Hans Walser
P e r s p e k t i v e n w e c h s e l
Forum für Begabtenförderung 14. Bis 16. März 2019, TU Braunschweig
Zusammenfassung. Die Umkehrung einer klassischen Schulaufgabe (Sekundarstufe) führt zu einer Verallgemeinerung der Begriffe „Thaleskreis“ und „Ortsbogen“.
Last modified 8. März 2019.
1 Wie das Problem entstand
Eine klassische Aufgabe im Abiturtraining geht so (vgl. etwa Weber und Zillmer 2002, S. 66, Aufg. DA 32) :
Gegeben sind ein Punkt P
(
−1,−2)
und eine Parabel p:y=x2 (Abb. 1a). Gesucht sind die Tangenten von diesem Punkt an die Parabel sowie der eingeschlossene Winkel (Abb. 1b).Abb. 1: Die klassische Aufgabe
Nun kann man die Frage umkehren: Wir geben nicht den Punkt P sondern den Schnitt- winkel vor und suchen nach den passenden Punkten P.
2 Lösung der Schulaufgabe Zunächst lösen wir die Schulaufgabe.
Es gibt zwei Herangehensweisen:
Erster Lösungsweg: Wir nehmen alle Geraden durch den Punkt P und wählen dann die- jenigen aus, welche die Parabel p berühren (Abb. 2a).
Zweiter Lösungsweg: Wir nehmen alle Tangenten an die Parabel p und wählen diejeni- gen aus, welche durch den Punkt P verlaufen (Abb. 2b).
a) b)
Abb. 2: Herangehensweisen
2.1 Erster Lösungsweg
Das Geradenbüschel durch P
(
14,−12)
wird beschrieben durch:m= y+12
x−14 , y=mx−14m−12 (1)
Dabei ist m die Steigung der jeweiligen Büschelgeraden.
Der Schnitt mit der Parabel y=x2 führt auf die quadratische Gleichung:
x2−mx+14m+12 =0 (2) Eine quadratische Gleichung hat zwei, genau eine oder keine Lösungen. Im ersten Fall schneiden die Büschelgerade die Parabel, im zweiten Fall ist sie Tangente und im drit- ten Fall geht sie neben der Parabel durch. Die Anzahl der Lösungen hängt von der so genannten Diskriminante D der quadratischen Gleichung ab.
D=m2−4
(
14m+12)
(3)Für den Fall der Tangenten muss D = 0 sein, also:
m2−m−2=0 (4) Diese quadratische Gleichung (4) hat in unserem Beispiel zwei Lösungen, nämlich:
m1=2 und m2 =−1 (5)
a) b)
Dies sind die Steigungen der beiden gesuchten Tangenten. Aus (1) ergeben sich deren Gleichungen:
y=2x−1 und y=−x−14 (6) Für den Schnittwinkel finden wir:
arctan 2
( )
−arctan( )
−1 ≈108.43° (7)Dieser Lösungsweg benötigt nur quadratische Gleichungen und Trigonometrie.
2.2 Zweiter Lösungsweg
Die Tangente im Parabelpunkt P0
( )
x0,x02 hat die Parameterdarstellung:!t0
( )
s = x0 x02⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥+s 1 2x0
⎡
⎣⎢
⎢
⎤
⎦⎥
⎥ (8)
Aus
!t0
( )
s = x0 x02⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥+s 1 2x0
⎡
⎣⎢
⎢
⎤
⎦⎥
⎥=
14
−12
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
(9)
ergeben sich die beiden Gleichungen:
x0 +s= 14
x02+2sx0=−12 (10)
Elimination von s führt auf die quadratische Gleichung
x02−12x0−12 =0 (11)
mit den beiden Lösungen:
x0 =1 und x0 =−12 (12)
Somit erhalten wir die beiden Tangenten:
t!0
( )
s = 1 1⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥+s 1 2
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ und !
t0
( )
s = −1124
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
+s 1
−1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ (13)
Dies entspricht den Lösungen (6).
