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Berehnen Sie die Arbeit, die im Kraftfeld F(r) entlang der folgenden Wege ge- leistet wird: (i) gerade Linie (0;0;0

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(1)

Theoretishe Physik A WS 2000/01

Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian 2. Klausur (Blatt 16) 10. 2.2001

1. Zentralkraft: Harmonisher Oszillator(32 Punkte)

Zwei Massepunkte (Massenm

1

=mund m

2

=2m) bewegensihimR 3

unter Einu

der anziehenden KraftF

12

= k(r

2 r

1

) mitk >0.

(a) Woliegt der Shwerpunkt und wie lautetdie Bewegungsgleihung furdie Shwer-

punktsbewegung? (3Punkte)

(b) WiegroistdiereduzierteMasse und wielautetdie Bewegungsgleihung furdie

Relativbewegung (Relativabstand r, Kraft F(r))? (3Punkte)

() Berehnen Sie die Arbeit, die im Kraftfeld F(r) entlang der folgenden Wege ge-

leistet wird: (i) gerade Linie (0;0;0) ! (1;1;0); (ii) Kreis mitRadius R um den

Koordinatenursprung. (4Punkte)

(d) Wie lautet das zum Kraftfeld F(r) zugehorige Potential U(r)? (2Punkte)

(e) Warum konnen Sie zur Losung der Bewegungsgleihung annehmen, da die Rela-

tivbewegungin der xy-Ebene verlauft? (4Punkte)

(f) Geben Siefurdie Relativbewegungdie Gleihungenfurdie ErhaltungvonEnergie

E und Drehimpuls L=L

z e

z

inPolarkoordinaten (r;) an. (4Punkte)

(g) StellenSiedamitdieDierentialgleihungfurdieRadialbewegungr(t)auf.(2Punkte)

(h) Benutzen Sie die Substitution r(t) 2

= a+b(t), um die Dierentialgleihung auf

die Form _ 2

=4!

2

(1

2

) zu bringen. Druken Sie a;b und ! durhk, , L

z und

E aus. (6Punkte)

(i) BestimmenSie darausdie allgemeineLosungfur(t)und damitauhr(t).(4Punkte)

Hinweis:

R

dx

p

1 x 2

=arsinx

(2)

DieErde und ein



auererPlanet bewegen sih aufKreisbahnen um die Sonne (Bahn-

radiusR und kR mitk >1;Sonnenmasse m

S

, GravitationskonstanteG). EinRaum-

shi soll von der Erde zum Planeten iegen, ohne (auer beim Start) Treibsto zu

benotigen. Dafur isteine Ellipsenbahn geeignet, deren sonnennahster Punkt auf der

Erdbahn und sonnenfernster Punkt auf der Planetenbahn liegt.

(a) Zeigen Sie: Parameter und Exzentrizitatdieser Bahn sind (4Punkte)

p= 2k

k+1

R und = k 1

k+1 :

(b) WievielJahredauertes,biseinRaumshiaufeinersolhenBahnvonderErdbahn

zur Planetenbahn gelangtist? [Hinweis: 3.Keplershes Gesetz℄ (4Punkte)

() Welhe Geshwindigkeit hat das Raumshi bei der Ankunft auf der Bahn des



aueren Planeten? (4Punkte)

(d) Wie gro ist die Ankunftsgeshwindigkeit imRuhesystem des Planeten? Nehmen

Sie an, da sih Raumshi und Planet in der gleihen Rihtung um die Sonne

bewegen. (4Punkte)

(e) Das Raumshi sollim Shwerefeld des Planeten ohne Einsatz von Treibsto be-

shleunigt werden. Wie ist das moglih? Welhe Form hat die Bahn in der Nahe

des Planeten (mit Begrundung), und welhe Geshwindigkeit hat das Raumshi

maximal nahder Begegnung? (5Punkte)

(f) Wiegro muk mindestenssein,damitdas Raumshiunter diesenBedingungen

anshlieenddas Sonnensystem verlassen kann? (4Punkte)

Hinweise: Eine Ellipsenbahn mit Halbahsen p=

p

1

2

und p=(1 2

) wird durh

r=p=(1+os (

0

))beshrieben.DieGesamtenergieistE = Gm

1 m

2 (1

2

)=(2p).

