Dr. Erwin Sch¨ orner
Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):
Differential– und Integralrechnung 5
— L¨ osungsvorschlag —
5.1 Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=1
2n n
x
nbesitzt den Entwicklungspunkt a = 0 sowie die Koeffizienten
c
n= 2n
n
= (2n)!
n! · n! f¨ ur alle n ∈ N ; dabei ist (2n)! = 1 · 2 · . . . · n · (n + 1) · . . . · (2n). Wegen
c
n+1c
n=
(2 (n + 1))!
(n + 1)! · (n + 1)! · n! · n!
(2 n)!
=
=
(2 n + 2)!
(2 n)! · n!
(n + 1)! · n!
(n + 1)!
=
= (2n + 1) (2n + 2)
(n + 1)(n + 1) = 2 +
n11 +
n1· 2 −→
n→∞
4 = c besitzt die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c=
14.
5.2 a) Wir weisen die Konvergenz der durch a
1= 4 und a
n+1= √
6 + a
nf¨ ur alle n ∈ N
rekursiv definierten Folge (a
n)
n∈Nnach, indem wir zeigen, daß sie monoton fallend und nach unten beschr¨ ankt ist; hierf¨ ur beweisen wir 0 ≤ a
n+1≤ a
nf¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:
” n = 1“: Es ist a
1= 4 und a
2= √
6 + 4 = √
10 und damit 0 ≤ a
2≤ a
1.
” n → n + 1“: Aus der Induktionsvoraussetzung 0 ≤ a
n+1≤ a
nfolgt zun¨ achst
6 ≤ 6 + a
n+1≤ 6 + a
n,
und man erh¨ alt wegen der Monotonie der Quadratwurzel
√
6 ≤ p
6 + a
n+1≤ √
6 + a
n,
insbesondere also die Induktionsbehauptung 0 ≤ a
n+2≤ a
n+1. F¨ ur den Grenzwert a = lim
n→∞
a
nergibt sich mit Hilfe der Rekursionsvorschrift unter Verwendung der Stetigkeit der Quadratwurzel
a = lim
n→∞
a
n+1= lim
n→∞
√ 6 + a
n= q
6 + lim
n→∞
a
n= √ 6 + a und damit a
2= 6 + a bzw. a
2− a − 6 = 0, also
a = 1 2
−(−1) ± p
(−1)
2− 4 · (−6)
= 1 ± √ 25
2 = 1 ± 5 2 ,
und damit a = −2 oder a = 3; wegen a
n≥ 0 f¨ ur alle n ∈ N ist auch a ≥ 0, woraus sich schließlich a = 3 ergibt.
b) Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=1
a
nn√ n x
nbesitzt den Entwicklungspunkt 0 sowie die Koeffizienten c
n= a
nn√ n f¨ ur alle n ∈ N . Gem¨ aß a) ist a
n≥ 0 f¨ ur alle n ∈ N sowie lim
n→∞
a
n= 3, so daß sich unter Verwendung des klassischen Grenzwerts lim
n→∞
√
nn = 1 sowie der Stetigkeit der Quadratwurzel
p
n|c
n| =
ns
a
nn√ n
=
nr a
nn√ n =
√
na
nnp√
nn = a
np √
nn −→
n→∞
√ 3
1 = 3 = c ergibt; folglich besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c=
13. c) Zur Untersuchung, ob die Potenzreihe in x =
13konvergiert, ist die Reihe
∞
X
n=1
a
nn√ n x
n=
∞
X
n=1
a
nn√ n 1
3
n=
∞
X
n=1
a
n3
n1
√ n
zu betrachten. Gem¨ aß a) ist die Folge (a
n)
n∈Nmonoton fallend und besitzt den Grenzwert lim
n→∞
a
n= 3, so daß sich sogar a
n≥ 3 und folglich a
n3
n1
√ n ≥ 3
3
n√ 1
n = 1
n· 1
√ n = 1
√ n
f¨ ur alle n ∈ N ergibt; damit besitzt die zu untersuchende Reihe die (be- kanntermaßen divergente) Minorante
∞
X
n=1
√ 1
n und ist damit nach dem
Minorantenkriterium selbst divergent.
5.3 a) Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
(−1)
n1
√ 3
n(5 n
2+ 1) x
nbesitzt den Entwicklungspunkt a = 0 sowie die Koeffizienten c
n= (−1)
n√ 3
n(5 n
2+ 1) 6= 0 f¨ ur alle n ∈ N
0. Wegen
c
n+1c
n=
(−1)
n+1√ 3
n+1(5 (n + 1)
2+ 1) ·
√ 3
n(5 n
2+ 1) (−1)
n=
=
(−1) ·
√ 3
n√
3
n+1· 5 n
2+ 1 5 (n + 1)
2+ 1
= r 3
n3
n+1· 5 n
2+ 1
5 n
2(1 +
1n)
2+ 1 =
= r 1
3 · 5 +
n125 (1 +
1n)
2+
n12n→∞
−→
r 1
3 · 5 + 0
5 (1 + 0)
2+ 0 = 1
√ 3 = c ergibt sich als Konvergenzradius der gegebenen Potenzreihe r =
1c= √
3.
b) Wir betrachten die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
(−1)
n1
√ 3
n(5 n
2+ 1) x
nf¨ ur x = ± √ 3 und erhalten
(−1)
n1
√ 3
n(5 n
2+ 1) x
n= 1
√ 3
n(5 n
2+ 1) |x|
n=
= 1
√ 3
n(5 n
2+ 1)
√ 3
n= 1
5 n
2+ 1 ≤ 1
5 n
2≤ 1 n
2f¨ ur alle n ∈ N ; damit besitzt die Reihe
∞
X
n=1
(−1)
n1
√ 3
n(5 n
2+ 1) x
ndie (be- kanntlich konvergente) Majorante
∞
X
n=1
1
n
2und ist folglich nach dem Majo- rantenkriterium (absolut) konvergent, so daß auch die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
(−1)
n1
√ 3
n(5 n
2+ 1) x
nf¨ ur x = ± √
3 (absolut) konvergiert.