Dieser Lösungsweg benötigt den Tangentialvektor und damit die Differentialrechnung.
Wir haben aber auch eine quadratische Gleichung.
2.3 Gibt es einen geometrischen Lösungsweg?
Den gibt es, und er ist verfahrensmäßig sehr einfach. Er funktioniert im Prinzip für alle Kegelschnitte.
2.3.1Parabel
Wir arbeiten mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie l der Parabel p (Abb. 3a).
Abb. 3: Parabel. Erster Schritt
Wir schneiden den Kreis k um P durch F und mit der Leitlinie l in Q1 und Q2 (Abb. 3b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2 sind die gesuchten Tangenten t1 bezie- hungsweise t2 (Abb. 4a).
P
l F
P
Q1
Q2 k
l F
a) b)
Abb. 4: Parabeltangenten
Die Berührungspunkte liegen auf den Loten zur Leitlinie l durch Q1 und Q2 (Abb. 4b).
Diese Konstruktion folgt aus der Abstandsdefinition und der Reflexionseigenschaft der Parabel.
Das Viereck PQ1B1F ist ein Drachenviereck mit der Tangente t1 als Symmetrieachse (Abb. 5a). Der Diagonalenschnittpunkt D1 liegt auf der Scheiteltangente tS der Parabel.
Analog für die andere Tangente (Abb. 5b).
Abb. 5: Drachenvierecke
2.3.2Ellipse
Die Tangentenkonstruktion für die Ellipse geht im Prinzip analog. Von einer Ellipse e seien die beiden Brennpunkte F1 und F2 sowie die Länge 2a der langen Achse bekannt (Abb. 6a).
P
Q1 t1
t2
Q2 k
l F
P
Q1 B1
t1
t2 B2
Q2 k
l F
a) b)
P
Q1 D1
B1 t1
tS t2
B2
Q2 k
l F
P
Q1 D1 D2
B1 t1
tS t2
B2
Q2 k
l F
a) b)
Abb. 6: Ellipse
Als ersten Schritt zeichnen wir einen Kreis l mit dem Zentrum F2 und dem Radius 2a (dieser Kreis entspricht der Leitlinie der Parabel) sowie einen Kreis k um P durch den anderen Brennpunkt F1. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bezeichnen wir mit Q1 und Q2 (Abb. 6b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken F1Q1 und F1Q2 sind die gesuchten Tangenten t1 bezie- hungsweise t2 (Abb. 7a). Die Berührungspunkte liegen auf den Strecken F2Q1 und F2Q2 (Abb. 7b).
Abb. 7: Ellipsentangenten
Wieder gibt es Drachenvierecke (Abb. 8). Deren Diagonalenschnittpunkte liegen auf dem Thaleskreis kS über der langen Ellipsenachse. Dieser Kreis berührt die Ellipsen in den beiden spitzen Scheiteln.
P
F1 F2
2a
e e
P
F1 F2
2a 2a
Q1
Q2 l k
a) b)
P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 l k
P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 B1
B2 l k
a) b)
e e
Abb. 8: Drachenvierecke bei der Ellipse
Bemerkung 1: Die Konstruktion ist asymmetrisch, indem die beiden Brennpunkte un- terschiedlich verwendet werden. Die Abbildung 9a zeigt die Konstruktion mit ver- tauschten Rollen der beiden Brennpunkt, die Abbildung 9b die Überlagerung der beiden Lösungswege.
Abb. 9: Vertauschte Rollen. Überlagerung
Aus dieser Symmetrieüberlegung lässt sich eine Tangentenkonstruktion ableiten, wel- che ohne Mittelsenkrechte auskommt.
Bemerkung 2: Die in der Schule übliche Konstruktion der Ellipsentangente benutzt die Affinität. Die Ellipse wird affin zu einem Kreis aufgeblasen (Abb. 10a), dabei wird der
P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 B1
B2 D1
l k
kS P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 B1
B2 D1
D2 l k kS
a) b)
P
F1 F2
2a 2a
P
F1 F2
a) b)
Punkt P mitgenommen. Dann werden die Kreistangenten gezeichnet und anschließend das Ganze rückwärts abgebildet (Abb. 10b).
