21 ) Die Integrationswege α, β, γ : [0, 1] → C und δ : [0, 3] → C seien definiert durch α(t) := 2.5e 2π i t , β(t) := −1.5 i + 1.5 cos(π(t + 1)) + 0.5 i sin(π(t + 1)) und γ(t) := −1.5 i + 2 i t, sowie

Ubungen zur Funktionentheorie 1 ¨

SS 2017 Blatt 6 Prof. Fritzsche

21 ) Die Integrationswege α, β, γ : [0, 1] → C und δ : [0, 3] → C seien definiert durch α(t) := 2.5e ^{2π i t} , β(t) := −1.5 i + 1.5 cos(π(t + 1)) + 0.5 i sin(π(t + 1)) und γ(t) := −1.5 i + 2 i t, sowie

δ(t) :=







−1 + 0.5e ^{i π(1/2−2t)} f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1,

−1 + 0.5 i + 2(t − 1) f¨ ur 1 ≤ t ≤ 2, 1 + 0.5e ^{i π(9/2−2t)} f¨ ur 2 ≤ t ≤ 3

.

Skizzieren Sie die Spur der Kette Γ := α + β + γ + δ. und berechnen Sie R

δ z dz.

22 ) Die folgende Skizze zeigt die Spur der Kette Γ = α + β + γ + δ. Dabei ist γ ein Halbkreisbogen (um z 0 := 4), und α, β und δ sind Strecken.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2

- 1 - 2 - 1

- 2 s

s s s

s

e

α

β

γ δ

a) Geben Sie Parametrisierungen der Wege α, β, γ, δ : [0, 1] → C an.

b) Berechnen Sie auf m¨ oglichst einfache Weise das Integral Z

Γ

dz z + 1 − i .

23 ) a) F¨ ur z = x + i y ∈ C und k ∈ Z sei f _k (z) = x + i ky. F¨ ur n ∈ N sei α _n : [0, 1] → C durch α _n (t) := t + i t ⁿ definiert. Zeigen Sie: R

α

f _k (z) dz ist genau dann unabh¨ angig von n, wenn f _k holomorph ist.

b) Sei α die Parametrisierung des Viertelkreisbogens um 0, der die Zahlen 3 und 3 i miteinander verbindet. Beweisen Sie (ohne explizite Berechnung des Integrals) die Absch¨ atzung

Z

α

dz 1 + z ²

≤ 3π

16 .

24 ) a) Berechnen Sie R

α (1/z) dz, wobei α den Streckenzug von 1 + i ¨ uber − i nach 1 − i parametrisiert.

b) Sei U = U (a) ⊂ C offen und f : U → C stetig. Dann ist lim

r→0

Z

|z−a|=r

f(z) z − a dz = 2π i f(a).

Abgabetermin: Mittwoch, 14.06.2017, 12 Uhr. Es gibt pro Aufgabe maximal 12 Punkte.