Lineare Algebra II 3. Übungsblatt

Lineare Algebra II 3. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2011

Prof. Dr. Kollross 27./28. April 2011

Susanne Kürsten Tristan Alex

Minitest

Aufgabe M1 (Formale Polynome)

Betrachten Sie die folgenden Polynomep₁,p₂,p₃∈K[t]über dem KörperK={0, 1}mit zwei Elementen.

p₁(t):=t²+1 , p₂(t):= (t+1)², p₃(t):=t+1

Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

ƒ Alle Polynome sind gleich.

ƒ Die Polynomep₁undp₂sind gleich.

ƒ Keine zwei Polynome sind gleich.

Aufgabe M2 (Polynomfunktionen)

Betrachten Sie die folgenden Polynomfunktionenq₁,q₂,q₃:K→Kauf dem KörperK={0, 1}mit zwei Elementen.

q₁(x):=x²+1 , q₂(x):= (x+1)², q₃(x):=x+1

Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

ƒ Alle Funktionen sind gleich.

ƒ Die Funktionenq₁undq₂sind gleich.

ƒ Keine zwei Funktionen sind gleich.

Aufgabe M3 (Nullstellen von Polynomen) Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

ƒ Jedes Polynom vom Grad größer Null mit Koeffizienten ausRhat mindestens eine Nullstelle inR.

ƒ Jedes Polynom vom Grad größer Null mit Koeffizienten ausRhat mindestens eine Nullstelle inC.

ƒ Jedes Polynom vom Grad größer Null mit Koeffizienten ausChat mindestens eine Nullstelle inC.

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Eigenwerte)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren dern×n-Matrix

A:=









1 . . . 1 ... ... 1 . . . 1







 ,

deren Einträge alle Eins sind.

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Aufgabe G2 (Nullstellen von Polynomen)

(a) Es seip(t) =a₀+a₁t+. . .+a_Nt^N∈K[t]ein Polynom mitNverschiedenen Nullstellenλ₁, . . . ,λN∈K. Zeigen Sie, dass dann

a₀= (−1)^N·a_N·

N

Y

i=1

λiunda_N−1=−a_N·

N

X

i=1

λi

gilt.

(b) Bestimmen Sie mittels Polynomdivision für das folgende Polynom alle Nullstellen und ihre Vielfachheiten:

p(t):=t⁵+t⁴−2t³−2t²+t+1 .

Hinweis: Das Polynom besitzt nur ganzzahlige Nullstellen.

Aufgabe G3 (Der Körper mit zwei Elementen)

(a) SeiK={0, 1}der Körper mit zwei Elementen. Zeigen Sie, dass jede Abbildung f :K→Kdurch ein Polynom vom Grad2realisiert werden kann, d.h. es gibt ein Polynomp(t) =t²+a₁t+a₀∈K[t]mitf(x) =p(x)für allex∈K. (b) Sei K = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie alle 2×2-Matrizen mit Einträgen in K, die keine

Eigenwerte haben.

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Hausübung

Aufgabe H1 (Eigenwerte und Eigenvektoren)

Es sei A∈ M_n(C)eine Matrix und Adie konjugierte Matrix (welche ausAentsteht, indem man alle Einträge von A konjugiert).

Wie hängen die Eigenwerte und Eigenvektoren vonAundAzusammen? Beweisen Sie ihre Behauptung.

Aufgabe H2 (Nullstellen von Polynomen)

Es seip(t) =a₀+a₁t+. . .+a_Nt^N∈R[t]ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) Seiz∈Ceine komplexe Nullstelle vonp(t), dann ist auchzeine Nullstelle vonp(t).

(b) Ist der Grad vonp(t)ungerade, so hatp(t)mindestens eine reelle Nullstelle.

(c) Ist der Grad vonp(t)gerade und gilta₀·a_N<0, so hatp(t)mindestens zwei reelle Nullstellen.

In den Aufgabenteilen (b) und (c) dürfen Sie vorraussetzen, dass z und z für jede Nullstelle z ∈C−R die gleiche Vielfachheit besitzen.

Aufgabe H3 (Polynome)

Es seien f(t),g(t)∈C[t]zwei von Null verschiedene Polynome. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussa- gen.

(i) f undghaben mindestens eine gemeinsame Nullstelle.

(ii) Es gibt von Null verschiedene Polynome ef,eg∈C[t]mit

degef <degf, degeg<degg und eg·f +ef ·g=0 .

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