Unsere Konstruktion verwendet keine Affinität.
Abb. 10: Konstruktion m it Affinität
Bemerkung 3: Wenn der Brennpunkt F2 (nach links) ins Unendliche abrauscht ergibt sich aus der Abbildung 7 die Situation der Parabel.
Bemerkung 4: Wenn wir die beiden Brennpunkte F1 und F2 zusammenfallen lassen, ergibt sich eine einfache Tangentenkonstruktion an den Kreis, welche ohne den Thales- kreis auskommt.
2.3.3Hyperbel
Die Konstruktion geht völlig analog zur Ellipse. Die Abbildungen 11, 12 und 13 zeigen den Konstruktionsablauf.
Abb. 11: Hyperbel
a) b)
P P
a) b)
Abb. 12: Hyperbeltangenten
Abb. 13: Drachenvierecke bei der Hyperbel
3 Umkehrung
Um kehrung
Von welchen Punkten aus sehen wir die Parabel unter einem vorgegebenen Winkel?
a) b)
a) b)
3.1 Gibt es ähnliche Fragen?
Von welchen Punkten aus sehen wir eine Strecke unter einem vorgegebenen Winkel?
Die Lösung ist das Ortsbogenpaar, im Sonderfall des rechten Winkels der Thaleskreis.
Wir können die Strecke durch ein Polygon ersetzen: von welchen Punkten aus sehen wir das regelmäßige Siebeneck (Abb. 16a) unter einem Winkel von 60°? Die Lösung ist der Außenrand der Kreisfiguration der Abbildung 16b. Die Kreise sind Ortsbogen für den Winkel 60° über den Diagonalen des Siebenecks.
Abb. 16: Regelm äßiges Siebeneck gesehen unter 60°
Dom zu M ainz. Regelm äßiges Siebeneck
a) b)
Die Abbildung 17a zeigt zwei verschiedene allgemeine Fälle, die Abbildung 17b einen Sonderfall.
Abb. 17: Verschiedene Fälle
Wir werden im Folgenden die Parabel auf Kegelschnitte verallgemeinern: von welchen Punkten aus sehen einen Kegelschnitt unter einem vorgegebenen Winkel? Zunächst untersuchen wir die Situation für rechte Winkel (Thalesproblem).
a) b)
60°
60°
60°
4 Rechte Winkel als Sehwinkel. Orthoptische Kurven
Von welchen Punkten aus sehen wir einen Kegelschnitt unter einem rechten Winkel?
Die Menge dieser Punkte wird als orthoptische Kurve bezeichnet (Odehnal, 2010).
4.1 Kreis
Der Fall des Kreises ist einfach. Wir erhalten einen Kreis, dessen Radius 2-mal so groß ist wie der Radius des gegebenen Kreises (Abb. 18):
Abb. 18: Kreis und rechte W inkel
4.2 Parabel
Die Lösung ist die Leitlinie der Parabel (Abb. 19). Der Beweis ist eine schöne Übung in Parabelgeometrie.
Abb. 19: Parabel und Leitlinie
a) b)
Die Leitlinie ist also sozusagen der „Thaleskreis“ der Parabel.
4.3 Ellipse
Wir erhalten interessanterweise einen Kreis (Abb. 20). Bei einer Ellipse mit den Halb- achsen a und b hat dieser Kreis den Radius r:
r= a2 +b2 (14)
Die othoptische Kurve („Thaleskreis“) einer Ellipse ist also ein Kreis. Für den Beweis siehe [3]. Der Beweis ist recht happig.
Die Ecken der „Umrechtecke“ einer Ellipse liegen auf einem Kreis.
Abb. 20: Ellipse und Thaleskreis Sonderfälle:
a) Für b = 0 wird die Ellipse zu einer Strecke und wir erhalten den gewöhnlichen Tha- leskreis.
b) Für a = b ist die Ellipse ein Kreis und wir erhalten den Sonderfall der Abbildung 5.
