(In wie viel Jahren verdoppelt sich ein Betrag von 15.000 bei 6,5% Zinssatz?) i

Zinsenzinsrechnung:

Symbole:

Laufzeit=n (Jahre), Zinssatz=i (%), Anfangskapital= K₀, Endkapital=K_n Formeln:

K_n=K₀*(1+i)ⁿ ( ZZFormel); (Ein Lottogewinn von 200.000E wird zu 4% angelegt. Der Gewinner möchte nach Ablauf von 8 Jahren 12 Jahre lang einen jährlich gleichen Betrag abheben, so dass sein Kapital nach der letzten Abhebung aufgebraucht ist. Wie hoch ist die jährliche Rente? -> ERST K_n, DANN r)

K₀= K_n*(1+i)^-n; (Wie viel Geld müssen Sie heute auf ein Sparbuch einzahlen, damit Sie in 6 Jahren 10.000€ abheben können? Das Kapital verzinst sich jährlich mit 4%.)

n=ln(K_n/ K₀) / ln(1+i); (In wie viel Jahren verdoppelt sich ein Betrag von 15.000 bei 6,5%

Zinssatz?)

i= / -1; (Wie hoch muss der Zinssatz für ein Sparguthaben sein, damit sich Ihr Kapital innerhalb von 20 Jahren verdreifacht?)

-> (4 FS d. Zinseszinsrechnung)

Diskontierung-/Abzinsungsfaktor:

(1+i)^-n;; Wie viel man heute anlagen muss, um bei einem Zins I nach n Jahren Anspruch auf 1€

zu erwerben. (=Preis für künftige Zahlungen) Aufzinsungsfaktor:

(1+i)*n; Wie viel Geld man nach n Jahren erhält, wenn Zins gerade i beträgt und man 1€

anlegt. (Wert künftiger Zahlungen)

Rentenrechnung:

Symbole:

Laufzeit=n; Zinssatz=i; Rente=r (Betrag,den man wiederholt einzahlt); Rentenendwert=R_n (Gesamtbetrag nach letzter Einzahlung); Rentenbarwert=R₀ (auf t₀ abgezinster

Rentenendwert; Geldauszahlung) wir betrachten nachschüssige, jährliche Renten;

Endwertformel d. veränderlichen nachschüssige Rente:

(über welchen Betrag werde ich nach n Jahren verfügen?) R_n=∑ ∗ (1 +i)^n-t Rentenbarwertformel d. ver. nachsch. Rente:

(was muss ich heute einzahlen, um nach n Jahren best. Beträge aheben können?) R₀=∑ ∗ (1 +i)^-t

EWFormel d. gleich bleibenden nachschüssige Rente:

R_n=r*((1+i)ⁿ-1 / i))

RBWFormel d. gleich bleib. nachsch. Rente:

R₀=r*((1+i)ⁿ-1 / i*(1+i)ⁿ)

Barwert einer ewig gleich bleibenden Rente:

R₀=r/i

8 FS d. Rentenrechnung:

Wenn 3 Größen gegeben sind, lässt sich die jew. 4 immer berechnen (R_n und R₀ Formeln einer gleich bleib. Rente lassen sich immer nach r und i auflösen);

Rentenbarwertrechnung:

R₀=r*((1+i)ⁿ-1 / i*(1+i)ⁿ); (Ein Unternehmer veräußert sein Geschäft gegen eine jährlich zu zahlende Rente in Höhe von 55.000€. Die Laufzeit der Rente beträgt 20 Jahre. Wie hoch ist der Barwert dieser Rente bei einem Zinssatz von 6%?)

r= R0*(i*(1+i)ⁿ / (1+i)ⁿ-1); (Sie besitzen heute 18.770,15€ und legen diesen Betrag zu 4% an.

Wie groß ist eine Rente, die Sie Ihrer Tochter aus diesem Kapital für insgesamt 12 Jahre (beginnend ab dem nächsten Jahr) zahlen könnten)

n=(ln(r/r-i* R₀) / ln(1+i));

bei i problematisch (f(i)=0=r*⁽

∗( – R₀; f´(i)= ^{( ∗( ∗( ∗} ; i_K=i_K-r-

(

´( -> mit i_K weiterrechnen bis Zahl sich kaum ändert und f(i) und f´(i) = fast 0);

Rentenendwertrechnung:

R_n=r*((1+i)ⁿ-1 / i)); (Jemand ist verpflichtet, an einen Dritten 25 Jahre lang nachschüssig 1.000€ zu zahlen. Er kann aber alternativ auch eine einmalige Zahlung leisten. Wie hoch muss diese heute ausfallen, wenn man mit einem Zinssatz von 4% rechnet?)

