Vorschlag: Es kann sinnvoll sein, zun¨achst den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten darzu- stellen

Universit¨at Oldenburg Oldenburg, den 29. Mai 2013 Institut f¨ur Physik

Ubungen zur Vorlesung¨ Quantenmechanik (SoSe 2013, ¨Ubungsblatt 9)

http://www.condmat.uni-oldenburg.de/TeachingQM/QM.html Abgabe:Dienstag, 4. Juni bis 12:00 Uhr

30) Der Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten

a) Dr¨ucken Sie die kartesischen Komponenten Lx, Ly und Lz des Drehimpulsoperators in Kugelkoordinaten aus.

Vorschlag: Es kann sinnvoll sein, zun¨achst den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten darzu- stellen. Das gelingt mit Hilfe des Ansatzes

∇~ = ~e_x ∂

∂x +~e_y ∂

∂y +~e_z ∂

∂z

= ~ercr

∂

∂r +~eϑcϑ

∂

∂ϑ+~eϕcϕ

∂

∂ϕ ,

wobei~e_x,~e_y und~e_z die kartesischen Einheitsvektoren und~e_r,~e_ϑ und~e_ϕ die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten (also das “lokale Dreibein”) bezeichnen; die Koeffizienten c_r, c_ϑ und c_ϕ sind zu bestimmen. Die Aufgabe kann jedoch auch vollst¨andig ohne Verwendung des lokalen Dreibeins gel¨ost werden (wenn auch weniger elegant). Sie ben¨otigen in jedem Fall die Elemente der Transformationsmatrix

∂(r, ϑ, ϕ)

∂(x, y, z) , ausgedr¨uckt durch Kugelkoordinaten.

b) Geben Sie auch die Operatoren L₊, L₋ und ~L² in Kugelkoordinaten an. Wie h¨angt L~² mit dem schon in Aufgabe 12 betrachteten Operator−Λ² zusammen? (4P) 31) Weiteres zum Drehimpulsoperator

a) Welche Werte besitzen die Kommutatoren [L_j, p_k] (j, k= 1,2,3) ? b) Beweisen Sie die wichtige Operatorgleichung

−~²∆ = −~² r

∂²

∂r²r+L~² r² .

Hinweis: Gehen Sie aus von der Darstellung~L= ^~_i~r×∇~ und benutzen Sie den ε-Kalk¨ul zur Berechnung vonL~². Beachten Sie, dass

~

r·∇~ =r ∂

∂r .

(2P)

32) Energieb¨ander f¨ur ein periodisches Stufenpotential

Ein periodisches Potential mit der Periodizit¨atsl¨ange L = a+b werde f¨ur 0 ≤ x < a+b definiert durch

V(x) =

0 f¨ur 0≤x < a V0 f¨ur a≤x < a+b ,

wobeiV₀ >0, und wird außerhalb dieses Intervalls periodisch fortgesetzt.

a) Zeigen Sie, dass f¨ur 0 < E < V₀ die Transfermatrix f¨ur den ¨Ubergang vom Intervall 0≤x < a in das Intervalla+b ≤x <2a+b die Gestalt

T =

e^−ikb

coshκb−₂^{i κ}_k −_κ^k

sinhκb

−e−ik(2a+b) i 2

κ k +^k_κ

sinhκb e^{ik(2a+b) i}₂ ^κ_k +_κ^k

sinhκb e^ikb

coshκb+₂^{i κ}_k− ^k_κ

sinhκb

besitzt, wobei wie ¨ublich k=√

2mE/~ und κ=p

2m(V0−E)/~.

b) Folgern Sie, dass die erlaubten Bloch-Wellen mit Wellenzahlq die Gleichung cos[q(a+b)] = coshκbcoska+κ²−k²

2kκ sinhκbsinka

erf¨ullen m¨ussen. Zeigen Sie, dass Energien mit ka = nπ f¨ur jede ganze Zahl n “verboten”

sind.

c) Welche Gleichung m¨ussen die Bloch-Zust¨ande erf¨ullen, wenn E > V₀? (3P) 33) Bindungszustand f¨ur ein δ-Potential

Zeigen Sie, dass das eindimensionale Potential

V(x) = −W₀δ(x)

f¨ur jedes W₀ > 0 genau einen Bindungszustand zul¨asst. Wie lautet die Energie dieses Zu-

standes? (1P)