Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

(1)

Typinferenzalgorithmus

mit Kontrollflussanalyse

Robert Kufner

26.06.2009

(2)

Inhaltsverzeichnis

1 Der WU L Algorithmus Idee

Beispiel

2 Der UU LAlgorithmus Idee

Beispiel

3 CFA Algorithmus Kontrollflussanalyse Unification

Beispiel

Constraints

(3)

Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

Dekl. Typsystem Algorithmus ULτ Typen:

Keine Variablen od. Annotationen

erweiterte Typen: Variablen aber keine Annotationen CFA ˆτ Annotierte Typen:

keine Variablen aber aber Annotata- tionen

Einfache Typen: Variablen & Annota- tionsvariablen

(4)

Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

Dekl. Typsystem Algorithmus ULτ Typen:

Keine Variablen od. Annotationen

erweiterte Typen:

Variablen aber keine Annotationen CFA ˆτ Annotierte Typen:

keine Variablen aber aber Annotata- tionen

Einfache Typen:

Variablen & Annota- tionsvariablen

(5)

Typinferenzalgorithmus DerW_{U L}Algorithmus

Idee

Algorithmus erh¨alt Typumgebung Γ und Ausdruck e

Falls erfolgreich: Liefert einen erweiterten Typτ und Substitution θ

(6)

Idee

Algorithmus erh¨alt Typumgebung Γ und Ausdruck e Falls erfolgreich: Liefert einen erweiterten Typτ und Substitution θ

(7)

Idee

Auszug aus den Spezifikationen

W_{U L}(Γ, c) = (τ_c, id) W_{U L}(Γ, x) = (Γ(x), id) WU L(Γ, f nπx⇒e) = let αx be fresh

(τ, θ) =WU L(Γ[x7→αx], e) in ((θα_x)→τ, θ) W_{U L}(Γ, f un_πf x⇒e₀) = let α_x, α₀ be fresh

(τ₀, θ₀) =W_{U L}(Γ[f 7→α_x →α₀][x7→α_x], e₀) θ1=UU L(τ0, θ0α0)

in (θ1(θ0αx)→θ1τ0, θ1◦θ0)

(8)

Idee

W_{U L}(Γ, e1e2) = let (τ1, θ1) =W_{U L}(Γ, e1) (τ2, θ2) =WU L(θ1Γ, e2) α be fresh

θ₃=U_{U L}(θ₂τ₁, τ₂→α) in (θ₃α, θ₃◦θ₂◦θ₁)

(9)

Beispiel

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

Welche Teile vonW_{U L} werden aufgerufen?

1 W_{U L}([ ], (f n_X x⇒x) (f n_Y y⇒ y))

2 W_{U L}([ ], f n_X x⇒ x)

3 W_{U L}([ ], f n_Y y⇒ y)

4 UU L(á→á, (´b →´b)→ć)

(10)

Beispiel

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

1 W_{U L}([ ], (f n_X x⇒x) (f n_Y y⇒ y))

2 W_{U L}([ ], f n_X x⇒ x)

3 W_{U L}([ ], f n_Y y⇒ y)

4 UU L(á→á, (´b →´b)→ć)

(11)

Beispiel

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

1 W_{U L}([ ], (f n_X x⇒x) (f n_Y y⇒ y))

2 W_{U L}([ ], f n_X x⇒ x)

3 W_{U L}([ ], f n_Y y⇒ y)

4 UU L(á→á, (´b →´b)→ć)

(12)

Beispiel

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

1 W_{U L}([ ], (f n_X x⇒x) (f n_Y y⇒ y))

2 W_{U L}([ ], f n_X x⇒ x)

3 W_{U L}([ ], f n_Y y⇒ y)

4 UU L(á→á, (´b →´b)→ć)

(13)

Beispiel

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

1 W_{U L}([ ], (f n_X x⇒x) (f n_Y y⇒ y))

2 W_{U L}([ ], f n_X x⇒ x)

3 W_{U L}([ ], f n_Y y⇒ y)

4 UU L(á→á, (´b →´b) →ć)

(14)