3. ErzwungeneShwingung mitReibung (23 Punkte)

Gegeben ist die Dierentialgleihung fur x(t)



x+!x_ +! 2

x=f(t) mit f(t)=at(t)(t

0

t); a;t

0

>0:

(a) Skizzieren Sie f(t). (2Punkte)

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Losung dieser Dierentialgleihung fur t < 0 und

t >t

0

. (5Punkte)

() Bestimmen Sie die allgemeine Losung fur 0<t <t

0

. (4Punkte)

(d) Skizzieren Sie die spezielle Losung x(t), die furt<0vershwindet. (4Punkte)

(e) Berehnen Sie diese spezielle Losungim Bereih0<t<t

0

. (6Punkte)

(f) Mit der vorgegebenen Anregung f(t) sind die Losung x(t) und ihre Ableitung x_

bei t = 0 und t = t

0

stetig. Wie mute f(t) aussehen, wenn x(t) bei t = 0 einen

Knik hatte? (2Punkte)

(3)

Theoretishe Physik A WS 2000/01

Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian 2. Klausur (Blatt 16) 10. 2.2001

Losungsvorshlage

1. Zentralkraft: Harmonisher Oszillator(32 Punkte)

(a) Shwerpunkt: (3Punkte)

R= m

1 r

1 +m

2 r

2

m

1 +m

2

= 1

3 r

1 +

2

3 r

2

Bewegungsgleihung:

(m

1 +m

2 )



R=3m



R=0 oder



R=0

(b) Reduzierte Masse: (3Punkte)

= m

1 m

2

m

1 +m

2

= 2

3 m

Bewegungsgleihung:

r= 2

3

mr=F(r) mit F(r)= kr

() (4Punkte)

(i) Parametrisierung: r(t)=(1;1;0)t

dr=(1;1;0)dt ! W = Z

drF(r)=k Z

drr=k Z

1

0

2tdt=k

(ii) Das Integral ist Null, aus zwei Grunden: (a) uberall ist F ? dr; (b) das

Kraftfeld istkonservativ (aus einem Potentialableitbar), daher vershwindet

das Integral



uber einengeshlossenen Weg.

(d) U(r)= k

2 r

2

,damit istF= r U. (2Punkte)

(e) Der Drehimpulsisterhalten (Zentralkraft).Weilder Drehimpulsorthogonal aufr

und r_ steht,liegendieseVektorenund damitdie gesamteBahnkurveinder Ebene

orthogonalzuL.DasdasSystemisotropist,konnenwireinInertialsystemwahlen,

so da das die xy-Ebene ist. (4Punkte)

(f) (4Punkte)

E =

(r_ 2

+r 2

_

2

)+ k

r 2

und L

z

=r 2

_

(4)

z

E =

2

_ r 2

+ L

2

z

2

r 2

+ k

2 r

2

oder

_ r 2

= 2E

k

r

2 L

2

z

2

r 2

(h) Multiplizieredie DGL mit4r 2

:

4r 2

_ r 2

=4

2E

r

2 k

r

4 L

2

z

2

Substitution:

r(t) 2

=a+b(t) ! 2rr_=b_

Einsetzen:

b 2

_ 2

=4

2E

(a+b) k

(a

2

+2ab+b 2

2

) L

2

z

2

=4

2E

a

k

a

2 L

2

z

2

+

2E

b

2k

ab

k

b

2

2

d.h.

_ 2

=4 k

2E

k a a

2 L

2

z

k

1

b 2

+ 2

b

E

k a

2

Vergleihmit_ 2

=4!

2

(1

2

) ergibt:

!= p

k= und a =E=k

sowie nahEinsetzen von a

b 2

= E

2

k 2

L 2

z

k

oder b = E

k s

1 k

L

2

z

E 2

= E

k s

1

!L

z

E

2

(6Punkte)

(i)

d

dt

=2!

p

1

2

! Z

d

p

1

2

=2!

Z

dt

! arsin=2!(t t

0

) ! (t)=sin2!(t t

0 )

Einsetzen fur r(t):

r(t)= p

a+b(t)= r

E

k 0

1+ s

1

!L

z

E

2

sin2!(t t

0 )

1

A 1=2

(4Punkte)

(5)

(a) Ellipsengleihung fur=

0

(Perihel)und =

0

+ (Aphel):

p

1+

=R und p

1

=kR

Division:

1+

1

=k ! 1+=k k ! =

k 1

k+1

! p=R (1+)= 2k

k+1 R

(4Punkte)

(b) 3. Keplershes Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sihwie die Ku-

ben der groen Halbahsen. Umlaufzeiten: 1a fur die Erde und T fur das Raum-

shi; Groe Halbahsen: R fur die Erde und

p

1

2

= 1

p

p

1

p

1+

= k+1

2kR

(kR )R= k+1

2 R

furdas Raumshi.Also:

T 2

(1a) 2

=

k+1

2 R

3

1

R 3

! T =

k+1

2

3=2

a

Die Flugdauer istT=2=2 5=2

(k+1) 3=2

. (4Punkte)

() Energiesatz mit U(r)= Gmm

S

=r und E = Gmm

S

(1

2

)=2p:

E = mv

2

2

+U(r) !