r= Rn*(i / (1+i)ⁿ-1);

n=ln((r+i* Rn)/r) / ln(1+i)

bei i problematisch (f(i)=0=r*⁽ -Rn; f´(i)= r*^{( ∗ ∗( (} ; i_K=i_K-r- ⁽

´( -> mit iK weiterrechnen bis Zahl sich kaum ändert und f(i) und f´(i) = fast 0);

Geometrisch fortschreitende Renten:

r_n=r*g^n-1;

WENN (1+i)≠g -> R_n=r*(((1+i)ⁿ-gⁿ) / ((1+i)-g))) ABER WENN (1+i)=g -> r*n*(1+i)^n-1; WENN (1+i)≠g -> R₀=r*(((1+i)ⁿ-g_n) / (1+i-g)*(1+i)ⁿ) ABER WENN (1+i)=g -> r*n*(1+i)^-1; Bsp: Einzahlungen auf ein Konto werden mit 10% verzinst. Über welcehn Betrag kann man nach 3 J. besitzen, wenn man am Ende des 1. J. 1000€ einzahlen und in folgenden J. die Einzahlungen jew. Um 5% (=g) erhöht?

Tilgungsrechnung:

Symbole:

Schuldbetrag z. ZP t=K_t; Zinssatz=i;Laufzeit=n;Tilgungsrate im t=T_t; Zinsbetrag im t=Z_t; Annuität im t=A_t;

4 charackt. Grundgleichungen für jeden Tilgungsplan:

A_t= T_t+ Z_t; K_t= K_t-1- T_t (Restschuld); Z_t=i* K_t-1 (Zinszahlung); K₀= ∑ Tt ODER K₀= ∑ At ∗

(1+i-t (Kreditbetrag); (falls i berechnet werden muss: i= (Z_t2-Z_t1)/T_t1) -> n, K_t-1, Z_t, T_t, A_t Ratentilgung:

Gleich bleibende Tilgungsraten; Berechnung d. Tilgungsrate: T= K₀/n

(Zinsen und Annuitäten bilden eine Arithmetische Folge: Z_t= Z_t-1 – ((K₀*i)/n) und A_t= A_t-1 – (K₀*i)/n));

(Bsp: Sie wollen einen Kredit ¨ uber 180.000 zu 7% Zinsen aufnehmen, der ¨ über

5 Jahre in gleichbleibenden Raten zu tilgen ist. Stellen Sie den vollständigen Tilgungsplan

Auf.)

Annuitätentilgung:

Gleich bleibende Annuitäten; Berechnung d. Annuitäten: A= K₀*((i*(1+i)ⁿ) / ((1+i)ⁿ-1)) (Zinsen bilden eine geom. Folge: T_t= T_t-1*(1+i));

(1.Annuität berechnen (überall gleich); 2.Zinsen für t₁ berechnen; 3.Zinsen v. A abziehen, erhalten Tilgungsrate; 4.Vom Kreditanfangsbetrag Tilgungsrate abziehen und erhalten Restkreditbetrag in t₂-> K_t-1; u.s.w.)

Investitionsrechnung unter Sicherheit

Symbole:

T=Nutzungsdauer eines Inv.-Pr.; C_t=Entnahme/Konsum; CF_t=Cashflow;

G_t=Finazierungslimit; i_z=interner Zinssatz; i_h=Haben-Zinssatz (+); i_S=Soll-Zinssatz (-);

I₀=Investitionsausgabe; K_t=Kontostand; M_t=investitionsunabhängige Basiszahlungen;

Z_t=fällige Zinsen; L_t=Liquidationserlös;

Begriffe:

Cashflows=Ein-/Auszahlungen (Konzentration auf Zahlungswirkungen) -> Zahlungen aus einem Projekt sicher und bekannt, Projekt hat Laufzeit T und kostet heute I_0;

Investition=Tätigkeit, die erst Einz. Und später Ausz. Verursacht;

Finanzierung=Vorgang,der mit Einz. beginnt, auf die später Ausz. Folgen;

Finanzvorstand=Aufgabe – Liquidität zu sichern;

Finanzwirtsch. Entscheidungen:

Ziel: Einkommen max; Investoren suchen nach optímalen Invest.- & Finanz.-alternativen;

Investitionen=echte Alternativen (entweder A oder B)? wenn ja: Einzelentscheidungen ->

Verwendungsdauer d. Inv.-Projekte liegt fest? -> wenn ja, Wahlentscheidungen, wenn nein Investitionsdauerentscheidungen (T=unsicher); wenn nein: Programmentscheidungen (keine Alternativen);

Statische Sicht: Orientierung an durchschn. Erfolgsgrößen (A genau so gut wie B) Dynamische Sicht: frühe Einzahlungen besser als späte (!!!)