4.4 Hyperbel
Die orthoptische Kurve existiert nur für a>b und ist ebenfalls ein Kreis (Abb. 21).
Dieser Kreis hat den Radius r:
r= a2 −b2 (15)
Für den Beweis siehe [3]. Für a>b liegen die Hyperbeläste im spitzwinkligen Bereich der Asymptoten (Abb. 21).
Die Asymptoten zerlegen den Kreis in zwei kleine Bögen im spitzwinkligen Bereich und zwei große Bögen im stumpfwinkligen Bereich.
Abb. 21: Hyperbel und Thaleskreis
Die von Punkten auf einem kleinen Bogen des Kreises ausgehenden Tangenten berüh- ren beide denselben Hyperbelast. Dieser Hyperbelast liegt im Innern des Rechtwinkel- bereiches der beiden Tangenten.
Die von Punkten auf einem großen Bogen des Kreises ausgehenden Tangenten berühren beide Hyperbeläste. Die beiden Hyperbeläste liegen außerhalb des Rechtwinkelberei- ches der beiden Tangenten. Um die Hyperbel zu sehen, bräuchte es eine Fischaugenka- mera.
Für die Punkte des Kreises auf den Asymptoten haben wir einen interessanten Sonder- fall (Abb. 22).
Abb. 22: Sonderfall auf den Asym ptoten
Für den Sonderfall a=b (gleichseitige Hyperbel) schrumpft der Kreis zu einem Punkt und die „Tangenten“ sind die Asymptoten.
5 Beliebige Winkel als Sehwinkel
Wir bezeichnen den vorgegebenen Sehwinkel mit α =2β. Der Winkel β ist also der halbe Sehwinkel. Diese Schreibweise vereinfacht die folgenden Formeln. Die Menge der Punkte, von denen aus das Objekt unter einem beliebigen vorgegebenen Winkel gesehen werden kann, wird als isoptische Kurve bezeichnet (Odehnal 2010).
5.1 Kreis
Der Fall ist trivial. Wir erhalten einen Kreis. Sein Radius ist das sin1( )β -fache des ur- sprünglichen Kreisradius.
5.2 Parabel 5.2.1Allgemein
Die gesuchten Punkte liegen auf einem Hyperbelast (Abb. 23).
Auf dem zweiten Hyperbelast (magenta in Abb. 23) liegen die Punkte, von denen aus die Parabel unter dem Winkel 180°−α gesehen wird.
Abb. 23: Parabel und Hyperbelast
Für den rechnerischen Nachweis arbeitete ich mit der Parabel p:
p: y=x2 (16)
Die Parabel p hat den Brennpunkt F1=
( )
0,14 und die Leitlinie f : y=−14. Vorgehen zum Auffinden der Lösung:a) Auf Grund von Beispielen vermuten wir, dass es sich um eine querliegende Hy- perbel handelt. Der untere Hyperbelast ist dabei die Lösung für einen spitzen Winkel α, der obere Hyperbelast die Lösung für seinen stumpfen Nebenwinkel.
Der eine Brennpunkt der Hyperbel fällt mit dem Brennpunkt der Parabel p zu- sammen
b) Berechnung einzelner Punkte (mit Symmetrie-Überlegungen). Es werden die Scheitelpunkte S1 und S2 der Hyperbel berechnet.
c) Berechnung der Hyperbelgleichung.
d) Verifikation, dass Lösung. Diesen letzten Schritt habe ich mit DGS gemacht.
e) Andere Lösungen mit einer Niveaulinienüberlegung ausschließen.
Zu b): Wir berechnen den zu einem spitzen Winkel α gehörenden Scheitelpunkt S1 der Hyperbel. Hilfreich dazu ist der in der Abbildung 24 in orange eingezeichnete Rhom-
bus. Er ergibt sich aus der Brennpunkt-Leitlinie-Definition der Parabel und der Reflexi- onseigenschaft der Parabeltangente. Seine Ecken sind der Brennpunkt F1, der Berüh- rungspunkt der Tangente an die Parabel, der Lotfußpunkt auf die Leitlinie und der Punkte S1 auf der y-Achse. Der Rhombus hat den spitzen Winkel α. Sein Mittelpunkt liegt auf der x-Achse.