E

m

= 1

2 v

2

+ U(r)

m

! v

2

= 2E

m

2U(r)

m

d.h. konkret

v 2

= Gm

S

1

2

p

2

kR

= Gm

S

2

(k+1)R 2

kR

=

2Gm

S

k(k+1)R

(4Punkte)

(d) DieGeshwindigkeitdesPlanetenaufeinerKreisbahnberehnetsihebenso,wobei

=0 und p=kR ist:

v 2

P

= Gm

S

1

kR 2

kR

= Gm

S

kR

Im Ruhesystem des Planeten hat das Raumshi alsodie Geshwindigkeit

^

v =v v

P

= r

Gm

S

kR r

2

k+1 1

!

Diese Geshwindigkeit istnegativ, d.h. der Planet holt das Raumshi auf seiner

(6)

ptotishe Geshwindigkeit, bendet sih also auf einer Hyperbelbahn. Auf einer

solhen Bahnwirddas RaumshiineineandereRihtungzurukgeshleudert; im

Extremfall(sehrnaheBegegnung)praktishindieRihtung,ausderesgekommen

ist. Nah der Begegnung hat das Raumshi im Ruhesystem des Planeten damit

die Geshwindigkeit

^ v 0

= ^v

d.h. imursprunglihen Bezugssystem

v 0

=v^ 0

+v

P

=2v

P

v = r

Gm

S

kR 2

r

2

k+1

!

Weilv^negativwar, ist^v 0

positiv,die Geshwindigkeitnah derBegegnung v 0

also

groer als die des Planeten. Bei Austritt ineiner anderen Rihtung istv 0

niht so

gro, weil sih die Geshwindigkeiten vektoriell addieren. (5Punkte)

(f) Das Raumshi soll sih nah der Begegnung auf einer Parabelbahn benden:

=1, alsoE =0. Wir konnenwieder den Energiesatz verwenden:

v 02

= Gm

S

kR 2

r

2

k+1

!

2

= Gm

S

0 2

kR

Wir kurzen Gm

S

=kR und ziehen die Wurzel:

2 r

2

k+1

= p

2 !

1

p

k+1

= p

2 1

! k =

1

( p

2 1) 2

1=( p

2+1) 2

1=2(1+ p

2)4:82

(4Punkte)

(7)

(a) Skizze:

t t

0 f(t )

(2Punkte)

(b) Fur t < 0 und t > t

0

vershwindet die rehte Seite, es ist also eine homogene

Dierentialgleihung. Ansatz: x(t)=e t

0=x+!x_ +! 2

x= 2

+!+! 2

e t

! 0=

2

+!+! 2

! =

!

2

r

! 2

4

! 2

=

!

2

( 1i p

3)

Nahder Eulershen Formel istdas

e t

=e

!t=2

(os p

3

2

!t+isin p

3

2

!t)

Realteil und Imaginarteil sind jeweils eine Losung; die allgemeine Losung ist eine

Linearkombination

x(t)=Ae

!t=2

os p

3

2

!t+Be

!t=2

sin p

3

2

!t

mitunbestimmten Konstanten A und B. (5Punkte)

() Fur 0 < t < t

0

ist die rehte Seite niht Null; wir mussen zunahst eine Parti-

kularlosung der Gleihung



x+!x_ +! 2

x=at

suhen. Ein Ansatz vomTyp der rehten Seite ist:

x(t)=bt+

Einsetzen liefert

0+!b+! 2

(bt+)=at

also durh KoeÆzientenvergleih

b= a

2

und = b

= a

3

(8)

allgemeinen Losung der homogenen Gleihung, d.h.

x(t)=Ae

!t=2

os p

3

2

!t+Be

!t=2

sin p

3

2

!t+ a

! 3

(!t 1)

(4Punkte)

(d) Man muder partikularen Losung

x(t)= a

! 3

(!t 1)(t)(t

0 t)

fur t > 0 und t > t

0

jeweils eine gedampfte Shwingung so



uberlagern, da die

Kurve glatt anshliet: (4Punkte)

t t

0 x (t )

(e) Fur0<t<t

0 :

x(t)=Ae

!t=2

os p

3

2

!t+Be

!t=2

sin p

3

2

!t+ a

! 3

(!t 1)

_ x (t)=

!

2 A+

p

3

2

!B

!

os p

3

2

!t+ p

3

2

!A

!

2 B

!

sin p

3

2

!t+ a

! 2

Furt<0ist x(t)0; wenn die Funktion stetigund dierenzierbar sein soll,mu

x(0) =x(0)_ =0 sein. Das heit:

0=x(0)=A a

! 3

und 0=x (0)_ =

!

2 A+

p

3

2

!B+ a

! 2

also A= a

! 3

und B = 1

p

3 a

! 3

.

Damit istdie Losungfur0<t <t

0 :

x(t)= a

! 3

"

e

!t=2

os p

3

2

!t 1

p

3 sin

p

3

2

!t

!

+!t 1

#

(6Punkte)

(f) Wenn x(t) beit =0 einen Knik hatte, hatte x_ dort einen Sprung. Dann waren x

und damitf(t) andieser Stelle proportional zur Æ-Funktion Æ(t). (2Punkte)

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