Dynamische Verfahren:

(was ist das bessere Projekt? -> 3 Verfahren)

1. Vollständiger Finanzplan: Prüfung, ob Projekt finanzierbar ist; Aufstellung nach dem längsten Projekt; Endvermögen wird max.;

Formel für Endkontostand in t₀: K₀=M₀-C₀-I_{0 ->} M₀ ist hier Startguthaben; Weiterrechnen mit:

K_t=M_t-C_t+CF_t+(1+i_{S oder H}) * K_t-1; Projekt nur finanzierbar, wenn K_t in keinem ZP kleiner als untere Schranke ist; Nachteil d FP: Basiszahlungen müssen bekannt sein (nicht immer bekannt);

2.Kapitalwertmethode: Verzicht auf M_t ; Voraussetzung=perfekter Kapitalmarkt

(=vollkommen (i_S=ich), unbeschränkt (kein Finazierungslimit), reibungsfrei (keine TA-Kosten

& Steuern)) -> Spezialfall d. FP;

Kapitalwert (NPV)=-I₀ + ∑⁾ ₍ ^%&_{' ^} -> Entscheidungsregel: wähle Invest. Mit höchstem NPV, unterlasse die mit neg. NPV;

(Ableitung d. NPV-Formel: f´(i)= -∑ ₍ ^∗%&_{' * +}^* )

Endkontostand d. Investors sinkt, wenn bei neg. NPV Projekt ausgeführt wird, aber wächst, wenn bei pos. NPV Projekt ausgeführt wird.

Interpretation v. NPV: Preisdifferenz einer Invest. im Verhältnis zum Kapitalmarkt (anlegen vs. investieren? Bzw. Sachinv. vs. Finanzinv?); Wenn NPV neg., dann ist es billiger Projekt nicht über Inv. zu finanzieren;

Kapitalwert & vollst. FP führen beim perfekten Kapitalmarkt zu identischen Entscheidungen.

3.Interner Zinssatz: Höhe der Rendite einer Sachinvestition; Unterlasse Inv., bei denen internen Zinssätzen (i_z; bei dem NPV=0) kleiner als der Marktzins (i) ist. Berechnung durch Newton-Verfahren.

Kritik: 1)Formal: mehrdeutige Lsg. oder kein reeller interner Zinsfuß vorhanden ->i_z nur dann eindeutig, wenn man es mit einer Normalinvestition (=auf Ausz. folgen Einz.) zu tun hat, deren Zahlungsreihe Deckungskriterium. 2)Formal: Kapitalwertfkt. ist Polynomfkt. d. T-ten Grades, daher gibt es grundsätzlich T reelle oder komplexe Lsg. 3)Ökonomisch: Entscheidung kann ökonomisch falsch sein: i_z,A=400%, i_z,B=100% -> welcher besser? Eigentlich der höhere, aber NPV zeigt: NPV_A=3,55, NPV_B=8,18, also Projekt B doch besser! D.h. Vorsicht bei

Anwendung d. i_z -> immer NPV zusätzlich ermitteln!

Effektiver Jahreszins: trotz Kritik sind i_z in der Praxis wichtig. Preisabgabenverordnung verlangt die Angabe v. effektiven Jahreszinsen (=int. Zins) bei Krediten an Privatpersonen.

Der i_z ist immer positiv, bei Normalinv. und wenn Deckungskriterium erfüllt (mehr Einz. als Ausz.); -> dies gilt nicht für Geldanlagen, da gibt es keine gesetzl Regelungen (man darf durchschn. Rendite behaupten);

Fisher-Modell

Theorienaufbau

-Annahmen (Axiome) = Ausgangspunkt einer Theorie; beschreiben, wann diese anwendbar;

wenig Annahmen sinnvoll; realitätsfremd;

-Definition = Beschreibungen v. Begriffen; zweckmäßig oder unzweckmäßig;

-Theoreme = Hauptaussagen einer Theorie, die man empirisch prüfen kann; müssen bewiesen werden; (wenn Annahmen erfüllt sind, dann gelten auch Theoreme) Fishers Theorie des Zinses

-2 Theoreme: 1)Separationstheorem = Konsum. & Invest.-Entscheidungen lassen sich unabhängig voneinander treffen (v.a. bei Kap.-Ges.); 2)Fishers Theorie des Zinses = risikoloser Zinssatz gleicht Zeitpräferenzrate;

- zu 1) ->Annahmen: es gibt mehrere Zeitpunkte (für Zahlungen); Ein Ivestor verfügt über ein Inv.-Projekt, das I₀ kostet und Cashflows in Höhe von CF_t generiert; Investor kann am

Kapitalmarkt Geld zum Zins i anlegen oder boren (Marktvollkommenheit bei ich=i_S; Finanzmarkt perfekt, wenn kene TA-Kosten & Steuern); Investor entscheidet so, als ob er eine Nutzenfkt. Besitzt (und diese max.);

-> Investor zahlt Basiszahlungen i.H.v. M_t unabhängig vom Projekt, Konsumzahlungen d.

