Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian 2. Klausur (Blatt 16) 10. 2.2001
1. Zentralkraft: Harmonisher Oszillator(32 Punkte)
Zwei Massepunkte (Massenm
1
=mund m
2
=2m) bewegensihimR 3
unter Einu
der anziehenden KraftF
12
= k(r
2 r
1
) mitk >0.
(a) Woliegt der Shwerpunkt und wie lautetdie Bewegungsgleihung furdie Shwer-
punktsbewegung? (3Punkte)
(b) WiegroistdiereduzierteMasse und wielautetdie Bewegungsgleihung furdie
Relativbewegung (Relativabstand r, Kraft F(r))? (3Punkte)
() Berehnen Sie die Arbeit, die im Kraftfeld F(r) entlang der folgenden Wege ge-
leistet wird: (i) gerade Linie (0;0;0) ! (1;1;0); (ii) Kreis mitRadius R um den
Koordinatenursprung. (4Punkte)
(d) Wie lautet das zum Kraftfeld F(r) zugehorige Potential U(r)? (2Punkte)
(e) Warum konnen Sie zur Losung der Bewegungsgleihung annehmen, da die Rela-
tivbewegungin der xy-Ebene verlauft? (4Punkte)
(f) Geben Siefurdie Relativbewegungdie Gleihungenfurdie ErhaltungvonEnergie
E und Drehimpuls L=L
z e
z
inPolarkoordinaten (r;) an. (4Punkte)
(g) StellenSiedamitdieDierentialgleihungfurdieRadialbewegungr(t)auf.(2Punkte)
(h) Benutzen Sie die Substitution r(t) 2
= a+b(t), um die Dierentialgleihung auf
die Form _ 2
=4!
2
(1
2
) zu bringen. Druken Sie a;b und ! durhk, , L
z und
E aus. (6Punkte)
(i) BestimmenSie darausdie allgemeineLosungfur(t)und damitauhr(t).(4Punkte)
Hinweis:
R
dx
p
1 x 2
=arsinx
DieErde und ein
auererPlanet bewegen sih aufKreisbahnen um die Sonne (Bahn-
radiusR und kR mitk >1;Sonnenmasse m
S
, GravitationskonstanteG). EinRaum-
shi soll von der Erde zum Planeten iegen, ohne (auer beim Start) Treibsto zu
benotigen. Dafur isteine Ellipsenbahn geeignet, deren sonnennahster Punkt auf der
Erdbahn und sonnenfernster Punkt auf der Planetenbahn liegt.
(a) Zeigen Sie: Parameter und Exzentrizitatdieser Bahn sind (4Punkte)
p= 2k
k+1
R und = k 1
k+1 :
(b) WievielJahredauertes,biseinRaumshiaufeinersolhenBahnvonderErdbahn
zur Planetenbahn gelangtist? [Hinweis: 3.Keplershes Gesetz℄ (4Punkte)
() Welhe Geshwindigkeit hat das Raumshi bei der Ankunft auf der Bahn des
aueren Planeten? (4Punkte)
(d) Wie gro ist die Ankunftsgeshwindigkeit imRuhesystem des Planeten? Nehmen
Sie an, da sih Raumshi und Planet in der gleihen Rihtung um die Sonne
bewegen. (4Punkte)
(e) Das Raumshi sollim Shwerefeld des Planeten ohne Einsatz von Treibsto be-
shleunigt werden. Wie ist das moglih? Welhe Form hat die Bahn in der Nahe
des Planeten (mit Begrundung), und welhe Geshwindigkeit hat das Raumshi
maximal nahder Begegnung? (5Punkte)
(f) Wiegro muk mindestenssein,damitdas Raumshiunter diesenBedingungen
anshlieenddas Sonnensystem verlassen kann? (4Punkte)
Hinweise: Eine Ellipsenbahn mit Halbahsen p=
p
1
2
und p=(1 2
) wird durh
r=p=(1+os (
0
))beshrieben.DieGesamtenergieistE = Gm
1 m
2 (1
2
)=(2p).