5.4 a) Sei (a
n)
n∈Nmit a
n= q
√n
f¨ ur alle n ∈ N . Damit gilt:
• F¨ ur den Fall 0 < q < 1 ist die Folge (a
n)
n∈Nstreng monoton fallend mit
n→∞
lim a
n= 0; damit konvergiert aber die zu untersuchende alternierende Reihe
∞
X
n=1
(−1)
na
n=
∞
X
n=1
(−1)
nq
√n
nach dem Leibnitzschen Konvergenz-
kriterium.
• F¨ ur den Fall 1 ≤ q gilt
n→∞
lim a
n=
( 1, f¨ ur q = 1,
∞, f¨ ur q > 1;
damit ist die Folge ((−1)
na
n)
n∈N
der Reihenglieder insbesondere keine Nullfolge, weswegen die Reihe
∞
X
n=1
(−1)
na
n=
∞
X
n=1
(−1)
nq
√n
divergiert.
b) Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=1
√
nq x
nbesitzt den Entwicklungspunkt a = 0 sowie die Koeffizienten c
n= √
nq f¨ ur alle n ∈ N . Wegen
c
n+1c
n=
n+1
√ q
√
nq −→
n→∞
1
1 = 1 = c
besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c= 1; damit ist sie insbesondere f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit
|x| > 1 divergent. F¨ ur |x| = 1 ist
| √
nq x
n| = √
nq −→
n→∞
1;
damit ist die Folge √
nq x
nn∈N
der Reihenglieder keine Nullfolge und folglich die Potenzreihe
∞
X
n=1
√
nq x
ndivergent.
5.5 Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
nmit dem Entwicklungspunkt a = 0 und der Koeffizientenfolge (a
n)
n∈N0besitzt den Konvergenzradius r ∈ ]1, ∞[ und ist damit
• f¨ ur alle z ∈ R mit |z| < r absolut konvergent sowie
• f¨ ur alle z ∈ R mit |z| > r divergent;
f¨ ur z ∈ R mit |z| = r ist keine allgemeing¨ ultige Aussage m¨ oglich.
a) Zu betrachten ist die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
2n=
∞
X
n=0
a
n(x
2)
n=
∞
X
n=0
a
nz
nmit z = x
2f¨ ur alle n ∈ N
0. Damit gilt:
• f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < √
r gilt |z| = |x
2| = |x|
2< r, und damit ist die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
2n=
∞
X
n=0
a
nz
nabsolut konvergent;
• f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > √
r gilt |z| = |x
2| = |x|
2> r, und damit ist die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
2n=
∞
X
n=0
a
nz
ndivergent;
folglich ergibt sich f¨ ur die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
2nder Konvergenzradius √ r.
b) Zu betrachten ist die Potenzreihe
∞
X
n=0
c
nx
nmit c
n= a
nnf¨ ur alle n ∈ N
0. Da f¨ ur den Konvergenzradius r der Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
nnach Voraussetzung r > 1 gilt, ist diese insbesondere f¨ ur z = 1 absolut konvergent; es konvergiert also die Reihe
∞
X
n=0
a
n, so daß die Folge (a
n)
n∈N0ihrer Reihenglieder eine Nullfolge ist. Damit ergibt sich
p
n|c
n| = p
n|a
nn| =
nq
|a
n|
n= |a
n| −→
n→∞
0, so daß die Potenzreihe
∞
X
n=0
c
nx
nden Konvergenzradius ∞ besitzt.
5.6 Die gegebenen Potenzreihen
∞
X
n=0
a
nx
nhaben jeweils den Entwicklungspunkt 0 sowie die Koeffizientenfolge (a
n)
n∈N0. a) Konvergiert die Folge (a
n)
n∈N0gegen ein a ∈ R mit a 6= 0, so gibt es ein
n
0∈ N mit a
n6= 0 f¨ ur alle n ≥ n
0, und es gilt
a
n+1a
n= |a
n+1|
|a
n| −→
n→∞
|a|
|a| = 1;
folglich besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
11= 1 und ist damit insbesondere f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > 1 divergent. F¨ ur |x| = 1 ergibt sich
|a
nx
n| = |a
n| · |x|
n= |a
n| −→
n→∞
|a| 6= 0;
damit ist die Folge (a
nx
n)
n∈N0
der Reihenglieder keine Nullfolge und folglich die Potenzreihe divergent. Insgesamt konvergiert in diesem Fall die Potenz- reihe genau f¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[.
b) Konvergiert die Folge (n
2a
n)
n∈N0gegen ein a ∈ R mit a 6= 0, so gibt es ein n
0∈ N mit n
2a
n6= 0 und damit auch a
n6= 0 f¨ ur alle n ≥ n
0, und es gilt
a
n+1a
n=
n
2(n + 1)
2· (n + 1)
2a
n+1n
2a
n= n
2(n + 1)
2· |(n + 1)
2a
n+1|
|n
2a
n| =
= 1
(1 +
n1)
2· |(n + 1)
2a
n+1|
|n
2a
n| −→
n→∞
1
(1 + 0)
2· |a|
|a| = 1;
folglich besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
11= 1 und ist damit insbesondere f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > 1 divergent. F¨ ur |x| = 1 ergibt sich
n
2· |a
nx
n| = n
2a
n· |x|
n= n
2a
n−→
n→∞
|a| > 0;
damit gibt es ein n
1∈ N , so daß f¨ ur alle n ≥ n
1dann
n
2· |a
nx
n| ≤ 2 |a| , also |a
nx
n| ≤ 2 |a|
n
2gilt. Damit besitzt die Reihe
∞
X
n=n1
a
nx
ndie (bekanntlich konvergente) Rei- he
∞
X
n=n1
2 |a|
n
2als Majorante und ist nach dem Majorantenkriterium selbst konvergent, also konvergiert auch die gegebene Reihe
∞
X
n=0
a
nx
n. Insgesamt konvergiert in diesem Fall die Potenzreihe genau f¨ ur alle x ∈ [−1, 1].
c) Ist (a
n)
n∈N0eine monoton fallende Nullfolge, so ist die alternierende Reihe
∞
X
n=0
(−1)
na
n, also die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
nf¨ ur x = −1, nach dem Leibnizkriterium konvergent; folglich gilt f¨ ur ihren Konvergenz- radius zun¨ achst % ≥ 1. Wegen a
n≥
n1f¨ ur alle n ≥ 1 besitzt die Reihe
∞
X
n=1
a
n, also die Potenzreihe
∞
X
n=1
a
nx
nf¨ ur x = 1,
die (bekanntlich divergente) harmonische Reihe
∞
X
n=1
1
n als Minorante und ist damit nach dem Minorantenkriterium selbst divergent, also divergiert auch die Potenzreihe
∞
X
n=0
a
nx
nf¨ ur x = 1; folglich gilt f¨ ur den Konvergenzradius zudem % ≤ 1. Insgesamt ergibt sich der Konvergenzradius % = 1, und die Potenzreihe konvergiert genau f¨ ur alle x ∈ [−1; 1[.