Nutzenfkt. Werden mit C_t bezeichnet, alle Entscheidungen werden sicher eintreten;

->Unter den Annahmen gilt: a)Inv.- & Konsumentscheidungen sind separierbar; b)Mehrere Finanzierers können einmütige Entscheidungen treffen;

-> Beweis: rationaler Inv. Max. den mehrperiodig definierten Nutzen: maxU(C₀,C₁,….C_t) unter folg. NB: a)K₀=M₀-C₀-I₀ =Konsumentscheid. Ergeben sich aus…), b) K_t=M_t-C_t+CF_t+(1+i)* K_t-1 (=Möglichk. D. Geldanlage am Kap.-Markt), c) K_T=0 (wenn Inv. Geld durch Anlegen max., dann ist Konsum = 0, man muss Geld so max., dass Konsum max.ist und Kontostand=0)

-> Beweis: K_Tmit Projekt - K_Tohne Projekt / (1+i)^T = I₀ + ∑⁾ ₍ ^%&_{' ^} = NPV K_Tmit Projektmuss 0 werden, das geht bei pos NPV nur, wenn Konsum steigt. Wir erkennen, dass Inv. Ihren Nutzen max., wenn Inv.-Entsch. Mit Kapitalwertmethode getroffen werden: Inv.-Entsch. sind delegierbar.

(Wenn NPV steigt, Konsum steigt; Wenn NPV fällt, Konsum fällt -> man muss das ganze Geld konsumieren, auf Konto muss 0 bleiben)

-zu 2) Früher dachte man, dass Zinssatz auch durch Angebot und Nachfrage kommt, was nicht stimmt. Wie dann?

-> Annahmen: a) es gibt nur 2 Zeitpunkte, b) Inv. Verfügt über eine Erstausstattung, die dem Konsum heute dient C₀ (konsumieren oder anlegen), c) perfekter Kap.-Markt,

Kapitalmarktzinssatz ist i; d)Inv. Soll differenzierbare Nutzenfkt. Besitzne (will Nutzen max.) es geht um eine op. Umverteilung d. Konsums auf heute und morgen;

-> Definition: Zeitpräferenzrate = -((dU(C_0, C₁)/d C₀) / (dU(C_0, C₁)/d C₁)): auf wie viel

marginalen Konsum in t₁ muss Inv. verzichten, damit Nutzen konstant bleibt, bzw.damit er in t₁ eine marg. Konsumeinheit mehr kriegt? (grenzrate d. Substitution)

-> Theorem: im perf. Kap.-Markt Zins = Zeitpräferenzrate, also: -(1+i) = -((dU(C_0, C₁)/d C₀) / (dU(C_0, C₁)/d C₁))

-> Beweis: max.U (C_0, C₁) unter NB: C₀=C₀+I₀ und C₁=-(1+i)*X₀; -> Lagrange-Fkt: U (C_0, C₁) – L(C₁-(1+i)*( C₀-C₀)) -> Lagrange-Gleichungen: 0=(dL)/(dC₀)= = -((dU(C_0, C₁)/d C₀) / (dU(C₀)- L*(1+i) UND 0=(dL)/(dC₁)= dU(C_0, C₁)/d C₀-L; -> Gleichungen gleichsetzen; Zins bestimmt sich aus Gegenwartspräsenz

->grafisch ist Nutzen max da, wo Tangente die Nutzengerade berührt;

-> Probleme: 2 Tangentialpunkte A & B -> diese Situation ist auszuschließen, denn Inv. muss eindeutige Entscheidung treffen, d.h. Konsumentscheidung muss eindeutig sein. Dzu muss die Nutzenfkt. Strikt quasikonkav sein (wir wählen 2 P. auf der Indiff.-Kurve und verbinden diese. Nutzenfkt. Ist strikt quasikonkav, wenn jeder Punkt auf Verbindungslinie besser als die beiden Ausgangspunkte sind. -> bei uns nicht der Fall) ALSO ANNAHME: Investor hat strikt quasikonkave Nutzenfkt.

->Positive Zinssätze?: es gibt kein Land, wo es neg. nominale (=ohne Inflationsrate) Zinssätze gibt. Aus dem Fisher-Modell folgt das nicht. Wir können nur beweisen, dass i>-100% gelten muss, denn wenn i>100%, dann muss man für einen geborgten€ heute weniger als 0€

morgen zahlen. Das kann nicht sein. -> Aus F,-M. folgt, dass Zinssatz nicht negativ ist, wenn Geld lagerfähig ist (=borgt man 1€ heute wird man morgen mind. diesen 1€ zurückzahlen;

Geld nicht lagerfähig bei Inflationen oder Währungsreformen) Wenn Geld lagerfähig, dann muss i>0 sein

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

Unt.-Entsch. werden unter Unsicherheit getroffen. Risikoaverse Inv. können sich nicht des Erwartungswertes bedienen.