3. ErzwungeneShwingung mitReibung (23 Punkte)
Gegeben ist die Dierentialgleihung fur x(t)
x+!x_ +! 2
x=f(t) mit f(t)=at(t)(t
0
t); a;t
0
>0:
(a) Skizzieren Sie f(t). (2Punkte)
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Losung dieser Dierentialgleihung fur t < 0 und
t >t
0
. (5Punkte)
() Bestimmen Sie die allgemeine Losung fur 0<t <t
0
. (4Punkte)
(d) Skizzieren Sie die spezielle Losung x(t), die furt<0vershwindet. (4Punkte)
(e) Berehnen Sie diese spezielle Losungim Bereih0<t<t
0
. (6Punkte)
(f) Mit der vorgegebenen Anregung f(t) sind die Losung x(t) und ihre Ableitung x_
bei t = 0 und t = t
0
stetig. Wie mute f(t) aussehen, wenn x(t) bei t = 0 einen
Knik hatte? (2Punkte)
Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian 2. Klausur (Blatt 16) 10. 2.2001
Losungsvorshlage
1. Zentralkraft: Harmonisher Oszillator(32 Punkte)
(a) Shwerpunkt: (3Punkte)
R= m
1 r
1 +m
2 r
2
m
1 +m
2
= 1
3 r
1 +
2
3 r
2
Bewegungsgleihung:
(m
1 +m
2 )
R=3m
R=0 oder
R=0
(b) Reduzierte Masse: (3Punkte)
= m
1 m
2
m
1 +m
2
= 2
3 m
Bewegungsgleihung:
r= 2
3
mr=F(r) mit F(r)= kr
() (4Punkte)
(i) Parametrisierung: r(t)=(1;1;0)t
dr=(1;1;0)dt ! W = Z
drF(r)=k Z
drr=k Z
1
0
2tdt=k
(ii) Das Integral ist Null, aus zwei Grunden: (a) uberall ist F ? dr; (b) das
Kraftfeld istkonservativ (aus einem Potentialableitbar), daher vershwindet
das Integral
uber einengeshlossenen Weg.
(d) U(r)= k
2 r
2
,damit istF= r U. (2Punkte)
(e) Der Drehimpulsisterhalten (Zentralkraft).Weilder Drehimpulsorthogonal aufr
und r_ steht,liegendieseVektorenund damitdie gesamteBahnkurveinder Ebene
orthogonalzuL.DasdasSystemisotropist,konnenwireinInertialsystemwahlen,
so da das die xy-Ebene ist. (4Punkte)
(f) (4Punkte)
E =
(r_ 2
+r 2
_
2
)+ k
r 2
und L
z
=r 2
_
z
E =
2
_ r 2
+ L
2
z
2
r 2
+ k
2 r
2
oder
_ r 2
= 2E
k
r
2 L
2
z
2
r 2
(h) Multiplizieredie DGL mit4r 2
:
4r 2
_ r 2
=4
2E
r
2 k
r
4 L
2
z
2
Substitution:
r(t) 2
=a+b(t) ! 2rr_=b_
Einsetzen:
b 2
_ 2
=4
2E
(a+b) k
(a
2
+2ab+b 2
2
) L
2
z
2
=4
2E
a
k
a
2 L
2
z
2
+
2E
b
2k
ab
k
b
2
2
d.h.
_ 2
=4 k
2E
k a a
2 L
2
z
k
1
b 2
+ 2
b
E
k a
2
Vergleihmit_ 2
=4!
2
(1
2
) ergibt:
!= p
k= und a =E=k
sowie nahEinsetzen von a
b 2
= E
2
k 2
L 2
z
k
oder b = E
k s
1 k
L
2
z
E 2
= E
k s
1
!L
z
E
2
(6Punkte)
(i)
d
dt
=2!
p
1
2
! Z
d
p
1
2
=2!
Z
dt
! arsin=2!(t t
0
) ! (t)=sin2!(t t
0 )
Einsetzen fur r(t):
r(t)= p
a+b(t)= r
E
k 0
1+ s
1
!L
z
E
2
sin2!(t t
0 )
1
A 1=2
(4Punkte)
(a) Ellipsengleihung fur=
0
(Perihel)und =
0
+ (Aphel):
p
1+
=R und p
1
=kR
Division:
1+
1
=k ! 1+=k k ! =
k 1
k+1
! p=R (1+)= 2k
k+1 R
(4Punkte)
(b) 3. Keplershes Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sihwie die Ku-
ben der groen Halbahsen. Umlaufzeiten: 1a fur die Erde und T fur das Raum-
shi; Groe Halbahsen: R fur die Erde und
p
1
2
= 1
p
p
1
p
1+
= k+1
2kR
(kR )R= k+1
2 R
furdas Raumshi.Also:
T 2
(1a) 2
=
k+1
2 R
3
1
R 3
! T =
k+1
2
3=2
a
Die Flugdauer istT=2=2 5=2
(k+1) 3=2
. (4Punkte)
() Energiesatz mit U(r)= Gmm
S
=r und E = Gmm
S
(1
2
)=2p:
E = mv
2
2
+U(r) !
E
m
= 1
2 v
2
+ U(r)
m
! v
2
= 2E
m
2U(r)
m
d.h. konkret
v 2
= Gm
S
1
2
p
2
kR
= Gm
S
2
(k+1)R 2
kR
=
2Gm
S
k(k+1)R
(4Punkte)
(d) DieGeshwindigkeitdesPlanetenaufeinerKreisbahnberehnetsihebenso,wobei
=0 und p=kR ist:
v 2
P
= Gm
S
1
kR 2
kR
= Gm
S
kR
Im Ruhesystem des Planeten hat das Raumshi alsodie Geshwindigkeit
^
v =v v
P
= r
Gm
S
kR r
2
k+1 1
!