Typinferenzalgorithmus DerU_{U L}Algorithmus

Idee

Algorithmus erh¨alt zwei erweiterte Typen τ1 und τ2

Gibt Art der Substitution zur¨uck falls erfolgreich

Bricht ab bei top-level Konstruktoren (Hier: int, bool, →) oder wenn versucht wird eine Typvariable mit einem Funktionstyp zu vereinigen der die Typvariable enth¨alt

(15)

Idee

(16)

Idee

(17)

Idee

UU L(τ1 →τ2, τ₁⁰ →τ₂⁰) = let θ1 =UU L(τ1, τ₁⁰) θ₂ =U_{U L}(θ₁τ₂, θ₁τ₂⁰) inθ₂◦θ₁

UU L(τ, α) =

( [α7→τ] fallsαnicht inτ auftaucht oderα=τ ist

fail sonst U_{U L}(α, τ) = s.o.

U_{U L}(τ₁, τ₂) = fail

(18)

Beispiel

Beispiel von zuvor: e = (f n_X x⇒ x) (f n_Y y⇒ y)

=UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

Welche Teile vonU_{U L} werden aufgerufen und was wird zur¨uckgegeben?

1 UU L(á→á, ( ´b →´b) →ć)

2 UU L(´a, ´b→´b) = [´a7→´b→´b]

3 U_{U L}(´b→´b,´c) = [´c7→´b→´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

(19)

Beispiel

=UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

1 UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

2 UU L(´a, ´b→´b) = [´a7→´b→´b]

3 U_{U L}(´b→´b,´c) = [´c7→´b→´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

(20)

Beispiel

=UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

1 UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

2 UU L(´a, ´b→´b) = [´a7→´b→´b]

3 U_{U L}(´b→´b,´c) = [´c7→´b→´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

(21)

Beispiel

=UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

1 UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

2 UU L(´a, ´b→´b) = [´a7→´b→´b]

3 U_{U L}(´b→´b,´c) = [´c7→´b→´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

(22)

Beispiel

=UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

1 UU L(á→á, ( ´b→´b) →ć)

2 UU L(´a, ´b→´b) = [´a7→´b→´b]

3 U_{U L}(´b→´b,´c) = [´c7→´b→´b]

(23)

Typinferenzalgorithmus CFA Algorithmus

Kontrollflussanalyse

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Kontrollflussanalyse stellt folgende Kontrollflussanomalien im Code fest:

nicht erreichbarer Quelltext duplizierter Quelltext GOTO-Anweisungen

(24)

Was ist Kontrollflussanalyse ?

(25)

Was ist Kontrollflussanalyse ?

nicht erreichbarer Quelltext

duplizierter Quelltext GOTO-Anweisungen

(26)

Was ist Kontrollflussanalyse ?

nicht erreichbarer Quelltext duplizierter Quelltext

GOTO-Anweisungen

(27)

Was ist Kontrollflussanalyse ?

(28)

Wie implementieren wir eine

Kontrollflussanalyse in unseren Algorithmus ?

Bisher :

W_{U L}(f n_Xx⇒x)(f n_Yy ⇒y) = [´a7→´b→´b][´c7→´b→´b]

Jetzt :

W_{U L}(f n_Xx⇒x)(f n_Yy ⇒y) = [´a7→´b−→^´2 ´b][´c7→´b−→^´2 ´b]

(29)

Bisher :

W_{U L}(f n_Xx⇒x)(f n_Yy ⇒y) = [´a7→´b→´b][´c7→´b→´b]

Jetzt :

(30)

Bisher :

W_{U L}(f n_Xx⇒x)(f n_Yy⇒y) = [´a7→´b→´b][´c7→´b→´b]

Jetzt :

(31)

Bisher :

Jetzt :

(32)

Bisher :

Jetzt :

(33)