St. Petersburger Spiel

-man würfelt bis Zahl kommt -> Spieleinsatz = Erwartungswert (Erlös) = ∞, denn ma könnte fast unendlich spielen.

-begrenzt man Spiel auf 25 Würfe, so ist Spieleinsatz = Erwartungswert =

,*1 +

-*2…+

,24*2²⁴ =

- *24+1 -> scheinbare Lsg. des Paradoxes Veränderte Lotterie:

-Münze wird geworfen: Zahl=Ihr ges. EK wird verdoppelt, Kopf=sie verlieren alles. Das Spiel ist unfair, aber im Erwartungswert ist es fair -> Einkommen (Einsatz) =

,*2 * Einkommen +

,*0 -> eigentlich musste man doch indifferent sein das Spiel zu spielen, aber kein normaler Mensch würde es spielen, denn wir sind risikoscheu -> Erwartungswert ist ein schlechter Ratgeber.

Erwartungswert ist ein schlechter Ratgeber.

Entscheide nicht nach Erwartungswert, er ignoriert Risiko! Wer sich am EW orientiert ist risikoneutral. (EW bei Pet.Spiel liegt bei ∞, aber fairer Wert bei ca. 5€. Wir spielen nicht das Spiel, weil wir risikoavers sind, den p<EW)

Das Modell der Unsicherheit:

Modell anwendbar, wenn 1 der 3 Bedingungen erfüllt ist: a)Versch. Zustände schließen einander aus (entweder…oder…) b)jeder denkbarer Zustand ist erfasst c)wir kennen Wahrsch. der Zustände (Zustand s mit Wahrsch. p(s), wobei ∑¹₂ .(/ = 1; Es gibt endlich viele Zustände; Stichtagsprinzip: Wir bleiben immer in t₀ und denken über Zukunft nach.

Wirkliche Zukunft irrelevant, wir analysieren nur Gedanken über Zukunft. Entscheidung in t₁, Ergebnis in t₂) -> Bsp. 2 Zustände: wir kriegen zu 50% - 110€, und zu 50% - 90€.

Risikoaversion

Ein Inv. heißt risikoavers (sind sie immer), wenn fairer Wert unsicherer Zahlung < risikolos diskontiertem Erwartungswert (=risikoneutralem) ist, also

Fairer Wert < E [zukünftige CF]/1+risikoloser Zinssatz (bei risikoneutral sind diese gleich);

Fairer Wert bei Risikoneutralität= ERWARTUNGSWERT = E(zukünftige CF)=

34%∗64 34%∗ 4

7'2'89:92;7 <' 22= > (>.@. 4%=90,91;

Wie ermittelt man den fairen Wert (für risikoaverse Inv.)?

Man geht v.d. Gleichung d. risikoneutralen Inv. aus und passt Zähler oder Nenner geeignet an: A [>C8ü E 'F; %&]

7'2'89:92;7 <' 22= >; -> Methoden zur Anpassung: a)Zähler (Zahlungen) Sicherheitsäquivalentmethode (Nutzentheorie) (CF manipuliert); b) Nenner, Risikozuschlagmethode (CAPM); c)Zähler (Wahrsch.) risikoneutrale Wahrsch.

(Arbitragetheorie) (Wahrsch. manipuliert) -> 3 Theorien führen zum gleichen Wert, treffen aber untersch. Annahmen, die nicht immer gleichzeitig erfüllt sind. (man nimmt die, wo alle Voraus. Erfüllt sind)

Zu a)Nutzentheorie (Ermittlung d. Sicherheitsäquivalents): Beginn mit Nutzenfkt, Bernoulli

50%*ln(110) = 4,6001 -> e^lnE=e^4,6001 -> ln(99,5) (=Sicherheitsäquivalent); 2)Fairer Wert= 1'HI;7I;' 2äKC'L=:; (66,3

7'2'89:92;7 <' 22= > (' 4%=90,45! (Diese Gleichung führt z. Lsg. d.

St.Petersb.Paradoxes); Viele Fragen sind bei Bernouilli offen geblieben: Kann man neben ln auch andere Fkt. Verwenden? Kann man an d. Fkt. Grad d. Risikoscheue ablesen? Wie findet man zu seiner eigenen Risikoeinst. Passende Fkt.?