5.7 F¨ ur die zu einer monoton wachsenden Koeffizientenfolge (a
n)
n∈Npositiver reeller Zahlen zum Entwicklungspunkt a = 0 gebildete Potenzreihe
∞
X
n=1
a
nx
nnehmen wir zum Widerspruch an, daß sie einen Konvergenzradius % > 1 besitzt. Damit konvergiert aber die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=1
a
nx
nf¨ ur alle x ∈ R mit |x − a| < % absolut, wegen |1 − 0| = 1 < % also insbesondere auch f¨ ur x = 1; damit ist die Reihe
∞
X
n=1
(a
n· 1
n) =
∞
X
n=1
a
nkonvergent, weswegen die Folge (a
n)
n∈Nihrer
(als positiv vorausgesetzten) Glieder a
n> 0 notwendig eine Nullfolge sein muß.
Folglich gibt es zu ε = a
1> 0 ein n
0∈ N mit |a
n− 0| < ε f¨ ur alle n ≥ n
0, woraus sich mit der Voraussetzung, daß (a
n)
n∈Nmonoton w¨ achst, in
a
n0=
an0>0
|a
n0| = |a
n0− 0| < ε = a
1≤ a
n0ein Widerspruch ergibt; folglich gilt f¨ ur den Konvergenzradius % ≤ 1.
5.8 a) Sei x ∈ R . Wegen (−1)
nx
2n= (−x
2)
nf¨ ur alle x ∈ N
0handelt es sich bei der Reihe
∞
X
n=0
(−1)
nx
2num die geometrische Reihe
∞
X
n=0
q
nmit q = −x
2; diese konvergiert aber genau f¨ ur |q| < 1. Wegen
|q| < 1 ⇐⇒ | − x
2| < 1 ⇐⇒ |x|
2< 1 ⇐⇒ |x| < 1 konvergiert also die Reihe
∞
X
n=0
(−1)
nx
2ngenau f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1;
folglich ist der Konvergenzradius % = 1.
b) F¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 gilt gem¨ aß der Summenformel f¨ ur geometrische Reihen
∞
X
n=0
(−1)
nx
2n=
∞
X
n=0
q
n= 1
1 − q = 1
1 − (−x
2) = 1 1 + x
2. 5.9 a) In Abh¨ angigkeit vom Parameter α ∈ R ist die Potenzreihe
∞
X
n=0
(cos(α + nπ))
nx
nmit dem Entwicklungspunkt a = 0 und den Koeffizienten c
n= (cos(α + nπ))
nf¨ ur alle n ∈ N
0zu betrachten; f¨ ur alle n ∈ N
0gilt mit dem Additionstheorem des Cosinus cos(α + nπ) = cos α · cos(nπ)
| {z }
=(−1)n
− sin α · sin(nπ)
| {z }
=0
= (−1)
n· cos α
und damit p
n|c
n| =
nq
|(cos(α + nπ))
n| =
nq
|cos(α + nπ)|
n= |cos(α + nπ)| =
= |(−1)
n· cos α| = |(−1)
n| · |cos α| = |cos α| −→
n→∞
|cos α| = c, wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird:
• Im Falle cos α = 0, also f¨ ur α ∈
π2
+ kπ | k ∈ Z , ist c = 0, so daß die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius % = ∞ besitzt.
• Im Falle cos α 6= 0, also f¨ ur α ∈ R \
π2
+ kπ | k ∈ Z , ist c 6= 0, so daß
die gegebene Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c=
|cos1α|besitzt.
b) F¨ ur den Parameter α =
π4gilt cos α = cos
π4=
√12
, und gem¨ aß a) ergibt sich f¨ ur den Konvergenzradius % =
1c= √
2, so daß durch die gegebene Potenzreihe die Funktion
f
π4
: i
− √ 2, √
2 h
→ R , f
π4
(x) =
∞
X
n=0
cos π
4 + nπ
nx
n, definiert wird. F¨ ur den Wert x = 1 ergibt sich damit
f
π4
(1) =
∞
X
n=0
cos π
4 + nπ
| {z }
=(−1)n·cosπ4
n· 1
n=
∞
X
n=0
(−1)
n· cos π 4
n,
wegen
(−1)
n2=
−1, falls n und damit n
2ungerade, 1, falls n und damit n
2gerade,
= (−1)
nf¨ ur alle n ∈ N
0also
f
π4
(1) =
∞
X
n=0
(−1)
n· cos π 4
n=
∞
X
n=0
((−1)
n)
n· cos π
4
n=
=
∞
X
n=0
(−1)
n2· 1
√ 2
n=
∞
X
n=0
(−1)
n· 1
√ 2
n=
∞
X
n=0
−1
√ 2
n, so daß sich mit der Summenformel f¨ ur geometrische Reihen wegen
−1√ 2
< 1 schließlich
f
π4
(1) =
∞
X
n=0
−1
√ 2
n
=
−1√ 2
<1
1
1 −
−1√2= 1 1 +
√12=
√ 2
√ 2 + 1 ergibt.
5.10 a) Bei der gegebenen Potenzreihe
∞
X
n=0
x
2n3
nhandelt es sich wegen
x
2n3
n= (x
2)
n3
n=
x
23
nf¨ ur alle n ∈ N
0um die geometrische Reihe
∞
X
n=0
q
nmit q = x
23 ; diese konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 gilt, wegen
|q| < 1 ⇐⇒
x
23
< 1 ⇐⇒ x
23 < 1 ⇐⇒ x
2< 3 ⇐⇒ |x| < √ 3 also genau f¨ ur x ∈
− √ 3; √
3
.
b) Gem¨ aß der Summenformel f¨ ur geometrische Reihen gilt
∞
X
n=0
q
n= 1
1 − q f¨ ur alle |q| < 1, also
∞
X
n=0
x
2n3
n= 1
1 −
x32= 3
3 − x
2f¨ ur alle x ∈ i
− √ 3; √
3 h
; damit wird die rationale Funktion
f : i
− √ 3; √
3 h
→ R , f(x) = 3 3 − x
2,
durch die Potenzreihe auf ihrem Konvergenzbereich dargestellt.
