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Ermitteln Sie zun¨ achst mit dem primalen Simplexalgorithmus f¨ ur das LP max 2x

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Operations Research I Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 2014 15. Mai 2014

Aufgabenblatt 7

— Primal-dualer-Simplexalgorithmus, Dualit¨ at —

Aufgabe 1 (Primal-dualer-Simplexalgorithmus, Nebenbedingung hin- zuf¨ ugen)

Ermitteln Sie zun¨ achst mit dem primalen Simplexalgorithmus f¨ ur das LP max 2x

1

+ 6x

2

− 2x

3

unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen

2x

2

+ x

3

≤ 12 x

1

+ 2x

2

− 2x

3

≤ 18

−2x

1

+ 4x

2

+ 4x

3

≤ 25 x

1

, x

2

, x

3

≥ 0 eine optimale L¨ osung.

Erweitern Sie anschließend das LP um die Nebenbedingung x

1

− 2x

3

≤ 12

und ermitteln Sie ausgehend vom Endtableau des ersten LPs eine optimale L¨ osung des erwei- terten LPs mit Hilfe des dualen Simplexalgorithmus.

Aufgabe 2 (Primal-dualer-Simplexalgorithmus, Variable hinzuf¨ ugen)

(a) Wie kann eine Matrix, die das Starttableau in das optimale Tableau ¨ uberf¨ uhrt, hergeleitet werden (vgl. Beispiel 4.12, Folie 233)?

Hinweis: Operationen auf Gleichungssystemen k¨ onnen durch Elementarmatrizen beschrie- ben werden, siehe Kapitel 2.

(b) L¨ osen Sie zun¨ achst mit dem dualen Simplexalgorithmus das LP min 12x

1

+ 28x

2

+ 30x

3

unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen

2x

1

+ 2x

2

+ x

3

≥ 5 4x

2

− 2x

3

≥ 2 2x

1

− 2x

2

+ 4x

3

≥ 4 x

1

, x

2

, x

3

≥ 0

Geben Sie auch die Matrix an, die das Start- in das Enttableau ¨ uberf¨ uhrt.

(2)

(c) Wir erweitern das LP um die Variable x

4

. Das erweiterte LP lautet min 12x

1

+ 28x

2

+ 30x

3

+ 20x

4

2x

1

+ 2x

2

+ x

3

≥ 5

4x

2

− 2x

3

+ 3x

4

≥ 2 2x

1

− 2x

2

+ 4x

3

− x

4

≥ 4 x

1

, x

2

, x

3

, x

4

≥ 0

Berechnen Sie ausgehend von der optimalen L¨ osung aus (b) eine optimale L¨ osung f¨ ur das erweiterte LP.

Aufgabe 3 (Dualit¨ at)

Wir betrachten das folgende primale LP:

max z = x

1

+ x

2

unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen

4x

1

+ x

2

≤ 20 4x

2

≤ 10 2x

1

+ 3x

2

≤ 12 x

1

, x

2

≥ 0

(a) Geben Sie, ohne das LP zu l¨ osen, eine obere Schranke f¨ ur den optimalen Zielfunktionswert z

∗

an.

(b) Berechnen Sie eine optimale L¨ osung f¨ ur das LP.

(c) Geben Sie das zugeh¨ orige duale LP an.

(d) Berechnen Sie eine optimale L¨ osung des dualen LP (mit dem dualen Simplexalgorithmus).

Besprechung der ¨ Ubungsaufgaben am 21. Mai 2014 in der Veranstaltung.

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