Zu b)Risikozuschlagmethode (CAPM): fairer Wert wird durch Zuschlag (=Risikoprämie) beim Zinssatz ermittelt; fairer Wert= A [>C8ü E 'F; %&]

(' N'2'89O7äP'; = A [>C8ü E 'F; %&]

Q=O' =:892 ; ; 34%∗64 34%∗ 4

4 4,33 =90,45 (i+RP=Kapitalkosten); Hauptergebnis d. CAPM ist Wertpapiermarktlinie;

->Risikoprämie (=Kapitalkosten; bestimmen Renditeerwartungen d. Inv.) ergibt sich aus:

Marktrisikoprämie (=“Preis des Risiko“) * Beta (=“Menge an Risiko“);

Marktportfolio, Beta, systematisches Risiko: 1)Marktportfolio umfasst sämtl.(riskante) Wertpapiere eines Marktes: Aktien, Anleihen,Derivate (WP, deren Preis von anderen WP abhängt)… (z.b. DAX=Aktienindex aus 30 wichtigen Aktien) 2)Beta misst das Risiko d. WP. Es wird nicht durch Varianz der Rendite gemessen (sondern Kovarianz; Schwankung bzw.

Varianz soll niedrig gehalten werden) -> 3)was bestimmt Menge des Risikos (Beta)? Risiko zerfällt in unsystematisches (=Fehlverhalten des Managements, Ineffizienzen, techn. Und und. Mängel) und systematisches (gesamtwirtschaftl. Risiken, technol. Wandel-> gehört automat. Z. Risiko, nicht vorhersehbar!) Risiken und nur systematisches Risiko wird bewertet! Es wird durch Kovarianz gemessen.

Definitionen im CAPM: Die erwartete Marktrendite = Durchschnittsrendite, die man erzielt, wenn man sein Vermögen auf den ges. Kap.-Markt verteilt; Marktrisikoprämie=Diff. zw.

Erwarteter Marktrendite & risikolosem Zinssatz (ca.5-6% in Dt.); Beta eines Wertpapiers ist ein Sensitivitätsmaß, beschreibt ,wie sich Rendite einer best, risk. Kap.-Anlage in Relation zur Marktrendite verhält und ß=Def %9L[NR,NP]

S=7[NP] ; Kapitalkosten=Summe aus i und Risikoprämie;

sind erwartete Rendite eines Projwkts oder Unt.; Dienen dazu aus zuk. Zahlungsverpfl., faire Werte zu ermitteln; Kapitalkosten=Def A [>C8ü E 'F; %&]

T;F; U=7 2U;7 -1 = E[ >C8ü E 'F; %&

E='7;7 V;7 − 1];

Zu c) Arbitragetheorie: risikoneutrale Wahrsch.(subj. Wahrsch. d .Inv. werden verändert);

In unserem Bsp. Ergibt sich fairer Preis, wenn q(110)=47,475% und q(90)=52,525% -> fairer Wert= A [>C8ü E 'F; %&]

7'2'89:92;7 <' 22= >; -> das sind nicht tatsächliche Eintrittswahrsch., sondern

risikoneutrale. Gegenstand d. Arbitragentheorie sind folgende Fragen: 1)Wieso nennt man die q risikoneutral? 2) Ergeben sich immer für q Zahlen v. 0 b. 1? Zu 1) um die Bezeichn. Zu versthehen, berechenn wir erwartete Rendite: -X,-X3%∗ 4 3,,3,3%∗64

64,-3 (E='7;7 V;7 − 1] = 10%

(=risikoloser Zinssatz) (q findet man durch Lösen v. Gleichungssystemen: i) p(u)*110 + p(d)*90 = 90,45 * (1+10%) ii)p(u) + p(d) = 1 ->Antwort: risikoneutral sind Wahrsch.; bei denen Erw. R. = risikol. Zins.; Zu 2) Definitionen: Arbitragefreiheit=ein Markt ist arbitragefrei, wenn 2 Bed. Erfüllt: i) zerlegt man ein Portfolio, so ist der Preis des urspr.

Portfolios gleich der Summe der Einzelteile. Dies gilt auch für Zusammenstellung eines neuen Portfolios: a*p(X) + b*p(Y) = p(a*X+b*Y), ii)Wenn ein Portfolio mehr zahlt als ein anderes.

Dann ist es teurer: WennX>Y, dann p(X)>p(Y) (größere Pakete kosten mehr); Antwort: wenn ein Markt arbitragefrei ist, gibt es immer risikoneutrale Wahrsch. (Fundamentalsatz d.

Preistheorie; fundamental, weil mit risikoneutr. Wahrsch. jedes Papier fair bewertet werden kann.)

ZF: Nur risikoneutrale Inv. entscheiden nach Erwartungswert, die meisten sind aber risikoscheu. Um betriebswirtsch. Risikotheorien nutzen zu können, müssen zukünft.

Zustände und ihre Wahrsch. vollst. Bekannt sein

Risikomanagement & Termingeschäfte

Risikokategorien:

Im finanzwirtsch. Risikomanagement werden 2 Risikoarten untersch.: 1) Marktrisiken (=wenn nicht sicher ist, welche Preise in Zukunft realisiert werden; z.B. Risiko bez.