Abb. 24: Scheitelpunkt
Mit Hilfe der gelb und zyan eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecke ergibt sich (man beachte die Kontangens-Funktion):
S1=
(
0,−14cot2( )
α2)
(17)Analog ergibt sich für den Scheitelpunkt S2:
S2 =
(
0,−14tan2( )
α2)
(18)Mit dem Brennpunkt F1 und den beiden Scheitelpunkten S1 und S2 haben wir jetzt ausreichend Informationen zur Bestimmung der Hyperbel.
Wir erhalten:
x y
S1 F1=
( )
0,14f :y=−14
14 α
2
α2
Zweiter Brennpunkt:
F2 =
(
0,−14tan2( )
α2 −14cot2( )
α2 −14)
(19)Achsen:
a= 14tan
( )
α2 +14cot( )
α2 , b= 18tan2( )
α2 −18cot2( )
α2 (20)Mittelpunkt:
M =
(
xM,yM)
=(
0,−18tan2( )
α2 −18cot2( )
α2)
(21)Hyperbelgleichung:
−
(
x−axM)
2+( )
y−yMb 2 =1 (22)Nun können wir von einem Punkt auf der Hyperbel (21) ausgehend die Tangenten an die Parabel (15) anlegen und feststellen, dass deren Zwischenwinkel α ist.
Die Abbildung 25 zeigt die Hyperbelschar für α ∈
{
10°,20°,...,90°}
. Die Kurven sind eine Art Niveaulinien für α. Die Schrittweite ist Δα =15°.Abb. 25: Hyperbelschar als isoptische Kurven
5.2.2Schulbeispiel
Gesucht ist die Menge der Punkte, von denen aus die Parabel y=x2 unter einem Win- kel von 60° gesehen wird.
Gemäß (20) und (21) erhalten wir die Hyperbel:
16x2−48y2−40y−3=0 (23)
Die Abbildung 26 zeigt die Situation.
Abb. 26: Schulbeispiel
5.3 Ellipse
Die Abbildung 27 zeigt die Situation bei der Ellipse. Die Schrittweite ist wiederum 15°.
Abb. 27: Isoptische Kurven der Ellipse
Die isoptischen Kurven sind keine Kegelschnitte mehr, sondern Kurven vierten Grades.
5.4 Hyperbel
Die Abbildung 28 zeigt die Situation bei der Hyperbel. Die Schrittweite ist wiederum 15°.
Abb. 28: Isoptische Kurven der Hyperbel
D a n k
Der Autor dankt Kolleginnen und Kollegen des Liechtensteinischen Gymnasiums Vaduz für Anregungen und Hinweise.
W e b s i t e s
[1] Hans Walser: Sehwinkel bei Kegelschnitten (abgerufen 15.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehwinkel_Kegelschnitte/Sehwinkel_Kegelschnitte.htm [2] Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt (abgerufen 03.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangente_an_Kegelschnitt/Tangente_an_Kegelschnitt.htm
[3] Hans Walser: Thaleskreis an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 15.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Thaleskreis_E_H/Thaleskreis_E_H.htm [4] Hans Walser: Kreistangente ohne Thaleskreis (abgerufen 18.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreistangente_o_Tk/Kreistangente_o_Tk.htm [5] Hans Walser: Tangente an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 19.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H.htm
L i t e r a t u r
Odehnal, Boris (2010): Equioptic Curves of Conic Sections. In: Journal for Geometry and Graphics. Band 14, 2010, Nr. 1, S. 29–43.
Weber, Karlheinz und Zillmer, Wolfgang (2002): Mathematik Gymnasiale Oberstufe.
Grundkurs Aufgabenbuch. Analysis, Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Stochastik. Berlin – Frankfurt M: Duden Paetec Schulbuchverlag.
ISBN 3-89818-110-3.