5.11 a) Wir betrachten die gegebene Funktion
f : D
f→ R , f (x) = x
(1 + x)(1 − 2x) , auf ihrem maximalen Definitionsbereich D
f= R \
−1,
12und bestimmen α, β ∈ R mit
f (x) = α
1 + x + β
1 − 2x f¨ ur alle x ∈ D
f. Wegen
α
1 + x + β
1 − 2x = α (1 − 2x) + β (1 + x)
(1 + x)(1 − 2x) = (−2α + β) x + (α + β) (1 + x)(1 − 2x) f¨ ur alle x ∈ D
fliefert der Koeffizientenvergleich
−2 α + β = 1 und α + β = 0,
also −3 α = 1 bzw. α = −
13und 3 β = 1 bzw. β =
13, und somit f (x) = −
131 + x +
1 3
1 − 2x f¨ ur alle x ∈ D
f.
F¨ ur alle c ∈ R und q ∈ R mit |q| < 1 konvergiert die geometrische Reihe
∞
X
n=0
c q
nmit
∞
X
n=0
c q
n= c 1 − q ; damit ergibt sich f¨ ur c = −
13und q = −x zum einen
∞
X
n=0
− 1 3
(−x)
n= −
131 − (−x) = −
131 + x f¨ ur alle |x| < 1
sowie f¨ ur c =
13und q = 2x zum anderen
∞
X
n=0
1
3 (2x)
n=
1 3
1 − 2x f¨ ur alle |x| < 1 2 . Damit erh¨ alt man f¨ ur alle |x| <
12insgesamt
f (x) = −
131 + x +
1 3
1 − 2x =
∞
X
n=0
− 1 3
(−x)
n+
∞
X
n=0
1
3 (2x)
n=
=
∞
X
n=0
(−1)
n+13 x
n+
∞
X
n=0
2
n3 x
n=
∞
X
n=0
(−1)
n+1+ 2
n3 x
n, also die Potenzreihendarstellung
f(x) =
∞
X
n=0
a
nx
nmit a
n= (−1)
n+1+ 2
n3 f¨ ur alle n ∈ N
0. b) Die in a) ermittelte Potenzreihe konvergiert f¨ ur alle x ∈ R mit |x| <
12;
folglich gilt f¨ ur ihren Konvergenzradius % zun¨ achst % ≥
12. F¨ ur x = ±
12ist die Folge (a
nx
n)
n∈N0
der Reihenglieder wegen a
2kx
2k= (−1)
2k+1+ 2
2k3 ·
± 1 2
2k=
= −1 + 2
2k3 ·
1 2
2k= −
122k+ 1
2k3 −→
k→∞
−0 + 1
3 = 1
3 sicherlich keine Nullfolge und damit die Potenzreihe divergent; folglich gilt f¨ ur ihren Konvergenzradius % dann % ≤
12, insgesamt also % =
12, so daß die Potenzreihe auch f¨ ur alle |x| >
12divergiert. Damit besitzt die Potenzreihe das Konvergenzintervall
−
12;
12.
c) F¨ ur die in a) ermittelten Koeffizienten a
nder Potenzreihe gilt a
0= (−1)
0+1+ 2
03 = (−1) + 1
3 = 0
a
1= (−1)
1+1+ 2
13 = 1 + 2
3 = 1 sowie die Rekursionsvorschrift
a
n+1+ 2 a
n= (−1)
(n+1)+1+ 2
n+13 + 2 · (−1)
n+1+ 2
n3
= −(−1)
n+1+ 2
n+13 + 2 · (−1)
n+1+ 2
n+13
= (−1)
n+1+ 2 · 2
n+13
= (−1)
(n+2)+1+ 2
n+23 = a
n+2f¨ ur alle n ∈ N
0.
5.12 a) Die f¨ ur den Parameter a 6= 0 und alle x ∈ R gegebene Reihe
∞
X
n=0
x
na
n+1ist wegen
x
na
n+1= x
na · a
n= 1
a x
a
nf¨ ur alle n ∈ N
0die geometrische Reihe
∞
X
n=0
c q
nmit c = 1
a und q = x a
und folglich wegen c 6= 0 genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt, also genau f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < |a|; in diesem Fall ergibt sich
∞
X
n=0
x
na
n+1=
∞
X
n=0
c q
n= c 1 − q =
1 a
1 −
xa= a ·
a1a · 1 −
xa= 1 a − x . b) Wir betrachten die gegebene Funktion
g : D
g→ R , g(x) = 1
(1 + x)(2 + x) ,
in ihrem maximalen Definitionsbereich D
g= R \ {−2, −1} und bestimmen α, β ∈ R mit
g(x) = α
1 + x + β
2 + x f¨ ur alle x ∈ D
g. Wegen
α
1 + x + β
2 + x = α (2 + x) + β (1 + x)
(1 + x)(2 + x) = (α + β) x + (2 α + β) (1 + x)(2 + x) f¨ ur alle x ∈ D
gliefert der Koeffizientenvergleich
α + β = 0 und 2 α + β = 1, also α = 1 und β = −1, und somit
g(x) = 1
1 + x + −1
2 + x f¨ ur alle x ∈ D
g.