Unification

Beispiel: U

CF A

(´ a −

^´1

→ ´ a, (´ b −

^´2

→ ´ b) −

^´3

→´ c)

Aufruf Ergebnis

U_{CF A}(á−→´^´1 a,(´b−→^´2 ´b)−→´^´3 c) [´37→´1] U_{CF A}(á,´b−→^´2 ´b) [á,´b−→^´2 ´b] UCF A(´b−→^´2 ´b,ć) [ć,´b−→^´2 ´b]

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

^´2

→ ´ b][´ c, ´ b −

^´2

→ ´ b]

(34)

Unification

Beispiel: U

CF A

(´ a −

^´1

→ ´ a, (´ b −

^´2

→ ´ b) −

^´3

→´ c)

Aufruf Ergebnis

U_{CF A}(´a−→´^´1 a,(´b−→^´2 ´b)−→´^´3 c) [´37→´1]

U_{CF A}(´a,´b−→^´2 ´b) [´a,´b−→^´2 ´b]

UCF A(´b−→^´2 ´b,´c) [´c,´b−→^´2 ´b]

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

^´2

→ ´ b][´ c, ´ b −

^´2

→ ´ b]

(35)

Unification

Beispiel: U

CF A

(´ a −

^´1

→ ´ a, (´ b −

^´2

→ ´ b) −

^´3

→´ c)

Aufruf Ergebnis

U_{CF A}(´a−→´^´1 a,(´b−→^´2 ´b)−→´^´3 c) [´37→´1]

U_{CF A}(´a,´b−→^´2 ´b) [´a,´b−→^´2 ´b]

UCF A(´b−→^´2 ´b,´c) [´c,´b−→^´2 ´b]

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

^´2

→ ´ b][´ c, ´ b −

^´2

→ ´ b]

(36)

Constraints

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

Problem:

einfache Typen :: = int|bool|τˆ1

−→β τˆ2 |α wobei :β::= ´1 |´2|´3|... annotierte Typen :: = int |bool|τˆ1

−→ϕ τˆ2

wobei :ϕ::={π} | ϕ₁∪ϕ₂ | ∅ | β

Deswegen: Einf¨uhrung von Constraints der Artβ ⊇ϕ

(37)

Constraints

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

Problem:

−→β τˆ2 |α wobei :β::= ´1 |´2 |´3|...

annotierte Typen :: = int |bool|τˆ1

−→ϕ τˆ2

wobei :ϕ::={π} | ϕ1∪ϕ2 | ∅ | β

Deswegen: Einf¨uhrung von Constraints der Artβ ⊇ϕ

(38)

Constraints

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

Problem:

−→β τˆ2 |α wobei :β::= ´1 |´2 |´3|...

annotierte Typen :: = int |bool|τˆ1

−→ϕ τˆ2

wobei :ϕ::={π} | ϕ1∪ϕ2 | ∅ | β

(39)

Der Algorithmus

Form: WCF A(ˆΓ, e) = (ˆτ , θ, C) Auszug aus den Spezifikationen

W_{CF A}(ˆΓ, c) = (τ_c, id,∅) W_{CF A}(ˆΓ, x) = (ˆΓ(x), id,∅) WCF A(ˆΓ, f nπx⇒e0) = let αx be fresh

( ˆτ₀, θ₀, C₀) =W_{CF A}(ˆΓ[x7→α_x], e₀) β₀ be fresh

in ((θ₀α_x)−→^β⁰ τ₀, θ₀, C₀∪ {β₀ ⊇ {π}})

(40)

Der Algorithmus

WCF A(ˆΓ, f unπf x⇒e0) = letαx, α0, β0 be fresh ( ˆτ0, θ0, C0) =WCF A(ˆΓ[f 7→αx

β0

−→α0][x7→αx], e0) θ1=UCF A( ˆτ0, θ0α0)

in (θ₁(θ₀α_x)−−−−−→^θ¹^(θ⁰^β⁰⁾ θ₁τˆ₀, θ₁◦θ₀), (θ₁C₀)∪ {θ₁(θ₀β₀)⊇ {π}})