Diese Geshwindigkeit istnegativ, d.h. der Planet holt das Raumshi auf seiner
ptotishe Geshwindigkeit, bendet sih also auf einer Hyperbelbahn. Auf einer
solhen Bahnwirddas RaumshiineineandereRihtungzurukgeshleudert; im
Extremfall(sehrnaheBegegnung)praktishindieRihtung,ausderesgekommen
ist. Nah der Begegnung hat das Raumshi im Ruhesystem des Planeten damit
die Geshwindigkeit
^ v 0
= ^v
d.h. imursprunglihen Bezugssystem
v 0
=v^ 0
+v
P
=2v
P
v = r
Gm
S
kR 2
r
2
k+1
!
Weilv^negativwar, ist^v 0
positiv,die Geshwindigkeitnah derBegegnung v 0
also
groer als die des Planeten. Bei Austritt ineiner anderen Rihtung istv 0
niht so
gro, weil sih die Geshwindigkeiten vektoriell addieren. (5Punkte)
(f) Das Raumshi soll sih nah der Begegnung auf einer Parabelbahn benden:
=1, alsoE =0. Wir konnenwieder den Energiesatz verwenden:
v 02
= Gm
S
kR 2
r
2
k+1
!
2
= Gm
S
0 2
kR
Wir kurzen Gm
S
=kR und ziehen die Wurzel:
2 r
2
k+1
= p
2 !
1
p
k+1
= p
2 1
! k =
1
( p
2 1) 2
1=( p
2+1) 2
1=2(1+ p
2)4:82
(4Punkte)
(a) Skizze:
t t
0 f(t )
(2Punkte)
(b) Fur t < 0 und t > t
0
vershwindet die rehte Seite, es ist also eine homogene
Dierentialgleihung. Ansatz: x(t)=e t
0=x+!x_ +! 2
x= 2
+!+! 2
e t
! 0=
2
+!+! 2
! =
!
2
r
! 2
4
! 2
=
!
2
( 1i p
3)
Nahder Eulershen Formel istdas
e t
=e
!t=2
(os p
3
2
!t+isin p
3
2
!t)
Realteil und Imaginarteil sind jeweils eine Losung; die allgemeine Losung ist eine
Linearkombination
x(t)=Ae
!t=2
os p
3
2
!t+Be
!t=2
sin p
3
2
!t
mitunbestimmten Konstanten A und B. (5Punkte)
() Fur 0 < t < t
0
ist die rehte Seite niht Null; wir mussen zunahst eine Parti-
kularlosung der Gleihung
x+!x_ +! 2
x=at
suhen. Ein Ansatz vomTyp der rehten Seite ist:
x(t)=bt+
Einsetzen liefert
0+!b+! 2
(bt+)=at
also durh KoeÆzientenvergleih
b= a
2
und = b
= a
3
allgemeinen Losung der homogenen Gleihung, d.h.
x(t)=Ae
!t=2
os p
3
2
!t+Be
!t=2
sin p
3
2
!t+ a
! 3
(!t 1)
(4Punkte)
(d) Man muder partikularen Losung
x(t)= a
! 3
(!t 1)(t)(t
0 t)
fur t > 0 und t > t
0
jeweils eine gedampfte Shwingung so
uberlagern, da die
Kurve glatt anshliet: (4Punkte)
t t
0 x (t )
(e) Fur0<t<t
0 :
x(t)=Ae
!t=2
os p
3
2
!t+Be
!t=2
sin p
3
2
!t+ a
! 3
(!t 1)
_ x (t)=
!
2 A+
p
3
2
!B
!
os p
3
2
!t+ p
3
2
!A
!
2 B
!
sin p
3
2
!t+ a
! 2
Furt<0ist x(t)0; wenn die Funktion stetigund dierenzierbar sein soll,mu
x(0) =x(0)_ =0 sein. Das heit:
0=x(0)=A a
! 3
und 0=x (0)_ =
!
2 A+
p
3
2
!B+ a
! 2
also A= a
! 3
und B = 1
p
3 a
! 3
.
Damit istdie Losungfur0<t <t
0 :
x(t)= a
! 3
"
e
!t=2
os p
3
2
!t 1
p
3 sin
p
3
2
!t
!
+!t 1
#
(6Punkte)
(f) Wenn x(t) beit =0 einen Knik hatte, hatte x_ dort einen Sprung. Dann waren x
und damitf(t) andieser Stelle proportional zur Æ-Funktion Æ(t). (2Punkte)