F¨ ur die beiden Summanden ergibt sich zum einen mit Hilfe der Summen- formel f¨ ur geometrische Reihen
1
1 + x = 1
1 − (−x) =
∞
X
n=0
(−x)
n=
∞
X
n=0
(−1)
nx
nf¨ ur alle |x| < 1 und zum anderen unter Verwendung von Teilaufgabe a)
−1
2 + x = 1
(−2) − x =
a=−2
∞
X
n=0
x
n(−2)
n+1=
∞
X
n=0
(−1)
n+12
n+1x
nf¨ ur alle |x| < 2,
so daß sich f¨ ur |x| < 1 insgesamt g (x) = 1
1 + x + −1 2 + x =
∞
X
n=0
(−1)
nx
n+
∞
X
n=0
(−1)
n+12
n+1x
n=
=
∞
X
n=0
(−1)
n+ (−1)
n+12
n+1x
n=
∞
X
n=0
(−1)
n1 − 1 2
n+1x
nund damit f¨ ur die Funktion g die Taylorreihe T
g(x) =
∞
X
n=0
c
nx
nmit c
n= (−1)
n1 − 1 2
n+1f¨ ur alle n ∈ N
0mit dem Einwicklungspunkt 0 ergibt. Da T
g(x) f¨ ur alle |x| < 1 konvergiert, gilt f¨ ur den Konvergenzradius der Taylorreihe % ≥ 1; f¨ ur x = −1 gilt
c
nx
n= (−1)
n1 − 1 2
n+1· (−1)
n= 1 − 1
2
n+1−→
n→∞
1 − 0 = 1, so daß die Folge (c
nx
n)
n∈N0
der Reihenglieder keine Nullfolge ist und folglich die Taylorreihe T
g(−1) divergiert. Damit gilt auch % ≤ 1, insgesamt % = 1.
5.13 a) Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=1
n + 1
2
nx
nbesitzt den Entwicklungspunkt a = 0 sowie die Koeffizienten c
n= n + 1
2
nf¨ ur alle n ∈ N
0. Wegen
c
n+1c
n=
(n + 2) · 2
n2
n+1· (n + 1)
= 1
2 · n + 2 n + 1 = 1
2 · 1 +
n21 +
n1−→
n→∞
1 2 = c besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c= 2.
b) Nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen ist die Funktion f : ]−2; 2[ → R , f (x) =
∞
X
n=0
n + 1 2
nx
n,
auf dem offenen Konvergenzintervall D = ]−2; 2[ stetig und damit insbeson- dere integrierbar, wobei sich eine Potenzreihendarstellung der Stammfunk- tion F mit F (0) = 0 durch gliedweises Integrieren ergibt; f¨ ur alle x ∈ ]−2; 2[
gilt demnach F (x) =
∞
X
n=0
n + 1
2
n· x
n+1n + 1 =
∞
X
n=0
x
n+12
n= x ·
∞
X
n=0
x 2
n= x
1 −
x2= 2 x 2 − x ; dabei geht die Summenformel f¨ ur die wegen
x2=
|x|2< 1 konvergenten geometrischen Reihe
∞
X
n=0
x 2
nein.
c) F¨ ur alle x ∈ ]2; 2[ gilt gem¨ aß b)
F (x) = 2 x 2 − x und damit
f(x) = F
0(x) = (2 − x) · 2 − 2 x · (−1)
(2 − x)
2= 4 − 2 x + 2 x
(2 − x)
2= 4 (2 − x)
2. 5.14 a) Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
(−1)
n(n + 1)(x − 1)
nbesitzt den Entwick- lungspunkt a = 1 sowie die Koeffizienten c
n= (−1)
n(n + 1) f¨ ur alle n ∈ N
0. Wegen
c
n+1c
n=
(−1)
n+1(n + 2) (−1)
n(n + 1)
= n + 2
n + 1 = 1 +
n21 +
n1−→
n→∞
1 = c
besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
11= 1; damit ist diese f¨ ur alle x ∈ R mit |x − 1| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x − 1| > 1 divergent. F¨ ur die verbleibenden Punkte x ∈ R mit |x − 1| = 1 gilt
|(−1)
n(n + 1)(x − 1)
n| = |(−1)
n| (n + 1) |x − 1|
n= n + 1 −→
n→∞
∞, weswegen die Folge ((−1)
n(n + 1)(x − 1)
n)
n∈N0
der Reihenglieder keine Null- folge und folglich die Potenzreihe divergent ist. Insgesamt ergibt sich wegen
|x − 1| < 1 ⇐⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇐⇒ 0 < x < 2 das Konvergenzintervall ]0; 2[ f¨ ur die gegebene Potenzreihe.
b) Durch die gegebene Potenzreihe wird gem¨ aß a) die Funktion f : ]0; 2[ → R , f(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n(n + 1)(x − 1)
n,
definiert; nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen ist f stetig, insbesondere also integrierbar, und die gliedweise integrierte Potenzreihe
∞
X
n=0
(−1)
n(n + 1) (x − 1)
n+1n + 1 =
∞
X
n=0
(−1)
n(x − 1)
n+1stellt eine Stammfunktion von f dar; damit ergibt sich
F (x) = Z
x1
f (t) dt =
"
∞X
n=0
(−1)
n(t − 1)
n+1#
x 1=
=
∞
X
n=0
(−1)
n(x − 1)
n+1−
∞
X
n=0
(−1)
n· 0
n+1| {z }
=0
=
∞
X
n=0
(−1)
n(x − 1)
n+1f¨ ur alle x ∈ ]0; 2[.
c) F¨ ur alle x ∈ ]0; 2[ gilt unter Verwendung der geometrischen Summenformel
∞
X
n=0
c q
n= c 1 − q
f¨ ur c = x − 1 und q = 1 − x mit |q| = |1 − x| < 1 zun¨ achst F (x) =
∞
X
n=0
(−1)
n(x − 1)
n+1=
∞
X
n=0
(−1)
n(x − 1)
n(x − 1) =
=
∞
X
n=0
(x − 1)(1 − x)
n= x − 1
1 − (1 − x) = x − 1
x = 1 − 1 x und damit dann mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential– und Integral- rechnung
f (x) = F
0(x) = 1 x
2. 5.15 a) F¨ ur x ∈ R sei a
n= (−1)
nx
2n2n f¨ ur alle n ∈ N ; wegen p
n|a
n| =
ns
(−1)
nx
2n2n
=
nr x
2n2n =
√
nx
2n√
n2n = x
2√
n2 · √
nn −→
n→∞
x
21 · 1 = x
2ist die Reihe
∞
X
n=1
a
n=
∞
X
n=1
(−1)
nx
2n2n nach dem Wurzelkriterium f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > 1 diver- gent. Des weiteren ist f¨ ur die verbleibenden x ∈ {−1, 1} die Potenzreihe
∞
X
n=1
(−1)
nx
2n2n =
∞
X
n=1
(−1)
n2n nach dem Leibnizkriterium f¨ ur alternierende Rei- hen konvergent. Damit wird durch die gegebene Potenzreihe die Funktion
f : [−1; 1] → R , f(x) =
∞
X
n=1
(−1)
nx
2n2n , definiert.
b) Nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen ist f im Innern des Konvergenz- intervalls [−1; 1], also auf dem offenen Teilintervall ]−1; 1[, beliebig oft dif- ferenzierbar, wobei sich eine Potenzreihendarstellung der Ableitung durch gliedweises Differenzieren ergibt; f¨ ur alle x ∈ ]−1; 1[ gilt demnach
f
0(x) =
∞
X
n=1
(−1)
n· (2n) x
2n−12n =
∞
X
n=1
(−1)
nx
2n−1=
∞
X
n=0
(−1)
n+1x
2n+1=
= −x
∞
X
n=0
(−1)
nx
2n= −x
∞
X
n=0
(−x
2)
n= −x · 1
1 − (−x
2) = − x 1 + x
2; dabei geht die Summenformel f¨ ur die wegen | − x
2| = |x|
2< 1 konvergenten geometrischen Reihe
∞
X
n=0
(−x
2)
nein.
5.16 Zu betrachten ist die Potenzreihe
∞
X
n=1
(2x)
nn =
∞
X
n=1
2
nx
nn =
∞
X
n=1
2
nn x
nmit dem Entwicklungspunkt a = 0 und den Koeffizienten c
n=
2nnf¨ ur alle n ∈ N . Wegen
p
n|c
n| =
ns
2
nn
=
nr 2
nn =
√
n2
n√
nn = 2
√
nn −→
n→∞
2
1 = 2 = c
besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c=
12; damit ist diese f¨ ur alle x ∈ R mit |x| <
12konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x−1| >
12divergent; damit sind noch die verbleibenden Punkte x ∈ R mit |x| =
12gesondert zu untersuchen:
f¨ ur x =
12ist
∞
X
n=1
(2x)
nn =
∞
X
n=1
(2 ·
12)
nn =
∞
X
n=1
1 n als harmonische Reihe divergent, und f¨ ur x = −
12ist
∞
X
n=1
(2x)
nn =
∞
X
n=1
(2 · (−
12))
nn =
∞
X
n=1
(−1)
nn
als alternierende harmonische Reihe konvergent. Damit ist der Konvergenzbereich der gegebenen Potenzreihe genau das halboffene Intervall
−
12;
12, wodurch die Funktion
f :
−
12;
12→ R , f(x) =
∞
X
n=1
2
nn x
n,
definiert wird. Nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen ist f zumindest auf dem offenen Intervall
−
12;
12differenzierbar, und f¨ ur alle x ∈
−
12;
12gilt f
0(x) =
∞
X
n=1
2
nn n x
n−1=
∞
X
n=1
2
nx
n−1=
∞
X
n=0
2
n+1x
n=
∞
X
n=0
2 (2x)
n,
so daß sich wegen |2 x| = 2 |x| < 2 ·
12= 1 unter Verwendung der Summenformel f¨ ur geometrische Reihen
f
0(x) =
∞
X
n=0
2 (2x)
n= 2
1 − 2 x = − −2 1 − 2 x ergibt. Damit gibt es eine Konstante c ∈ R , so daß
f(x) = − ln |1 − 2 x| + c =
1−2x>0
− ln (1 − 2 x) + c f¨ ur alle x ∈
−
12;
12gilt, wobei sich speziell f¨ ur den Entwicklungspunkt a = 0 wegen
f (0) =
∞
X
n=1
(2 · 0)
nn = 0 und − ln (1 − 2 · 0) = 0
dann c = 0 ergibt. Folglich ist
f (x) = − ln (1 − 2 x) f¨ ur alle x ∈
−
12;
12;
da die Funktion f im Konvergenzpunkt a − % = −
12der gegebenen Potenzreihe nach dem abelschen Grenzwertsatz zumindest stetig ist, folgt mit der Stetigkeit des Logarithmus auch
f −
12= lim
x→−1
2+
f(x) = lim
x→−1
2+
(− ln (1 − 2 x)) = − ln 1 − 2 · −
12= − ln 2, also
f (x) = − ln (1 − 2 x) f¨ ur alle x ∈
−
12;
12. 5.17 Die gegebene Potenzreihe
∞
X
n=0
(n + 2) x
nbesitzt den Entwicklungspunkt a = 0 sowie die Koeffizienten c
n= n + 2 f¨ ur alle n ∈ N
0. F¨ ur alle n ∈ N gilt
c
n+1c
n= n + 3
n + 2 = 1 +
3n1 +
2n−→
n→∞
1 = c;
damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % = 1
c = 1. F¨ ur die Darstel- lung der Potenzreihe
∞
X
n=0
(n + 2) x
nals gebrochenrationale Funktion betrachten wir die geometrische Reihe
∞
X
n=0
x
n; diese konvergiert f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 und stellt die Funktion
f : ]−1; 1[ → R , f(x) =
∞
X
n=0
x
n= 1 1 − x ,
dar. Damit ist f beliebig oft differenzierbar; f¨ ur alle x ∈ ]−1; 1[ ist zum einen f
0(x) = 1
(1 − x)
2zum anderen d¨ urfen Potenzreihen
” gliedweise“ differenziert werden mit f
0(x) =
∞
X
n=1
n x
n−1=
∞
X
n=0
(n + 1) x
n. Wegen
(n + 2) x
n= (n + 1) x
n+ x
nf¨ ur alle n ∈ N
0und x ∈ R mit |x| < 1 ergibt sich
∞
X
n=0
(n + 2) x
n=
∞
X
n=0
(n + 1) x
n+
∞
X
n=0
x
n= f
0(x) + f(x) =
= 1
(1 − x)
2+ 1
1 − x = 1 + (1 − x)
(1 − x)
2= 2 − x
(1 − x)
2.
