J. M¨uller/P. Beise Wintersemester 2009/2010 03.02.2010
12. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 09.02.2010 um 12.00 Uhr im Kasten 12
H34: Es seienXein Hilbertraum und M⊂ Xein ONS.
Zeigen Sie: Folgt f¨ur allex∈Xaus ˆxe = 0 (e∈M) schonx=0, so istMeine ONB inX.
H35: a) Es seien X,Y Hilbertr¨aume undU ∈ L(X,Y). Beweisen Sie: U ist genau dann iso- metrisch, wenn
<U x,Uy>=<x,y> (x,y∈X).
b) ¨Uberlegen Sie sich, dass in der Situation von B. 11.7 f¨ur allee, f ∈M0
<Ue,U f>= δe f
gilt.
H36: Es seiΩ⊂ Rd offen und beschr¨ankt. Beweisen Sie: IstM ⊂ H01(Ω) eine ONB von L2(Ω) so, dass f¨ur allee∈ Meinµe <0 existiert mit∆e=µee, so ist
M0 :={e/kekH1
0(Ω) :e∈M}
eine ONB von H10(Ω).