WCF A(ˆΓ, e1e2) = let ( ˆτ1, θ1, C1) =WCF A(ˆΓ, e1) ( ˆτ₂, θ₂, C₂) =W_{CF A}(θ₁Γ, eˆ ₂)

α, β be fresh

(41)

Der Algorithmus

W

CF A

([ ], (f n

X

x ⇒ x) ( f n

Y

y ⇒ y))

Aufruf Effekt

W_{CF A}([ ], (f n_X x⇒ x)) (´a−→´a,^´1 id,{´1⊇ {X}}) WCF A([ ], (f nY y⇒ y)) (´b−→´b,^´2 id,{´2⊇ {Y}})

UCF A(á−→´^´1 a,(´b−→^´2 ´b)−→´^´3 c) [´37→´1][á7→´b−→^´2 ´b][ć7→´b−→^´2 ´b]

Endergebnisse = Typ : ´b−→^´2 ´b

Substitution : [´37→´1][´a7→´b−→^´2 ´b][´c7→´b−→^´2 ´b] Set :{´1⊇ {X},´2⊇ {Y}}

(42)

Der Algorithmus

W

CF A

([ ], (f n

X

x ⇒ x) ( f n

Y

y ⇒ y))

Aufruf Effekt

W_{CF A}([ ], (f n_X x⇒ x)) (´a−→´a,^´1 id,{´1⊇ {X}}) W_{CF A}([ ], (f n_Y y⇒y)) (´b−→´b,^´2 id,{´2⊇ {Y}})

Substitution : [´37→´1][´a7→´b−→^´2 ´b][´c7→´b−→^´2 ´b] Set :{´1⊇ {X},´2⊇ {Y}}

(43)

Der Algorithmus

W

CF A

([ ], (f n

X

x ⇒ x) ( f n

Y

y ⇒ y))

Aufruf Effekt

W_{CF A}([ ], (f n_X x⇒ x)) (´a−→´a,^´1 id,{´1⊇ {X}}) W_{CF A}([ ], (f n_Y y⇒y)) (´b−→´b,^´2 id,{´2⊇ {Y}})

Substitution : [´37→´1][´a7→´b−→^´2 ´b][´c7→´b−→^´2 ´b]

Set :{´1⊇ {X},´2⊇ {Y}}

Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

Typinferenzalgorithmus

Inhaltsverzeichnis

Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

Unterschiede zwischen τ und ˆ τ

e = (f n X x ⇒ x) ( f n Y y ⇒ y)

e = (f n X x ⇒ x) ( f n Y y ⇒ y)

e = (f n X x ⇒ x) ( f n Y y ⇒ y)

e = (f n X x ⇒ x) ( f n Y y ⇒ y)

e = (f n X x ⇒ x) ( f n Y y ⇒ y)

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

Endergebnis: [´a7→ ´b→ ´b][´c7→ ´b→ ´b]

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Was ist Kontrollflussanalyse ?

Beispiel: U

(´ a −

→ ´ a, (´ b −

→ ´ b) −

→´ c)

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

→ ´ b][´ c, ´ b −

→ ´ b]

Beispiel: U

(´ a −

→ ´ a, (´ b −

→ ´ b) −

→´ c)

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

→ ´ b][´ c, ´ b −

→ ´ b]

Beispiel: U

(´ a −

→ ´ a, (´ b −

→ ´ b) −

→´ c)

Endergebnis: [´3 7→ ´1][´ a, ´ b −

→ ´ b][´ c, ´ b −

→ ´ b]

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

Einf¨ uhrung der Constraints - aber warum ?

W

([ ], (f n

x ⇒ x) ( f n

y ⇒ y))

W

([ ], (f n

x ⇒ x) ( f n

y ⇒ y))

W

([ ], (f n

x ⇒ x) ( f n

y ⇒ y))

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)

e = (f n _X x ⇒ x) ( f n _Y y ⇒ y)