5.18 Um das Konvergenzverhalten der gegebenen Reihe
∞
X
n=1
n x
n−1=
∞
X
n=0
(n + 1) x
nin Abh¨ angigkeit von x ∈ R zu untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert zu bestimmen, bieten sich die beiden folgenden M¨ oglichkeiten an:
• Es ist
∞
X
n=0
(n + 1) x
ndie Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt a = 0 und den Koeffizienten c
n= n + 1 f¨ ur alle n ∈ N
0. Wegen
c
n+1c
n=
n + 2 n + 1
= n 1 +
n2n 1 +
n1= 1 +
2n1 +
1n−→
n→∞
1 + 0
1 + 0 = 1 = c
besitzt sie den Konvergenzradius % =
1c=
11= 1, ist folglich f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 (absolut) konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > 1 divergent;
f¨ ur die beiden verbleibenden F¨ alle |x| = 1 ist die Folge ((n + 1) x
n)
n∈N0
gem¨ aß
|(n + 1) x
n| = (n + 1) |x|
n= (n + 1) · 1
n= n + 1 −→
n→∞
∞
insbesondere keine Nullfolge, so daß hier die Potenzreihe divergiert und sich insgesamt das Konvergenzintervall ]−1, 1[ ergibt. Die dadurch definierte Funktion
f : ]−1, 1[ → R , f(x) =
∞
X
n=0
(n + 1) x
n,
ist nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen auf dem offenen Konvergenz- intervall ]−1, 1[ stetig, besitzt also insbesondere eine Stammfunktion F : ]−1, 1[ → R , die sich durch gliedweise Integration ermitteln l¨ aßt; f¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[ ergibt sich damit
F (x) =
∞
X
n=0
(n + 1) x
n+1n + 1 =
∞
X
n=0
x
n+1=
∞
X
n=0
(x · x
n)
(∗)=
|x|<1
x 1 − x ,
wobei in (∗) die Summenformel f¨ ur geometrische Reihen eingeht. Gem¨ aß dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung erh¨ alt man
f(x) = F
0(x) = 1 · (1 − x) − x · (−1)
(1 − x)
2= (1 − x) + x
(1 − x)
2= 1 (1 − x)
2f¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[.
• Die Potenzreihe
∞
X
n=0
x
nmit dem Entwicklungspunkt a = 0 ist eine geometri- sche Reihe und konvergiert genau f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1; damit besitzt sie das Konvergenzintervall ]−1, 1[ und folglich den Konvergenzradius % = 1.
Die dadurch definierte Funktion
h : ]−1, 1[ → R , h(x) =
∞
X
n=0
x
n,
ist nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen auf dem offenen Konvergenz- intervall ]−1, 1[ differenzierbar, und die Ableitung h
0: ]−1, 1[ → R l¨ aßt sich durch gliedweise Differentiation ermitteln, wird demnach gem¨ aß
h
0(x) =
∞
X
n=1
n x
n−1f¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[
durch die gegebene Potenzreihe dargestellt; da diese im Vergleich zur Origi- nalpotenzreihe
∞
X
n=0
x
ndenselben Konvergenzradius % = 1 besitzt und keine weiteren Konvergenzpunkte am Rand haben kann, ergibt sich als Konver- genzintervall ebenfalls ]−1, 1[. F¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[ erh¨ alt man zun¨ achst mit Hilfe der geometrischen Summenformel
h(x) =
∞
X
n=0
x
n= 1
1 − x = (1 − x)
−1und damit durch Differentiation
∞
X
n=1
n x
n−1= h
0(x) = (−1)(1 − x)
−2· (−1) = 1 (1 − x)
2. 5.19 a) Bei der zu untersuchenden Reihe
S
0(x) =
∞
X
n=1
(−x)
n√
3n √
3n + 1 =
∞
X
n=1
(−1)
n√
3n √
3n + 1 x
nhandelt es sich um eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt a = 0 mit den Koeffizienten c
n= (−1)
n√
3n √
3n + 1 f¨ ur alle n ∈ N . Wegen
c
n+1c
n=
(−1)
n+1√
3n + 1 √
3n + 2 ·
√
3n √
3n + 1 (−1)
n=
(−1) · √
3n
√
3n + 2
=
=
√
3n
√
3n + 2 =
3r n
n + 2 =
3s 1
1 +
n2−→
n→∞
3
r 1
1 + 0 = √
31 = 1 = c besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius % =
1c= 1; damit ist sie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| > 1 divergent.
F¨ ur die beiden noch verbleibenden Punkte x ∈ R mit |x| = 1 gilt:
• F¨ ur x = −1 ergibt sich S
0(−1) =
∞
X
n=1
(−(−1))
n√
3n √
3n + 1 =
∞
X
n=1
1
√
3n √
3n + 1 ; f¨ ur alle n ∈ N gilt dabei
1
√
3n √
3n + 1 ≥ 1
√ n √
n + 1 ≥ 1
√ n √
n + n ≥ 1
√ 2 · n ,
so daß S
0(−1) die divergente Minorante
∞
X
n=1
√ 1
2 · n besitzt und daher
nach dem Minorantenkriterium selbst divergent ist.
• F¨ ur x = 1 ergibt sich
S
0(1) =
∞
X
n=1
(−1)
n√
3n √
3n + 1 ; da
1
√3
n√3 n+1
n∈N
eine monoton fallende Nullfolge ist, ist S
0(1) nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium f¨ ur alternierende Reihen konvergent.
b) Durch gliedweises Differenzieren der Summanden von S
0(x) ergibt sich die Potenzreihe
S
1(x) =
∞
X
n=1
(−1)
n√
3n √
3n + 1 · n x
n−1=
∞
X
n=0
(−1)
n+1(n + 1)
√
3n + 1 √
3n + 2 x
num den Punkt a = 0 mit den Koeffizienten c
0n= (−1)
n+1(n + 1)
√
3n + 1 √
3n + 2 f¨ ur alle n ∈ N
0; sie besitzt denselben Konvergenzradius % = 1 wie S
0(x); damit ist auch sie f¨ ur alle x ∈ R mit |x| < 1 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit
|x| > 1 divergent. Ferner gilt f¨ ur alle x ∈ R mit |x| = 1
(−1)
n+1(n + 1)
√
3n + 1 √
3n + 2 x
n= n + 1
√
3n + 1 √
3n + 2 |x|
n=
√
3n + 1
3√
3n + 1 √
3n + 2 =
=
√
3n + 1
√
3n + 2 · √
3n + 1 =
3s
1 +
1n1 +
2n| {z }
→1
· √
3n + 1
| {z }
→∞
n→∞
−→ ∞;
damit bilden die Reihenglieder von S
1(x) insbesondere keine Nullfolge, wes- wegen die Reihe S
1(x) nicht konvergieren kann.
c) Gem¨ aß a) ist I
0= ]−1; 1] ⊆ R das Konvergenzintervall der Potenzreihe S
0; diese definiert daher die Funktion
f : ]−1; 1] → R , f (x) = S
0(x) =
∞
X
n=1
(−1)
n√
3n √
3n + 1 x
n.