Kerosinpreisen bei Flugges. bei Vorverkauf); 2)Kreditrisiken(=wenn sich nicht sicher vorhersagen lässt, ob und in welchem Umfang ein Kreditnehmer seinen

Zahlungsverpflichtungen nachkommen wird.

Gesetzliche Regelungen:

Seit 1998 KonTraG (G, z. Kontrolle & Transparenz im Unt.) -> Neuerungen d. KonTraG:

a)Vorlage des Risikoberichts v. allen KapGes, deren Bilanzanhang einen Lagebericht enthält (HGB 289 Abs.1; Zahlungsfähigkeit); b) Einrichtung eines Überwachungssystems v. Vorstand, um riskante Entwickl. früh zu erkennen (AktG 19 Abs.2)

Marktteilnehmer:

-Hedger= Landwirt/Lebensmittelhändler will einen best. Preis für seine Erzeugnisse sichern (z.B Airbus), Haben Haupteinfluss auf Marktpreise zusammen mit Nutzern;

-Spekulant=wetten darauf, dass Marktpreis steigt oder fällt; sorgen für Beweglichkeit, Reibungsfreiheit des Marktes, haben aber keinen großen Einfluss auf den Preis;

-Arbitrageuer=beobachtet und nutzt Preisunterschiede für gleiche Produkte aus, um risikolosen Gewinn zu realisieren; -II-

Formen des Handelns auf Finanzmärkten:

-Vertrage sind börsengehandelt (Standards werden f. Produkte festgelegt, um handelsfähig zu sein) ODER OTC(over the counter; spezif. Aushandlungen zw. Marktparteien)

-Gelieferter Gegenstand: Aktien, Anleihen, Devisen, Waren, Indizes Kassa-&Termingeschäfte:

-3 Zeitpunkte wichtig: t₀=Vertragsschluss, t₁=Warenlieferung, t₂=Bezahlung -Kassageschäft (spot): t₀₌=t₁ < t₂ (z.B.Zeitungskauf am Kiosk)

-Termingeschäft: t₀< t₁< t₂ (z.B. Zeitungsabo); Man sagt: Kaufen= to go long (auf Ziel=long forward; entspr. Option kaufen=long call/pu); Verkaufen=to go short (auf Ziel=short forward;

Verkauf einer entspr. Option=short call/put) Arten von Termingeschäften:

-unbedingte (Forward) Käufer kauft/ Verkäufer verkauft in t₁, aber Käufer zahlt/Verkäufer liefert in t₂ -> UNBEDINGT

-bedingte (Optionen): Käufer kann kaufen/ Verkäufer kann verkaufen in t₁, dann Käufer zahlt/Verkäufer liefert in t₂ -> Lieferung und Zahlung also nur wenn eine best. Bed. Erfüllt ist;

Verkäufer heißt dann Stillhalter;

Unbedingte Termingeschäfte:

1) Swaps: Tausch v. 2 Vermögenspositionen mit verbund. Zahlungsverpflichtungen; z.B.

Kreditaufnahmen in fremden Ländern; 3 Phasen: a)Tausch v. verzinslichen

Vermögenspositionen b)Tausch v. anfallenden Zinszahlungen während d. Laufzeit

c)Zurücktausch der Nominalbeträge d. Vermögenspositionen am Ende. Man unterscheidet Zins-swaps (=Tausch v. festen gegen variable Zinsansprüche) & Währungsswaps =fest verzins. Pos. Wird gegen eine fest. Verz. Pos. In einer anderen Währung getauscht); Swaps sind OTC (individuell); KI spielen bei Vermittlung v. Swaps große Rolle (z.B. als Intermediär);

Credit Default Swaps=Risiko für Insolvenz eines Anteilnehmers wird getauscht

(verantwortlich für Finanzkrise; sollten standardisiert werde, um Markt transparent zu halten)

2) Forward: verpflichtet Käufer (Verkäufer), best. Gegenstand (=underlying; z.B. Aktie, Rohstoff) zu einem voraus festgel. Preis und zu einem best. zukünft. ZP zu kaufen (verkaufen); Forwards sind meist OTC (individuell); Problem: Qualität und Ausfall der Vertragspartei; Risiko: beide Part. Wissen nicht, wie der Preis sich in Zuk. ändern wird;

