombendodekaeder zuoberst eine spitze Ecke mit vier spitzen Rhombenwinkeln.
Die Abbildung 26a zeigt eine Packung von solchen Rhombendodekaedern. Die Inku- geln der Rhombendodekaeder bilden ihrerseits eine Kugelpackung. Es handelt sich da- bei um die von Kepler vermutete und von Hales bewiesene dichteste Kugelpackung. In den obersten vier Lagen der Abbildung 26a sind die Rhombendodekaeder transparent gezeichnet, so dass die Kugelpackung sichtbar wird.
Die Abbildung 26b zeigt dieselbe Kugelpackung mit Glaskugeln. Das Bodenraster ver- hindert das Wegrollen der Kugeln.
Bei dieser Kugelpackung handelt es sich um die dichteste Kugelpackung (Vermutung von Kepler 1611, Beweis von Hales 1998-2014).
Abb. 26a: Rhombendodekaeder und Inkugeln
Abb. 26b: Glaskugeln
Abb. 26c: Approximation einer Kugel durch Rhombendodekaeder
In der Abbildung 26d sind die Rhombendodekaeder durch ihre Inkugeln ersetzt.
Abb. 26d: Kugel durch Kugeln approximiert
Abb. 27a: Stumpfe Ecke nach oben
Die Abbildung 27b zeigt den Minimaltetraeder mit Orangen.
Abb. 27b: Minimaltetraeder
Die beiden Packungen sind bis auf die Raumorientierung dieselben. Beides sind die dichteste Kugelpackung.
Die Abbildung 28 zeigt die Netztopologie des Rhombendodekaeders.
Abb. 28: Netztopologie des Rhombendodekaeders
Da die Rhomben des Rhombendodekaeders das Diagonalenverhältnis 2 :1 haben, lassen sie sich mittig in ein Papier im DIN-Format einpassen (Abb. 29). Wir können nun die vorstehenden Ecken hochbiegen und zwölf solche Bauteile zu einem Rhom- bendodekaeder zusammentackern.
Abb. 29: Rhombendodekaeder aus Ansichtskarten
Abb. 30: Himmel-und-Hölle
5 Rhombentriakontaeder
Das Rhombentriakontaeder ist kein Raumfüller. Hingegen können wir es in interessante Teilkörper zerlegen.
Zunächst können wir die grün-gelbe, zickzackförmige Äquatorzone (Abb. 17) entfernen und den Deckel parallel herunterschieben. Das wegfallende Stück kann in fünf spitze und fünf stumpfe Rhombenhexaeder zerlegt werden. Übrig bleibt ein Rhombenikosa- eder (Abb. 15, 16). Dieses ist nicht regulär. Wir können auch beim Rhombenikosaeder eine Zone, bestehend aus 8 Rhomben, aber nicht mehr alternierend im Zick-Zack, ent- fernen und den Rest zusammenschieben. Dadurch fallen 8 Rhombenhexaeder weg, vier spitze und vier stumpfe. Übrig bleibt das Rhombendodekaeder zweiter Art (Abb. 31a).
Abb. 31a: Rhombendodekaeder zweiter Art.
Das Rhombendodekaeder zweiter Art wurde von Bilinski (1960) beschrieben. Es ist nicht regulär, aber ein Raumfüller (Abb. 31b).
Abb. 31b: Raumfüller
Weglassen einer Zone mit 6 Rhomben führt je nachdem zu einem spitzen oder einem stumpfen Rhombenhexaeder.
Abb. 32: Kantenmittenkugel beim Würfel. Spielwürfel
Die Schnittfigur des Würfels mit seiner Kantenmittenkugel ist der Spielwürfel (Abb.
32b).
Die Abbildung 33 zeigt das Rhombendodekaeder mit der Kantenberührkugel sowie die Schnittfigur der beiden.
Abb. 33: Rhombendodekaeder und Kantenberührkugel
a) b)
Die Berührpunkte teilen die Kanten im Verhältnis 2:1.
Die Abbildung 34 schließlich zeigt das Rhombentriakontaeder mit der Kantenberührku- gel.
Abb. 34: Rhombentriakontaeder und Kantenberührkugel
Die Berührpunkte teilen die Kanten im Verhältnis Φ2:1. Dabei ist Φ=1+25 der Gol- dene Schnitt (Walser 2013).
Der Nachweis, dass genau die regulären Rhombenkörper eine Kantenberührkugel ha- ben, ergibt sich aus der Abbildung 35.
Die Schnittkreise der Rhomben mit der Kantenberührkugel sind auch die Inkreise dieser Rhomben. Die Inkreise benachbarter Rhomben müssen sich aber berühren (Abb. 35a), damit sie zur selben Kugel gehören können. Das heißt, dass bei den Rhomben spitze Winkel auf spitze Winkel treffen müssen. Die Situation der Abbildung 35b ist ausge- schlossen. Somit haben wir es mit regulären Rhombenkörpern zu tun.
Abb. 35: Kissing point
a) b)
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathema- tikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3- 937219-85-1.
Websites
Walser, H.: Goldener Rhombus
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldener_Rhombus/Goldener_Rhombus.htm Walser, H.: Kosinusspindel
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kosinusspindel/Kosinusspindel.htm Walser, H.: Regulaere_Rhomboeder
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Regulaere_Rhomboeder/Regulaere_Rhomboeder.htm Walser, H.: Rhomben
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhomben/Rhomben.htm Walser, H.: Rhombenfiguren
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombenfiguren/Rhombenfiguren.htm