Nach dem Hauptsatz ¨ uber Potenzreihen ist f eine auf dem offenen Intervall ]−1; 1[ beliebig oft differenzierbare Funktion, und f¨ ur alle x ∈ ]−1; 1[ erh¨ alt man durch gliedweises Differenzieren von S
0(x) eine Potenzreihendarstellung von f
0, damit gilt also f
0(x) = S
1(x); f¨ ur x = 1 ist S
1(1) nicht konvergent.
5.20 Jede der gegebenen Funktionen
exp : R → R , exp(x) = e
x, und
f : R
+→ R , f (x) = 1 x ,
l¨ aßt sich auf unterschiedlichen Wegen in ihre Taylorreihe zum Entwicklungspunkt a = 2 entwickeln. Zum einen kann zun¨ achst unter Berechnung aller Ableitungen von exp bzw. f die Taylorreihe nach Definition als
T
exp(x) =
∞
X
n=0
exp
(n)(a)
n! (x − a)
nbzw. T
f(x) =
∞
X
n=0
f
(n)(a)
n! (x − a)
naufgestellt und dann ihr Konvergenzbereich bestimmt werden:
• Wegen
exp
(n)(x) = e
xund damit exp
(n)(2) = e
2f¨ ur alle n ∈ N
0ist
T
exp(x) =
∞
X
n=0
exp
(n)(2)
n! (x − 2)
n=
∞
X
n=0
e
2n! (x − 2)
ndie Taylorreihe der Exponentialfunktion exp zum Entwicklungspunkt a = 2;
diese Potenzreihe mit den Koeffizienten c
n=
en!2f¨ ur alle n ∈ N
0besitzt wegen
c
n+1c
n=
e
2(n + 1)! · n!
e
2= 1
n + 1 −→
n→∞
0
den Konvergenzradius % = +∞; damit ist die Taylorreihe T
exp(x) f¨ ur alle x ∈ R konvergent.
• F¨ ur alle n ∈ N
0besitzt die n–te Ableitung von f die Gestalt f
(n)(x) = (−1)
n· n! · x
−(n+1)f¨ ur alle x ∈ R
+; wir weisen dies mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion nach:
F¨ ur
” n = 0“ ergibt sich f¨ ur alle x ∈ R
+(−1)
0· 0! · x
−(0+1)= x
−1= 1
x = f(x) = f
(0)(x).
F¨ ur
” n → n + 1“ ergibt sich f¨ ur alle x ∈ R
+f
(n+1)(x) = f
(n)0(x) =
Ind.-vor.
(−1)
n· n! · x
−(n+1)0=
= (−1)
n· n! · −(n + 1) · x
−(n+1)−1= (−1)
n+1· (n + 1)! · x
−(n+2). Damit ist
f
(n)(2) = (−1)
n· n! · 2
−(n+1)= (−1)
nn!
2
n+1f¨ ur alle n ∈ N
0, weswegen
T
f(x) =
∞
X
n=0
f
(n)(2)
n! (x − 2)
n=
∞
X
n=0
(−1)
n2
n+1(x − 2)
ndie Taylorreihe der Funktion f zum Entwicklungspunkt a = 2 ist; diese Potenzreihe mit den Koeffizienten c
n=
(−1)2n+1nf¨ ur alle n ∈ N
0besitzt wegen
c
n+1c
n=
(−1)
n+12
n+2· 2
n+1(−1)
n= 1 2 −→
n→∞
1 2 = c
den Konvergenzradius % =
1c= 2. Damit ist die Taylorreihe T
f(x) f¨ ur alle x ∈ R mit |x − 2| < 2 konvergent sowie f¨ ur alle x ∈ R mit |x − 2| > 2 divergent; f¨ ur die x ∈ R mit |x − 2| = 2 ist die Folge
(−1)n2n+1
(x − 2)
nn∈N0
der Reihenglieder wegen
(−1)
n2
n+1(x − 2)
n= 1
2
n+1· |x − 2|
n= 1
2
n+1· 2
n= 1
2
f¨ ur alle n ∈ N
0keine Nullfolge und damit die Taylorreihe divergent. Insge- samt ergibt sich wegen
|x − 2| < 2 ⇐⇒ −2 < x − 2 < 2 ⇐⇒ 0 < x < 4 das Konvergenzintervall ]0; 4[ der Taylorreihe.
Zum anderen kann der Funktionsterm von exp bzw. f in eine Potenzreihe um den Punkt a = 2 entwickelt werden, welche dann mit der Taylorreihe T
exp(x) bzw.
T
f(x) zum Entwicklungspunkt a = 2 ¨ ubereinstimmt:
• Unter Verwendung der Exponentialreihe erhalten wir f¨ ur alle x ∈ R exp(x) = exp(2 + (x − 2)) = e
2exp(x − 2) =
= e
2∞
X
n=0
(x − 2)
nn! =
∞
X
n=0
e
2n! (x − 2)
n; damit ist
∞
X
n=0
e
2n! (x − 2)
ndie Taylorreihe der Exponentialfunktion exp an der Stelle a = 2, und diese konvergiert auf ganz R gegen exp.
• F¨ ur alle x ∈ R
+gilt 1
x = 1
2 + (x − 2) = 1
2 · 1
1 − −
x−22, und unter Verwendung der f¨ ur alle x ∈ R mit
−
x−22< 1, also f¨ ur x ∈ ]0; 4[
konvergenten geometrischen Reihe
∞
X
n=0
q
nmit q = −
x−22ergibt sich damit
f (x) = 1 2 ·
∞
X
n=0
− x − 2 2
n=
∞
X
n=0
(−1)
n2
n+1(x − 2)
n; damit ist
∞
X
n=0