GuV: GuV-Diagramme stellen fkt. ZH zw. G/V aus dem Derivat und Spotpreis d. Underlying bei Fälligkeit dar -> Käufer: (steig. Gerade aus 1. in 2. Q.)muss gut für F₀ abnehmen, sodass wenn Preis fällt, dann macht er Gewinn, wenn steigt, dann Verlust; Verkäufer: (fall. Gerade aus 1. In 2. Q.) verkauft z. Preis F₀, sodass wenn Preis steigt in t1, macht Gewinn, fällt macht Verlust; Bsp: Lieferung i.H.v. 250000$ wird im nächsten Jahr t=1 bezahl. Absicherung mit Forward. Euro-Dollar-Terminwechselkurs t=0 sei 0,9650$ je €. Unt. verkauft so § auf Termin (short Forward) und erhält in t=1 also : 250.000$ * (1€/0,9650$)=259.067,36€

3) Future: ist dagegen standardisiert (löst Probleme d. Forwards) hins. Lieferzeitpunkt (z.B.

nur am Quartalsende), Liefermenge, Qualität (z.B. Futures sind nur für 2 stand. Kaffeesorten v. 83 möglichen abschließbar); Vereinbart werden Preis und Zahl d. Kontrakte. Abwicklung über Clearinghaus (börsennotiert) -> Suchkosten sinken, Preisrisiko eliminiert,

Qualitätsproblem gelöst, Problem des Risikos d. Ausfalls d. Vertragspartei gelöst;

Clearinghaus: hier werden Futures gehandelt. Risiko d. Vertragsparteiausfalls eliminiert, weil beide Seiten dort Sicherheiten ablegen (initial margin zu Beginn d. Vertrages; maintance margin=zu zahlen, wenn Preisunter eine best. Grenze sinkt). Bsp. A verkauft B ein Gut zum Futurepreis 100 z. ZP t0 (A hält Future short, B long). In t1 steigt Futurepreis auf 120. A will aus Vertrag aussteigen, für B ist Vertrag wertvoll geworden. Clearingshaus verlangt

Sicherheiten von A (margin) in H.v. 20 und reicht an B durch. Legt A keine Sicherheiten vor, wird Vertrag geschlossen.-> Höhe d. Sicherheiten: F_T=aktueller Kaufpreis des Gutes (spot- Preis); Auf dem Sicherheitenkonto liegt Differenz zw. Futurepreis (F₀) und aktueller Kaufpreis F_T: Barausgleich ist möglich; Summer der Sicherheiten: A= F_T- F₀; B= F₀- F_T; also keiner

gewinnt oder verliert etwas.

Bedingte Termingeschäfte: Basisoptionen am Terminmarkt Call & Put

(Käufer v. Optionen hat Recht und nicht Pflicht etw. zum vorher vereinbarten Preis zu kaufen gegen Aufpreis v. Optionsprämie)

1) Kaufsoptionen (Call): geben dem Inhaber (=Käufer) das Recht, das Underlying (Gut) z.

Basispreis v. Stillhalter zu kaufen.

GuV: Käufer (Long) -> mögl. Gewinn=unbeschränkt, denn mit steig. Preis, steigt G.,

max.Verlust=Optionsprämie; Verkäufer (Short): Verlust kann sehr hoch sein (das schlimmste ist, man kriegt 0) wenn Preis steigt, aber er kriegt dabei max. die Prämie;

2) Verkaufsoptionen (Put): geben dem Inh. (Verkäufer) das Recht, das Underlying z.

Basispreis an den Stillhalter zu verkaufen.

GuV: Verkäufer (Short): max.Gewinn eines Putinh. beschränkt (Preis kann nicht <0 sein), aber je niedriger Preis, desto höher G.; Max. Verlust = Optionsprämie; Käüfer (Long): kriegt im schlimmsten Fall 0, aber kriegt max. die Optionsprämie.

Typischerweise wird ausgeglichen (Settlement). Damit ist eine Option eigentlich eine Wette auf wachs. (Call) od. fall. (Put) Kurs d. Underlying (G/V bei richt./falsch. Wetten);

Bsp: Hedging d. Wechselkursrisikos mit Optionen: Erwerb Call auf Euro mit einjähriger Restlaufzeit. Call mit Basispreis 0,9726 ($ je €) und Fälligkeit t=1 kostet 1,89€ je 100€ in t=0.

Absicherungsstrategie kostet 1,89 * 2500 = 4.725€ und garantiert Wechselkurs v. mind.

0,9726€

-Fällt in t=1 Wechselkurs unter Basispreis, wird Option ausgeübt. Man erzielt 250.000/0,9726=257.042,98€

-Steigt Wechselkurs in t=1, verfällt Option -> Optionsprämie muss zwar gezahlt werden, aber man hat keinen Verlustpotenzial.

-> Forwards eliminieren Risikne fall./steig. Kurse, durch Fixier. d. Preises, aber Optionskontrakte bieten dem Halter eine Versicherung gegen ungünstige

Kursentwicklungen, wobei er von einer günst. Kursentwicklung profitieren kann. Diese Versicherung ist aber nicht kostenlos.

Risikomanagement durch Derivate hängt v. perssönl. Einschätzung und Zielsetzung ab.